2023-2024学年四川省绵阳市涪城区重点学校高二（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省绵阳市涪城区重点学校高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在空间直角坐标系O−xyz中，点A(1,3A.(1,−3,5) B.2.已知向量a=(1,−1A.a+b=(2,−2,3.袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立的两事件是(

)A.至少有一个白球；全部都是红球 B.至少有一个白球；至少有一个红球

C.恰有一个白球；恰有一个红球 D.恰有一个白球；全部都是红球4.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,A.45 B.50 C.55 D.605.袋中有红色、黄色、绿色球各1个，每次任取1个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是(

)A.227 B.19 C.296.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A−BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AA.23 B.34 C.7.已知四面体ABCD，DA=a，DB=b，DC=c，点M在棱DA上，A.−34a−12b−18.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1A.12 B.1 C.52二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.如图是2018年第一季度五省GDP情况图，则下列描述正确的是(

)

A.与去年同期相比2018年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长

B.2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省

C.2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个

10.对甲、乙两个大学生一周内每天的消费额进行统计，得到两组样本数据，甲：40，53，57，62，63，57，60；乙：47，63，52，59，45，56，63.则下列判断正确的是(

)A.甲消费额的众数是57，乙消费额的众数是63

B.甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56

C.甲消费额的平均数大于乙消费额的平均数

D.甲消费额的方差小于乙消费额的方差11.甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制(当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束).根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13.若前两局中乙队以2：0A.甲队获胜的概率为827 B.乙队以3：0获胜的概率为13

C.乙队以3：1获胜的概率为19 D.乙队以3：12.如图，棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，A.平面D1A1P⊥平面A1AP

B.BC/​/平面A1三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”华”两个字都取到才停止．用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、华，民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取三次的结果，经随机模拟产生了以下18组机数：

232ㅤ321ㅤ230ㅤ023ㅤ12314.自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a、b、c及棱间交角α、β、γ(合称为“晶胞参数”)来表征.如图是某种晶体的晶胞，其中a=2，b=c=1，α=60°，β15.已知点D在平面ABC内，O为平面ABC外一点，且OD=x16.如图，在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知a=x,4,1，b=−2,y,−1，c=(3,−2,z)18.(本小题12.0分)

某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．

(1)根据频率分布直方图，估计这19.(本小题12.0分)

随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走人大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷．广元某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为14,12；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为12,14；两人租车时间都不会超过三小时．

(Ⅰ)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；20.(本小题12.0分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1和BCC1B1都是正方形，平面ABB1A1⊥平面BCC1B21.(本小题12.0分)

为了纪念中国古代数学家祖冲之在圆周率上的贡献，联合国教科文组织第四十届大会上把每年的3月14日定为“国际数学日”.2023年3月14日，某学校举行数学文化节活动，其中一项活动是数独比赛(注：数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，又称九宫格).甲、乙两位同学进入了最后决赛，进行数独王的争夺.决赛规则如下：进行两轮数独比赛，每人每轮比赛在规定时间内做对得1分，没做对得0分，两轮结束总得分高的为数独王，得分相同则进行加赛.根据以往成绩分析，已知甲每轮做对的概率为0.8，乙每轮做对的概率为0.75，且每轮比赛中甲、乙是否做对互不影响，各轮比赛甲、乙是否做对也互不影响．

(1)求两轮比赛结束乙得分为1分的概率；

(22.(本小题12.0分)

条件①：图(1)中tan2B=−43.条件②：图(1)中AD=23AB+13AC.条件③：图(2)中三棱锥A−BCD的体积为23.从以上三个条件中任选一个，补充在问题(2)中的横线上，并加以解答.如图(1)所示，在△ABC中，∠ACB=45°，B

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：在空间直角坐标系O−xyz中，点关于xOy平面的对称点只有竖坐标为原来的相反数，其他不变，

