2023-2024学年黑龙江省哈尔滨重点中学高一（上）第一次月考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年黑龙江省哈尔滨重点中学高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.设集合A={x|1<x<3}，B={x|2≤x<5}，则图中的阴影部分表示的集合为(

)A.{x|1<x<2} B.{x|1<x≤2} C.{x|2≤x<3} D.{x|1<x<5}2.命题“∀x>0，x2−x+1>0”的否定为(

)A.∀x>0，x2−x+1≤0 B.∀x≤0，x2−x+1≤0

C.∃x>0，x23.哈尔滨市实行“阶梯水价”，具体收费标准如表所示：年用水量价格不超过150m2.4元/超过150m3不超过3.6元/超过250m7.2元/若小李同学年用水量为200m3，则应交水费为A.720元 B.540元 C.480元 D.560元4.设集合A={0,1,2}，集合B={x|x=a+b,a,b∈A且a≠b}，则有(

)A.A∪B有2个元素 B.A∪B有3个元素 C.A∩B有4个子集 D.A∩B有8个子集5.下列选项中表示同一函数的是(

)A.f(x)=x与g(x)=x2x

B.f(x)=x+1⋅x−1与g(x)=x6.已知a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是(

)A.若bc2<ac2，则b<a B.若a3>b3且ab<0，则1a>17.下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有个．(

)

①若x，y是偶数，则x+y是偶数

②若a<2，则方程x2−2x+a=0有实根

③若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形

④若ab=0，则A.0 B.1 C.2 D.38.已知a>1，b>0，且2a−1+1b=1，则A.8 B.9 C.11 D.139.下列命题中，错误的是(

)A.“x=2”是“x2−3x+2=0”的必要不充分条件

B.∀x∈R，x2+1>2x

C.命题“∃x∈R，x10.下列命题为真命题的是(

)A.若|2x−1|<7，则解集为{x|−3<x<4}

B.若−x2+3x+10>0，则解集为{x|−2<x<5}

C.若5x+1x+1<3，则解集为{x|x<1}

11.若a>0，b>0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是(

)A.ab≤1 B.a+b≤12.已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：

①集合P，Q中的元素都为正数；

②∀a，b∈Q(a≠b)，都有ab∈P；

③∀a，b∈P(a≠b)，都有ab∈Q；

则下列说法正确的是(

)A.若P有2个元素，则Q有3个元素 B.若P有2个元素，则P∪Q有3个元素

C.若P有2个元素，则P∩Q有1个元素 D.存在满足条件且有3个元素的集合P二、非选择题（共90分）13.函数y=2x+3+1−x14.已知函数f(x)的定义域为{x|1≤x≤3}，则函数y=f(2x−1)的定义域为______．15.设集合A={x|x2−x−2>0}，集合B={x|2x2+(2k+5)x+5k<0}，若A∩B中恰含有一个整数−2，则实数16.设a+b=2，b>0，则当a=

时，12|a|+|a|17.(1)已知a>b>0，试比较a2−b2a2+b2与18.已知函数f(x)=x2−2ax+b+1．

(1)若不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<5}，求不等式bx2−(a+2)x+1≥0的解集．

(2)若b=2a+2，f(x)<0解集为19.设A={x|x2−3x+2=0}，B={x|x2+px+q=0}．

(1)若A⊆B，求p，q的值．

(2)若A∪B={1,2,3}，求20.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为：y=920vv2+3v+1600(v>0)．

(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(保留分数形式)

(2)若要求在该时段内车流量超过1021.讨论关于x的不等式ax2+(2−2a)x−4>022.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)．

(1)若f(0)=2，f(1)=1，对∀x∈(2,5)，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．

