难点突破-三角形全等证明题练习50道(含详细解析)

第1页（共1页）难点突破——三角形全等证明题练习50道（含详细解析）1．如图所示，，，，相交于点，求证：（1）；（2）．2．如图，点，，，在同一条直线上，，，垂足分别为，，且，．求证：．3．如图，中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且．（1）求证：；（2）若在原有条件基础上再添加，你还能得出什么结论．（不用证明）（写2个）4．如图，，，点是上一点，且，延长交于点．（1）求证：；（2）如果，，求的度数．5．如图，已知为的中点，，，点、为垂足，且．求证：是等腰三角形．6．已知：如图，，，．求证：．7．如图所示，，，添加一个适当的条件，使（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母）．8．如图，，是的高且相交于点，点是延长线上的一点．（1）试说明：；（2）若，，线段与会相等吗？请说明理由．9．如图，，，，点，是垂足，，求证：（1）；（2）．10．如图，点在线段上，，，，平分．求证：于点．11．如图：已知在中，，，点是上任意一点，，且，与相交于点．（1）试判断的形状，并说明理由．（2）是否存在点，使？如果存在，求出此时的长，如果不存在，请说明理由．12．如图，在中，，于，于．求证：．13．如图，点，，，在一条直线上，且，若，．求证：．证明：14．已知：如图，点是外角平分线上的一点．（1）比大小：（填“”、“”或“”（2）证明（1）中的结论．15．如图，在中，是边上的中线，于点，交的延长线于点，，求证：．16．如图所示，两个形状相同，大小不同的等腰三角形与如图放置，为它们共同的顶角顶点，、、在同一条直线上，连接．（1）你能在图中找到一对全等三角形吗？证明你的结论；（2）若，求的度数．17．已知，如图，直线，线段，点在直线上，且，，且，连接、，．（1）请在下图中补全图形，并写出的度数（用含的代数式表示）；（2）如图，当点在点下方，点在线段的延长线上，且，直线与交于点，试问的度数是否是定值？若是定值，求出并说明理由．18．已知等腰三角形中，点为中点，点是延长线上一动点，点是延长线上一动点连接、，且．（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，、、三条线段还满足（1）中的结论吗？若满足，则直接证明；若不满足，请写出结论并证明．19．已知为所在平面内一点，且，，，垂足分别为点、，．（1）如图1，当点在边上时，判断的形状；并证明你的结论；（2）如图2，当点在内部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请举出反例（画图说明，不需证明）．20．如图，在中，，点为边上的一点，延长至点，使得，当时，过点作于．（1）求证：；（2）若，．求的长度和的长度．21．如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断线段与满足的关系，并说明理由．（2）如图（2），将图（1）中的，为改“”，其它条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．22．如图，，，，点在线段上．（1）求证：．（2）求的度数．23．已知：如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：．24．如图，点在外部，点在边上，与交于点，若，．求证：（1）；（2）．25．已知：如图，，，连结，，交于，连结．求证：（1）；（2）平分．26．如图所示，已知中，、、分别在，和边上，且，，过作于．求证：．27．已知在中，，分别过，两点作互相平行的直线，，过点的直线分别交直线，于点，．（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，，判断线段，与之间的关系，并说明理由．28．阅读下列材料，并完成任务．筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，几何图形的定义通常可作为图形的性质也可以作为图形的判定方法．也就是说，如图，若四边形是一个筝形，则，；若，，则四边形是筝形．如图，四边形是一个筝形，其中，．对角线，相交于点，过点作，，垂足分别为，．求证：四边形是筝形．29．如图，在中，中，，与交于点．（1）试确定与间的数量关系，并说明理由；（2）若，求的度数．30．如图，为的高，为上一点，交于，且有，．求证：（1）；（2）．31．在等腰和等腰中，，，连接、交于点．（1）如图1，若①与的数量关系为；②的度数为．（2）如图2，若①判断与之间存在怎样的数量关系？并说明理由；②求的度数．32．如图，点、、、在同一直线上，、相交于点，，垂足为，，垂足为，且，．（1）求证：；（2）若，求的度数．33．如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，．（1）求证：．（2）当时，求的度数．34．在中，，垂足为，点在上，，连接并延长交于点，连接．（1）求证：．（2）求证：．35．如图，在和中，与相交于点，，，求证：．36．如图所示，，，，，，求的度数．37．如图，在直角坐标系中有一点，为轴上任意一点，为轴上任意一点，且．（1）当时，的值为；（2）当时，的值是否改变？说明你的理由；（3）探索：当时，与的数量关系为．38．已知，如图，射线平分锐角，且平分钝角，求证：．39．如图所示，于点，于点，与交于，且．求证：在的平分线上．40．如图（1），，，垂足分别为、，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上运动．