所以点P关于平面xOy对称的点是(1,32.【答案】B

【解析】解：∵向量a=(1,−1,−2)，b=(1,−3,−3)，3.【答案】D

【解析】解：袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，

对于A，至少有一个白球和全部都是红球是对立事件，故A错误；

对于B，至少有一个白球和至少有一个红球能同时发生，不是互斥事件，故B错误；

对于C，恰有一个白球；恰有一个红球同时发生，不是互斥事件，故C错误；

对于D，恰有一个白球和全部都是红球，不能同时发生，是互斥而不对立事件，故D正确．

故选：D．

利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．

本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件的性质等基础知识，是基础题．4.【答案】B

【解析】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，

在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，

每组数据的组距为20

则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3，

又∵低于60分的人数是15人，

则该班的学生人数是150.3=50．

故选：B．

由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于605.【答案】B

【解析】解：根据题意，记“所取球的颜色全相同”为事件A，

将袋中的球有放回地抽取三次，每次有3种可能，则共有3×3×3=27种可能，即27个基本事件；

事件A是所取球的颜色全相同包含3个基本事件，

P(A)=327=6.【答案】C

【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中的线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BM与C【解答】

解：由题意可以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BDC的垂线为z轴(与AB平行)，建立空间直角坐标系如图所示，

设AB=BC=CD=1，

则A(0,1,1)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，

D7.【答案】C

【解析】【分析】本题考查空间向量的线性表示与运算问题．

根据题意，利用空间向量的线性表示与运算，用DA，DB与DC【解答】解：连接DN，如图所示，

四面体ABCD中，DA=a，DB=b，DC=c，

点M在棱DA上，且DM=3MA，∴DM8.【答案】B

【解析】解：如图，

以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，E(0,0,12)，

B1A=(0,−1,−9.【答案】AB【解析】解：由2018年第一季度五省GDP情况图，知：

与去年同期相比，2018年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长，A正确；

2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省，故B正确；

2018年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南，

共2个，故C不正确；

由2017年同期河南省的GDP总量增长6.6%后达到2018年的4

067.4亿元，

可得去年同期河南省的GDP总量约为3

815.6亿元，不超过4

00010.【答案】AB【解析】解：对于A，甲组数据中的众数为57，乙组数据中的众数为63，正确；

对于B，甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56，正确；

对于C，x甲−=17×(40+53+57+57+60+62+63)=56，x乙11.【答案】AB【解析】解：对于A，在乙队以2：0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队获胜，所以甲队获胜的概率为(23)3=827，故A正确；

对于B，乙队以3：0获胜，即第三局乙获胜，概率为13，故B正确；

对于C，乙队以3：1获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为23×13=29，故C错误；

对于D，若乙队以3：2获胜，则第五局为乙队获胜，第三、四局乙队输，所以乙队以312.【答案】AC【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断，空间几何体中的直线与平面的位置关系的应用，直线与直线所成角的求法，几何体的体积的判断，是较难题．

利用平面与平面垂直判断A；直线与平面是位置关系判断B；求出三棱锥的体积判断C；求出异面直线所成角判断D．【解答】

解：对于A，正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1D1⊥AA1，A1D1⊥AB，

∵AA1∩AB=A，AA1、AB⊂平面A1AP，

∴A1D1⊥平面A1AP，∵A1D1⊂平面D1A1P，

∴平面D1A1P⊥平面A1AP，故A正确;

对于B，正方体ABCD−A1B1C1D1中，得BC//A1D1，

∴B、C、A1、D1四点共面，所以BC⊂平面A1D1P，故B不正确;

