2022-2023学年冀东名校度第一学期高三年级期中调研考试数学试卷及答案

高三试题高三试题冀东名校2022-2023学年度第一学期高三年级期中调研考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题∶本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A＝{x|x2－7x＋12＝0}，B＝{1,3,5}，C＝{0,2,4}，则(A∩B)∪C=A．{0,2} B．{3,4,5}C．{3,4} D．{0,2,3,4}2.已知z＝(3－i)(1＋2i)，则z的虚部为A．5 B．5iC．－1 D．－i3.某学校利用随机数表对某班的50学生进行抽样测试，先将50个学生进行编号，编号分别为01,02，…，50，从中抽取5个样本，下表是随机数表的第1行到第2行：666740371464057111056509958668571603116314908445217573880590若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是A．09 B．10C．20 D．714.若函数f(x)＝eq\f(ax－2,x－1)的图象关于点(1,3)对称，则实数a＝A．5 B．3C．6 D．25.已知直线ax＋2by－1＝0和x2＋y2＝1相切，则ab的最大值是A．eq\f(1,4) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(1,2) D．16.在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2CD＝3，AD＝2，若EF在线段AB上运动，且EF＝1，则eq\o(CE,\s\up7(→))·eq\o(CF,\s\up7(→))的最小值为A．5 B．eq\r(3)C．4 D．eq\f(15,4)7.多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：V(顶点数)＋F(表面数)－E(棱长数)＝2．在数学上，富勒烯的结构都是以正五边形和正六边形面组成的凸多面体，例如富勒烯C60(结构图如图)是单纯用碳原子组成的稳定分子，具有60个顶点和32个面，其中12个面为正五边形，20个面为正六边形．除C60外具有封闭笼状结构的富勒烯还可能有C28，C32，C50，C70，C84，C240，C540等，则C84结构含有正六边形的个数为A．12 B．24C．30 D．328.函数f(x)＝cosx＋xsinx－eq\f(1,4)x2－1零点的个数为A．0 B．1C．2 D．3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。9.若x2+1A.a=-1B.所有项系数之和为1C.二项式系数之和为64D.常数项为-32010.在数列{an}中，若an＋an＋1＝3n，则称{an}为“和等比数列”．设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，则下列对“和等比数列”的判断中正确的有()A．a2020＝eq\f(32021－1,4) B．a2020＝eq\f(32020－1,4)C．S2021＝eq\f(32023－1,8) D．S2021＝eq\f(32022－1,8)11.如图,P为椭圆C1:x28+y26=1上的动点,过点P作C1的切线交圆C2:x2A.S△OPQ的最大值为3B.S△OPQ的最大值为2C.Q的轨迹方程是x2D.Q的轨迹方程是x212.已知C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC＝AC＝2，BC＝4，E，F分别是PC，PB的中点，平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，则直线PQ与平面AEF所成的角的取值可以为A．0° B．15°C．30° D．45°三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.为庆祝冬奥会取得胜利，甲、乙两位同学参加知识竞赛。已知两人答题正确与否相互独立，且各一次正确的概率分别是0．4和0．3，则甲、乙两人各作答一次，至少有一人正确的概率为________14.若taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,4)－α))＝－eq\f(3,5)，则cos2α的值为________15.定义n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”为eq\f(n,p1＋p2＋…＋pn)，若各项均为正数的数列{an}的前n项的“均倒数”为eq\f(1,2n＋1)，则a2023的值为________16.我国传统文化博大精深，源远流长，期中《益古演段》作为我国古代数学一部著作，主要记载已知平面图形的信息，求圆的半径、正方形的边长和周长等问题．其中有这样一个问题：如图，已知∠A＝60°，点B，C分别在∠A的两个边上移动，且保持B，C两点间的距离为2eq\r(3)，则点B，C在移动过程中，线段BC的中点D到点A的最大距离为________四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图所示，在四边形ABCD中，AC＝AD＝CD＝7，∠ABC＝120°，sin∠BAC＝eq\f(5\r(3),14)(1)求BC(2)若BD为∠ABC的平分线，试求BD18.数列{an}满足：a1＝1，点(n，an＋an＋1)在函数y＝kx＋1的图象上，其中k为常数，且k≠0．(1)若a1，a2，a4成等比数列，求k的值；(2)当k＝3时，求数列{an}的前2n项的和S2n19.如图①，在梯形ABCD中，BC∥AD，AD＝4，BC＝1，∠ADC＝45°，梯形的高为1，M为AD的中点，以BM为折痕将△ABM折起，使点A到达点N的位置，且平面NBM⊥平面BCDM，连接NC，ND，如图②．