它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“，”改为“”，点的运动速度为，其他条件不变，当点、运动到某处时，有与全等，求出相应的、的值．41．如图，在中，，平分，平分，、交于点，，连结．（1）求证：；（2）线段与之间有怎样的数量关系，请说明理由；（3）若，其他条件不变，则（1）和（2）中的结论是否仍然成立？请直接写出判断结果，不必说明理由．42．已知平分的外角，为射线上一动点．（1）如图所示，若，求证：；（2）在点运动的过程中，试比较与的大小，并说明你的理由．43．如图，在中，，于点，点在的延长线上，，，求证：．44．如图，在和中，点在边上，，，．求证：．45．如图，，、分别是、的中点，，垂足为点，，垂足为点，试判断与的数量关系，并说明理由．46．如图，，，，，垂足分别为、．（1）求证：；（2）已知，，求的长．47．如图，、是的高，，交于点，且，平分．（1）求证：；（2）求的度数．48．在中，，，平分交于，，在，上，且．（1）求的度数；（2）求证：．49．已知：如图，，于点，点在的角平分线上，且点到点、点的距离相等．求证：．50．已知：如图，点、、、在一条直线上，且，，，．求证：（1）；（2）．

难点突破——三角形全等证明题练习50道（含详细解析）参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．如图所示，，，，相交于点，求证：（1）；（2）．【解答】证明：（1），和都是直角三角形．在和中，，，；（2），，，，．2．如图，点，，，在同一条直线上，，，垂足分别为，，且，．求证：．【解答】证明：，，，，，，，．3．如图，中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且．（1）求证：；（2）若在原有条件基础上再添加，你还能得出什么结论．（不用证明）（写2个）【解答】（1）证明：是的中线，，，，，在和中，，，（2）可以得出，．（理由等腰三角形三线合一）．4．如图，，，点是上一点，且，延长交于点．（1）求证：；（2）如果，，求的度数．【解答】（1）证明：，，，，；（2）解：，，，又，，，．5．如图，已知为的中点，，，点、为垂足，且．求证：是等腰三角形．【解答】证明：为的中点，，，，，在和中，，，，，是等腰三角形．6．已知：如图，，，．求证：．【解答】证明：，，在和中，，，．7．如图所示，，，添加一个适当的条件，使（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母）．【解答】解：条件为，理由是：，，，在和中．8．如图，，是的高且相交于点，点是延长线上的一点．（1）试说明：；（2）若，，线段与会相等吗？请说明理由．【解答】证明：（1），是的高，，，（2），，，．9．如图，，，，点，是垂足，，求证：（1）；（2）．【解答】证明：（1），，即．又，，．在与中，，；（2），，．10．如图，点在线段上，，，，平分．求证：于点．【解答】证明：，，在和中，，，平分，．11．如图：已知在中，，，点是上任意一点，，且，与相交于点．（1）试判断的形状，并说明理由．（2）是否存在点，使？如果存在，求出此时的长，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）是等腰直角三角形．理由如下：，，，，，，在和中，，，，，，，是等腰直角三角形；（2）存在．理由如下：，，，，是等腰直角三角形，，，在中，，，．12．如图，在中，，于，于．求证：．【解答】证明：，，，，，在和中，，，，，．13．如图，点，，，在一条直线上，且，若，．求证：．证明：，，，，．【解答】证明：，，，，．故答案为：，，，，．14．已知：如图，点是外角平分线上的一点．（1）比大小：（填“”、“”或“”（2）证明（1）中的结论．【解答】解：（1）结论：．故答案为．（2）理由：在上截取，使得．，，，，，，．15．如图，在中，是边上的中线，于点，交的延长线于点，，求证：．【解答】证明：是上的中线，，，，，又，，，，，，即．16．如图所示，两个形状相同，大小不同的等腰三角形与如图放置，为它们共同的顶角顶点，、、在同一条直线上，连接．（1）你能在图中找到一对全等三角形吗？证明你的结论；（2）若，求的度数．【解答】解：（1）能，，理由如下：和是两个形状相同，大小不同的等腰三角形，，，，，在和中，，；（2），，，．17．已知，如图，直线，线段，点在直线上，且，，且，连接、，．（1）请在下图中补全图形，并写出的度数或或（用含的代数式表示）；（2）如图，当点在点下方，点在线段的延长线上，且，直线与交于点，试问的度数是否是定值？若是定值，求出并说明理由．【解答】解：（1）如图1，点在点上方时，点在点右侧，，，，，，，点在点上方时，点在点左侧，；如图，点在点下方时，点在点右侧，，，，，，，点在点下方时，点在点左侧，；故答案为：或或；（2）的度数是，理由是：如图2，过作轴于，使，连接，，，，轴，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，．18．已知等腰三角形中，点为中点，点是延长线上一动点，点是延长线上一动点连接、，且．（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，、、三条线段还满足（1）中的结论吗？若满足，则直接证明；若不满足，请写出结论并证明．【解答】（1）证明：连接，设交于，如图1所示：，，，点为中点，，，，，，，，，在和中，，，，，，；（2）解：不满足（1）中的结论，；理由如下：连接，取的中点，连接，如图2所示：，，，，点为中点，，，，，是等边三角形，，，，，同（1）得：，在和中，，，，，；19．