对于C，∵S13.【答案】518【解析】解：根据题意，随机数中只有021，001，130，031，103共5种情况，

则可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为518，

故答案为：518，

根据题意可得出满足题意的随机数，利用古典概型定义可解．14.【答案】10【解析】解：如图所示，可得AC1=AC+CC1=AB+AD+CC1=AB+AD+AA1，

因为a=2，b=c=1，α=60°，β=90°，γ=120°，

所以|A15.【答案】9

【解析】【分析】由已知可得x+y+z=1，再结合x+y=1−z，将结论看成关于z的函数求出最值．

本题考查空间四点共面的向量表示，导数在研究函数最值中的应用，属于中档题．

【解答】

解：由已知得x+y+z=1，故x+y=1−z>0，

故0<z<1，则1x+y+4z16.【答案】5【解析】解：因为正方体的三条棱DA，DC，DD1两两垂直，

所以以D为原点，DA,DC,DD

分别为x，y，z轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系：

取点G为B1C1的中点，P为A1D1的中点，所以PG//C1D1，

又因为CD//C1D1，所以PG/​/CD，所以P，G，C，D构成平面PGCD，

因为E，F为CD上两个动点，P∈PD，且E，F，P三点不共线，

所以平面EFP即平面PGCD，

所以点Q到平面PEF的距离即为点Q到平面PGCD的距离，

又D(0,0,0)，C(17.【答案】解：(1)∵a//b，∴设a=λb，

即x,4,1=λ−2,y,−1，x=−2λ4=λy1=−λ，解得x=2y=−4．

故b=−2,−4,−【解析】本题考查空间向量平行和垂直的应用，考查空间向量的夹角公式，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．

(1)由向量的平行和垂直可得关于x，y，z的关系式，解之即可求得;

(2)由(118.【答案】解：(1)设这m人的平均年龄为x−，则x−=22.5×0.05+27.5×0.35+32.5×0.3+37.5×0.2+42.5×0.1=32.25(岁)，

设第80百分位数为a，

由0.05+0.35+0.3+(a−35)×0.04=0.8，

解得a=37.5．

(2)由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽取2人，记为D，乙，

对应的样本空间为：Ω={(A,B)，(A,C)，(A，甲)，(A，乙)，(A,D)，(B,C)，(B，甲)，(B，乙)，(B,D)，(【解析】(1)根据平均数和第80百分位数的定义求解．

(2)由分层抽样可知第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽取2人，记为D，乙，从中随机抽取19.【答案】解：(Ⅰ)甲、乙两人所付费用相同即同为2，4，6元，

都付2元的概率P1=14×12=18，

都付4元的概率P2=12×14=18，

都付6元的概率P3=14×14=116，

∴所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=18+18+【解析】(Ⅰ)甲、乙两人所付费用相同即同为2，4，6元，都付2元的概率P1=14×12=18，都付4元的概率P2=12×14=18，都付6元的概率P3=14×14=116，由此利用互斥事件概率加法公式能求出所付费用相同的概率．

(Ⅱ20.【答案】(Ⅰ)证明：取A1C中点F，连接DF，EF，

在△AA1C中，E，F分别是AC，A1C的中点，

所以EF/​/AA1，EF=12AA1．

在三棱柱ABC−A1B1C1中，

四边形AA1B1B为正方形，D为BB1中点，

所以BD//AA1，BD=12AA1．

所以BD/​/EF，BD=EF．

所以四边形BEFD为平行四边形．

所以BE/​/DF．

因为DF⊂平面A1CD，BE⊄平面A1CD，

所以BE//平面A1CD．

(Ⅱ)解：因为平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，平面ABB1A【解析】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力．

(Ⅰ)取A1C中点F，连接DF，EF，证明EF/​/AA1，BD/​/EF，说明四边形BEFD21.【答案】解：(1)甲、乙两位同学进入了最后决赛，进行数独王的争夺．

决赛规则如下：进行两轮数独比赛，每人每轮比赛在规定时间内做对得1分，没做对得0分，

两轮结束总得分高的为数独王，得分相同则进行加赛，

甲每轮做对的概率为0.8，乙每轮做对的概率为0.75，且每轮比赛中甲、乙是否做对互不影响，

各轮比赛甲、乙是否做对也互不影响．

设Ai=“甲第i轮做对”(i=1,2)，设Bi=“乙第i轮做对”(i=1,2)，

设Ci=“两轮比赛甲得i分”(i=0,1,2)，

设Di=“两轮比赛乙得1分”(i=0,1,2)．

则两轮比赛结束乙得分为【解析】(1)设Ai=“甲第i轮做对”(i=1,2)，设Bi=“乙第i轮