(1)证明：平面NMC⊥平面NCD；(2)求图②中平面NBM与平面NCD夹角的余弦值．20.为调查某社区居民进行核酸检测的地点，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：单位：人性别核酸检测地点合计工作单位社区男105060女101020合计206080(1)根据小概率值α＝0．01的独立性检验，能否认为“居民的核酸检测地点与性别有关系”？(2)将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查3人，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差．21.已知椭圆C:x24+y2=1,点P为椭圆C上非顶点的动点,点A1,A2分别为椭圆C的左、右顶点,过A1,A2分别作l1⊥PA1,l2⊥PA2,直线l1,l2相交于点G,连接OG(O为坐标原点),线段OG与椭圆C交于点Q.若直线OP,OQ的斜率分别为k1,k(1)求k1(2)求△POQ面积的最大值.已知函数fx(1)若a=2e−1,求fx(2)记函数gx=−试求实数a的取值范围.高三试题高三试题冀东名校2022-2023学年度第一学期高三年级期中调研考试数学参考答案一．选择题：1－4 CAAB 5－8 ABDC二．选择题：9．ABC 10．BD 11．AC 12．ABC三．填空题：13．0.58 14．－eq\f(15,17) 15．8091 16．3四．解答题：17.(1)由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)∴eq\f(BC,\f(5\r(3),14))＝eq\f(7,\f(\r(3),2))∴BC＝5，(2)由AC＝AD＝CD＝7，可得∠ADC＝60°，又∠ABC＝120°，∴A，B，C，D四点共圆，∠DBC＝∠DAC＝60°，由余弦定理得cos∠DBC＝eq\f(BD2＋BC2－DC2,2BD·BC)∴BD＝818.(1)由an＋an＋1＝kn＋1可得a1＋a2＝k＋1，a2＋a3＝2k＋1，a3＋a4＝3k＋1，所以a2＝k，a3＝k＋1，a4＝2k．又a1，a2，a4成等比数列，∴aeq\o\al(2,2)＝a1a4，即k2＝2k，又k≠0，故k＝2．(2)k＝3时，an＋an＋1＝3n＋1，∴a1＋a2＝4，a3＋a4＝10，…，a2n－1＋a2n＝3(2n－1)＋1，S2n＝4＋10＋…＋6n－2＝eq\f(4＋6n－2,2)n＝3n2＋n．19.(1)证明：如图，在梯形ABCD中，过点C作CH⊥DM于点H，连接CM，由题意知，CH＝1，AM＝DM＝eq\f(1,2)AD＝2．由∠ADC＝45°，可得DH＝eq\f(1,tan45°)＝1，则HM＝DM－DH＝1，∴∠CMD＝∠CDM＝45°，∴CM⊥CD，BC∥MH，BC＝MH．又BC＝CH，CH⊥MH，∴四边形BCHM为正方形，∴BM⊥AD．试题高三在四棱锥N­BCDM中，∵平面NBM⊥平面BCDM，平面NBM∩平面BCDM＝BM，MN⊥BM，∴NM⊥平面BCDM．∵CD⊂平面BCDM，∴NM⊥CD．∵NM∩CM＝M，且NM，CM⊂平面NMC，∴CD⊥平面NMC．又CD⊂平面NCD，∴平面NMC⊥平面NCD．(2)在四棱锥N­BCDM中，以M为原点，MB，MD，MN所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系M­xyz，可得M(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，N(0,0,2)．∵平面NBM⊥平面BCDM，平面NBM∩平面BCDM＝BM，BM⊥MD，∴MD⊥平面NBM，∴eq\o(MD,\s\up7(→))＝(0,2,0)是平面NBM的一个法向量．设平面NCD的一个法向量为m＝(x，y，z)，∵eq\o(NC,\s\up7(→))＝(1,1，－2)，eq\o(ND,\s\up7(→))＝(0,2，－2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·eq\o(NC,\s\up7(→))＝0，,m·eq\o(ND,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2z＝0，,2y－2z＝0，))取y＝1，则z＝1，x＝1，∴m＝(1,1,1)．∴cos〈eq\o(MD,\s\up7(→))，m〉＝eq\f(eq\o(MD,\s\up7(→))·m,|eq\o(MD,\s\up7(→))|·|m|)＝eq\f(\r(3),3)，∴平面NBM与平面NCD夹角的余弦值为eq\f(\r(3),3)．20.(1)假设为H0：居民的核酸检测地点与性别无关系，根据2×2列联表得，χ2＝eq\f(80×10×10－10×502,60×20×20×60)＝eq\f(80,9)≈8．889>6．635＝x0．01，根据小概率值α＝0．01的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”，此推断认为犯错误的概率不超过0．01．(2)由题意得，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(5,6)))，且P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))3－k，k＝0,1,2,3，故E(X)＝np＝3×eq\f(5,6)＝eq\f(5,2)，D(X)＝np(1－p)＝3×eq\f(5,6)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)．21.(1)由题知,A1(-2,0),A2(2,0).设P(x0,y0)(x0≠0,y0≠0),(在设点的坐标时,注意题中的限制条件,并根据限制条件写出参数的范围)则k1=y0∵kPA1=y0x0+2,kPA2=试题高三由y又点P在椭圆C上,∴x024+y02∴k2=4y(2)根据(1)可知直线OP的方程为y=k1x直线OQ的方程为y=4k1x.由y=k1根据椭圆的对称性,不妨