(2)若a=1，f(x)≤0的解集为A，f[f(x)]≤3的解集为B，且A=B≠⌀，求实数b的取值范围．答案和解析1.【答案】C

【解析】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A且属于B的元素构成，

所以用集合表示为A∩B={x|2≤x<3}．

故选：C．

根据图形得到阴影部分表示的集合为A与B的交集，即为集合A与B中不等式的公共部分，即可求解结论．

本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．2.【答案】C

【解析】解：∀x>0，x2−x+1>0”的否定为∃x>0，x2−x+1≤0．

故选：C．3.【答案】B

【解析】解：由题意可知，应交水费为2.4×150+3.6×(200−150)=540(元)．

故选：B．

直接利用“阶梯水价”的收费标准求解即可．

本题主要考查了函数的实际应用，属于基础题．4.【答案】C

【解析】解：因为A={0,1,2}，B={x|x=a+b,a,b∈A且a≠b}，

所以B={1,2,3}，

所以A∪B={0,1,2,3}，A∩B={1,2}，

所以

A∩B有4个子集，

故选C．

由题意得B={1,2,3}，再求出A∪B={0,1,2,3}，A∩B={1,2}，即可得出结果．

本题主要考查集合的运算，属于基础题．5.【答案】D

【解析】解：A项，f(x)中x∈R，g(x)中，x≠0，不是同一函数；

B项，f(x)中x+1≥0x−1≥0，则x≥1，g(x)中，x2−1≥0，x≥1或x≤−1，

x取值范围不同，不是同一函数；

C项，f(x)=|x+100|，对应关系不同，不是同一函数；

D项，f(x)=g(x)=x，是同一函数．

故选：D．

根据x6.【答案】ABC

【解析】解：对于A，若bc2<ac2成立，则c≠0，所以c2>0，可得b<a，故A正确；

对于B，由a3>b3得a>b，结合ab<0，可知a>0>b，所以1a>0>1b，故B正确；

对于C，由a>b>c>0，得ac>bc，所以ac+ab>bc+ab，

结合1b(b+c)>0，两边同时乘以1b(b+c)，得ab>a+cb+c，故C正确；

对于D，因为7.【答案】D

【解析】解：对于①，x+y是偶数，不能保证x，y均是偶数，也有可能都是奇数，故①不符合题意；

对于②，若方程x2−2x+a=0，则需满足Δ=4−4a≥0，即a≤1，可推出a<2，故②符合题意；

对于③，若四边形是菱形，则四边形对角线互相垂直，故③符合题意；

对于④，若a=0，则ab=0，故④符合题意．

故选：D．

根据必要条件的概念找出符合要求的选项即可．8.【答案】C

【解析】解：因为a>1，b>0，且2a−1+1b=1，

则2a+b=[2(a−1)+b](2a−1+1b)+2=7+2ba−1+2(a−1)b≥7+22ba−1⋅2a−2b9.【答案】ABC

【解析】解：对于A选项，解方程x2−3x+2=0可得x=1或x=2，

故“x=2”是“x2−3x+2=0”的充分不必要条件，A错；

对于B选项，当x=1时，x2+1=2x，B错；

对于C选项，对于方程x2−x+1=0，Δ=1−4<0，即方程x2−x+1=0无实解，

故命题“∃x∈R，x2+1=x”为假命题，其否定为真命题，C错；

对于D选项，“三角形为等腰三角形”推不出“三角形为正三角形”，

但“三角形为等腰三角形”⇐“三角形为正三角形”，

故“三角形为等腰三角形”是“三角形为正三角形”的必要不充分条件，D对．

故选：10.【答案】AB

【解析】解：对于A，由|2x−1|<7得：−7<2x−1<7，解得：−3<x<4，故A正确；

对于B，由−x2+3x+10>0得：x2−3x−10<0，即(x−5)(x+2)<0，解得：−2<x<5，故B正确；

对于C，由5x+1x+1<3得：5x+1x+1−3<0，即5x+1x+1−3x+3x+1<0，即2x−2x+1<0，即2(x+1)(x−1)<0，解得：−1<x<1，故C错误；

