2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 　第三章 §2　第2课时　空间向量的数量积 学案

第2课时空间向量的数量积[学习目标]1.了解空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.了解投影向量以及投影数量的概念.4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离．导语在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义．一、空间向量的夹角及数量积知识梳理1．两个向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角，记作〈a，b〉范围0≤〈a，b〉≤π向量平行当〈a，b〉＝0时，向量a与b方向相同；当〈a，b〉＝π时，向量a与b方向相反向量垂直当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，称向量a，b互相垂直，记作a⊥b规定：零向量与任意向量垂直2.两个向量的数量积(1)空间向量的数量积已知两个空间向量a，b，把|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0.①cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)；②|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)，|a|2＝a2；③a⊥b⇔a·b＝0.(2)运算律交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)例1如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))；(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))；(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))；(4)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→)).解(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(BA,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1×cos60°＝eq\f(1,4).(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(BD,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1×cos0°＝eq\f(1,2).(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(DC,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1×cos120°＝－eq\f(1,4).(4)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)[eq\o(BD,\s\up6(→))·(－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·(－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))]＝eq\f(1,4)[－eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))]＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)))＝－eq\f(1,8).反思感悟由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．跟踪训练1(1)(多选)设a，b为空间中的任意两个非零向量,下列各式中正确的有()A．a2＝|a|2B.eq\f(a·b,a2)＝eq\f(b,a)C．(a·b)2＝a2·b2D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2答案AD解析由数量积的性质和运算律可知A，D是正确的；而eq\f(a·b,a2)运算后是实数，eq\f(b,a)没有这种运算，B不正确；(a·b)2＝(|a|·|b|cos〈a，b〉)2＝|a|2·|b|2·cos2〈a，b〉≠|a|2·|b|2＝a2·b2，C不正确．(2)已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为____．答案－13解析∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(32＋12＋42,2)＝－13.二、投影向量与投影数量知识梳理已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量eq\o(OB1,\s\up6(→))为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于||b|cos〈a，b〉|，当〈a，b〉为锐角时，|b|cos〈a，b〉>0(如图(1))；当〈a，b〉为钝角时，|b|cos〈a，b〉<0(如图(2))；当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，|b|cos〈a，b〉＝0(如图(3))．若用a0表示与向量a(a≠0)同方向的单位向量，则向量b在向量a方向上的投影向量为eq\o(OB1,\s\up6(→))＝|b|cos〈a，b〉a0.因此，称|b|cos〈a，b〉为投影向量eq\o(OB1,\s\up6(→))的数量，也称为向量b在向量a方向上的投影数量．向量b在向量a方向上的投影数量为|b|cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|)＝a0·b.注意点：(1)投影数量可正、可负、也可为零，这是由两非零向量的夹角决定的．(2)投影数量不一定是投影向量的模．当两向量的夹角小于或等于90°时，投影数量才是投影向量的模．例2(1)已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影数量为________．答案1解析∵a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，∴(2a－b)·a＝2|a|2－a·b＝2×22－2×6×eq\f(1,2)＝2，∴2a－b在a方向上的投影数量为eq\f(2a－b·a,|a|)＝eq\f(2,2)＝1.(2)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，BC⊥PB；|PA|＝2，|PB|＝2eq\r(2)，若eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的单位向量为e，则eq\o(CP,\s\up6(→))在向量eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的投影向量为________．答案－2e解析∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，BC⊥PB，∴BC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴CB⊥AB，又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，故eq\o(CP,\s\up6(→))在向量eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的投影向量为eq\o(BA,\s\up6(→))＝－2e.反思感悟(1)求投影向量的方法①依据投影向量的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量．②首先根据题意确定向量a的模与b同向的单位向量e及两向量a与b的夹角θ，然后依据公式|a|cosθ·e计算．(2)a在b方向上的投影数量为|a|cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|b|).跟踪训练2(1)已知|b|＝3，a在b方向上的投影数量为eq\f(3,2)，则a·b＝________.答案eq\f(9,2)解析∵|a|cos〈a，b〉＝eq\f(3,2)，∴a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝3×eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).(2)已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12且e是与b方向相同的单位向量，则a在b方向上的投影向量为________．答案－eq\f(12,5)e解析由于cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(12,3×5)＝－eq\f(4,5)，所以a在b方向上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·e＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))·e＝－eq\f(12,5)e.三、空间向量数量积的运算例3已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，AD＝AA1＝AB＝1，∠A1AB＝∠DAB＝∠DAA1＝60°，eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝3eq\o(NC1,\s\up6(→))，eq\o(D1B,\s\up6(→))＝4eq\o(MB,\s\up6(→))，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c.(1)试用a，b，c表示eq\o(MN,\s\up6(→))；(2)求MN的长度．解(1)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1A1,\s\up6(→))＋eq\o(A1N,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)eq\o(D1B,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)(eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)c－eq\f(3,4)(a－b)－b＋eq\f(2,3)(a＋b)＝－eq\f(1,12)a＋eq\f(5,12)b＋eq\f(3,4)c.(2)∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,12)a＋eq\f(5,12)b＋eq\f(3,4)c.eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，∴eq\o(MN,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,12)a＋\f(5,12)b＋\f(3,4)c))2＝eq\f(1,144)a2＋eq\f(25,144)b2＋eq\f(9,16)c2－2×eq\f(1,12)×eq\f(5,12)a·b－2×eq\f(1,12)×eq\f(3,4)a·c＋2×eq\f(5,12)×eq\f(3,4)b·c＝eq\f(1,144)＋eq\f(25,144)＋eq\f(9,16)－2×eq\f(1,12)×eq\f(5,12)×cos60°－2×eq\f(1,12)×eq\f(3,4)×cos60°＋2×eq\f(5,12)×eq\f(3,4)×cos60°＝eq\f(138,144)，∴MN的长度为|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(138),12).反思感悟求向量的夹角和模(1)求两个向量的夹角：利用公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)求cos〈a，b〉，进而确定〈a，b〉．(2)求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量；②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用|a|＝eq\r(a2)，计算出|a|，即得所求长度(距离)．跟踪训练3(1)已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，则〈eq\o(A′B,\s\up6(→))，eq\o(B′D′,\s\up6(→))〉等于()A．30°B．60°C．90°D．120°答案D(2)已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为________．答案eq\r(6)解析设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，因此a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).由eq\o(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，得|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC\o\al(2,1),\s\up6(→))＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.所以|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(6).1．知识清单：(1)空间向量的夹角、投影向量和投影数量．(2)空间向量数量积、性质及运算．2．方法归纳：化归转化．3．常见误区：数量积的符号由夹角的余弦值决定．1．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(A1C1,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(C1A1,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(C1B,\s\up6(→))D.eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(AD1,\s\up6(→))答案AD2．已知等边△ABC的边长为2，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))在向量eq\o(CA,\s\up6(→))方向上的投影向量为()A．－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))C．2eq\o(AC,\s\up6(→)) D．2eq\o(CA,\s\up6(→))答案A解析在等边△ABC中，因为A＝60°，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))在向量eq\o(AC,\s\up6(→))方向上的投影向量为eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))在向量eq\o(CA,\s\up6(→))方向上的投影向量为－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→)).3．若a，b为空间夹角是60°的两个单位向量，则|a－b|＝________.答案1解析∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝1.∴|a－b|＝1.4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