对于D，由(x−1)(x+2)2≥011.【答案】ACD

【解析】【分析】对于选项B直接用特殊值法代入排除，其他选项用基本不等式a+b≥2ab代入求解即可判断．【解答】

解：对于不等式ab≤1，

由2=a+b≥2ab⇒ab≤1，

当且仅当a=b时取等号，A正确；

对于不等式a+b≤2，令a=1，b=1时不成立，B错误；

对于不等式a2+b2≥2，

a2+b212.【答案】BC

【解析】解：若P有2个元素，设P={a,b}，则ab∈Q.根据题意，则a>0，b>0，a≠b．

∵Q至少有2个元素，∴集合Q中至少还有一个元素，

设x∈Q，x≠ab，则x>0，且xab∈P,abx∈P，

若xab=abx，则x2=(ab)2，

∵x>0，a>0，b>0，∴x=ab，矛盾，

故xab≠abx，∴xab=a,abx=b或xab=b,abx=a．

若xab=a,abx=b，则x=a，ab=1，∴b=1a，

若a=1，则b=a=1，与a≠b矛盾，∴a≠1，同理b≠1．

此时P={a,1a},Q={a,1},P∪Q={a,1a,1},P∩Q={a}；

若xab=b,abx=a，则x=b，ab=1，∴a=1b，

若a=1，则b=a=1，与a≠b矛盾，∴a≠1，同理b≠1．

此时P={b,1b},Q={b,1},P∪Q={b,1b,1},P∩Q={b}；

综上，若P有2个元素，则Q有2个元素，P∪Q有3个元素，P∩Q有1个元素，

故A错误，B正确，C正确；

假若P有3个元素，设P={a,b,c}，则a，b，c为互不相等的正数．根据(3)，有ab∈Q，bc∈Q，ac∈Q．

由于a，b，c都是正数，且两两不相等，所以ab，bc，ac两两不相等．

由条件(2)可得，ac,ab,ba,bc,ca,cb都是集合P={a,b,c}的元素．

∵a，b，c为互不相等的正数，∴ac,ab,ba,bc13.【答案】{x|−32≤x≤1【解析】解：∵函数y=2x+3+1−xx，

∴2x+3≥01−x≥0x≠0，

解得−32≤x≤1且x≠0．

故函数y=2x+3+1−xx的定义域为：14.【答案】{x|1≤x≤2}

【解析】解：∵函数y=f(x)的定义域为{x|1≤x≤3}，

∴1≤2x−1≤3，

解得：1≤x≤2，

即函数y=f(2x−1)的定义域是为{x|1≤x≤2}．

故答案为：{x|1≤x≤2}．

根据函数定义域的求法，直接解不等式1≤2x−1≤3，即可求函数y=f(2x−1)的定义域．

本题主要考查复合函数定义域的求法，属于基础题．15.【答案】[−3,2)

【解析】解：集合A={x|x2−x−2>0}={x|x<−1或x>2}=(−∞,−1)∪(2,+∞)，

集合B={x|2x2+(2k+5)x+5k<0}={x|(x+k)(2x+5)<0}，

当−k<−52，即k>52时，B=(−k,−52)，所以A∩B=(−k,−52)，且−2∉(−k,−52)；

当−k=−52，即k=52时，B=⌀，所以A∩B=⌀，不满足题意；

当−k>−52，即k<52时，B=(−52,−k)，若A∩B中恰含有一个整数−2，则−2<−k≤3，解得16.【答案】−2

【解析】【分析】本题考查利用导数求函数的最值(不含参)、利用导数判断已知函数的单调性，属于中档题．

由a+b=2和b>0可得12|a|+|a|b=12|a|【解答】

解：因为a+b=2，b>0，

所以12|a|+|a|b=12|a|+|a|2−a(a<2)，

设f(a)=12|a|+|a|2−a(a<2)，

画出函数f(a)的图象，如图所示，

若a<0，则f(a)=−12a+aa−2，

则f′(a)=12a2−2(a−2)2=−(3a−2)(a+2)2a2(a−2)2，

当a<−2时，f′(a)<0，当−2<a<0时，17.【答案】解：(1)a2−b2a2+b2−a−ba+b=(a+b)(a2−b2)−(a2+b2)(a−b)(a2+b2)(a+b)=(a−b)[(a+b)【解析】(1)根据给定条件，作出被比较的两个式子的差，判断符号即可得解．

(2)作出所证不等式两边的差，变形并判断符号作答．

本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意可知，不等式x2−2ax+b+1<0的解集为{x|1<x<5}，

∴1和5是方程x2−2ax+b+1=0的两个根，

∴1+5=2a1×5=b+1，解得a=3b=4，

∴不等式bx2−(a+2)x+1≥0，可化为4x2−5x+1≥0，

解得x≤14或x≥1，

即不等式的解集为(−∞,14]∪[1,+∞)；

(2)若b=2a+2，则f(x)<0可化为，x2−2ax+2a+3<0【解析】(1)由题意可知，1和5是方程x2−2ax+b+1=0的两个根，由韦达定理可求出a，b的值，进而求出不等式bx2−(a+2)x+1≥0的解集；

(2)若b=2a+2，则f(x)<0可化为，x19.【答案】解：由题意可知：A={x|x2−3x+2=0}={1,2}，

(1)因为A⊆B，所以1，2是方程x2+px+q=0的两根，

即1+2=−p，1×2=q，即p=−3，q=2．

(2)因为A∪B={1,2,3}，

所以集合B={3}或集合B={1,3}或集合B={2,3}，

当集合B={3}时，Δ=p2−4q=0且32+3p+q=0，

所以p=−6，q=9；

当集合B={1,3}时，Δ>0，且1，3是方程x2+px+q=0的两根，

所以−p=1+3=4，即p=−4，q=1×3=3；

当集合B={2,3}时，Δ>0，且2，3【解析】(1)首先计算出集合A，然后根据A⊆B可得1，2是方程x2+px+q=0的两根，利用韦达定理即可得出所求的答案；

(2)由题意可知集合B={3}或集合B={1,3}或集合B={2,3}，分三种情况讨论，并分别计算p，q的值．20.【答案】解：(1)依题意，y=920vv2+3v+1600=920v+1600v+3≤92083，当且仅当v=1600v，即v=40时，等号成立，

∴ymax=92083(千辆/时)，

当v=40km/ℎ时，车流量最大，最大车流量约为92083千辆/时．【解析】(1)根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．

(2)令920vv2+3v+1600>10，解出21.【答案】解：∵ax2+(2−2a)x−4>0，

∴(ax+2)(x−2)>0，

①a=0时，由x−2>0，解得：x>2，

不等式的解集是{x|x>2}；

②a≠0时(i)a>0时，x=−2a<0，

故不等式