已知为所在平面内一点，且，，，垂足分别为点、，．（1）如图1，当点在边上时，判断的形状；并证明你的结论；（2）如图2，当点在内部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请举出反例（画图说明，不需证明）．【解答】解：（1）结论：是等腰三角形．理由：，，．在与中，，，，是等腰三角形．（2）当点在内部时，（1）中的结论仍然成立．理由：如图2，，，，在与中，，，．，，，即，，是等腰三角形．20．如图，在中，，点为边上的一点，延长至点，使得，当时，过点作于．（1）求证：；（2）若，．求的长度和的长度．【解答】（1）证明：，，，，，，；（2）解：设，，，在中，由勾股定理得：，解得：，，；作于，如图所示：在和中，，，，，，在和中，，，．21．如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断线段与满足的关系，并说明理由．（2）如图（2），将图（1）中的，为改“”，其它条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1），，，在和中，，，，，，；（2）存在的值，使得与全等，①若，则，，可得：，解得：，；②若，则，，可得：，解得：，．22．如图，，，，点在线段上．（1）求证：．（2）求的度数．【解答】（1）证明：，，即，在和中，，．（2）解：由（1）得：：．，，．，23．已知：如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：．【解答】证明：，，，，，在和中，．．．24．如图，点在外部，点在边上，与交于点，若，．求证：（1）；（2）．【解答】证明：（1），，即，，，，，，在与中，，．（2）由（1）可得．25．已知：如图，，，连结，，交于，连结．求证：（1）；（2）平分．【解答】证明：（1）在和中，，，；（2），，，在和中，，，，在和中，，，，即平分．26．如图所示，已知中，、、分别在，和边上，且，，过作于．求证：．【解答】证明：连接、，如右图所示，，，在和中，，，，，是等腰的中线，．27．已知在中，，分别过，两点作互相平行的直线，，过点的直线分别交直线，于点，．（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，，判断线段，与之间的关系，并说明理由．【解答】（1）证明：如图1，延长交于点，，，又，，又，，，，，，，，又，，在和中，，，；（2）解：；理由如下：如图2，在上截取，连接，，，为等边三角形，，是等边三角形，，，，，，，，又，，，在与中，，，，，又，，即．28．阅读下列材料，并完成任务．筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，几何图形的定义通常可作为图形的性质也可以作为图形的判定方法．也就是说，如图，若四边形是一个筝形，则，；若，，则四边形是筝形．如图，四边形是一个筝形，其中，．对角线，相交于点，过点作，，垂足分别为，．求证：四边形是筝形．【解答】证明：在和中，，，又，，垂足分别为，，；，，，即平分，又，，四边形是筝形．29．如图，在中，中，，与交于点．（1）试确定与间的数量关系，并说明理由；（2）若，求的度数．【解答】解：（1），理由如下：即：在和中（2）是和的外角，，30．如图，为的高，为上一点，交于，且有，．求证：（1）；（2）．【解答】证明：（1）为的边上的高，和为直角三角形．．在和中，，△；（2），．与是对顶角，，．31．在等腰和等腰中，，，连接、交于点．（1）如图1，若①与的数量关系为；②的度数为．（2）如图2，若①判断与之间存在怎样的数量关系？并说明理由；②求的度数．【解答】解：（1）①，，，在和中，，，；故答案为：，②，，，，又，，在中，，；故答案为：；（2）①，理由如下：，，，在和中，，，；②，，又，，，，又在中，，．32．如图，点、、、在同一直线上，、相交于点，，垂足为，，垂足为，且，．（1）求证：；（2）若，求的度数．【解答】（1）证明：，，，，，，即，在和中，，（2）解：，，，由（1）知，，33．如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，．（1）求证：．（2）当时，求的度数．【解答】（1）证明：，，在和中，，；（2）解：中，，，由（1）知：，又，．34．在中，，垂足为，点在上，，连接并延长交于点，连接．（1）求证：．（2）求证：．【解答】证明：（1）是的高，，，是等腰直角三角形，，在和中，，，；（2）如图，在上截取，，，在和中，，，，，，是等腰直角三角形，．35．如图，在和中，与相交于点，，，求证：．【解答】证明：在和中，，，，，．36．如图所示，，，，，，求的度数．【解答】解：，，在与中，，；；，，．37．如图，在直角坐标系中有一点，为轴上任意一点，为轴上任意一点，且．（1）当时，的值为10；（2）当时，的值是否改变？说明你的理由；（3）探索：当时，与的数量关系为．【解答】解：（1）作轴于，轴于，如图1所示：，，，当时，，与重合，与重合，，；故答案为：10；（2）当时，的值不改变，理由如下：作轴于，轴于，如图2所示：则，，，，在和中，，，，；（3）当时，与的数量关系为，理由如下：作轴于，轴于，如图3所示：同（2）得：，，；故答案为：．38．已知，如图，射线平分锐角，且平分钝角，求证：．【解答】证明：射线平分锐角，且平分钝角，，，，在和中，，，．39．如图所示，于点，于点，与交于，且．求证：在的平分线上．【解答】证明：于点，于点，，在和中，，，，在的平分线上．40．如图（1），，，垂足分别为、，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上运动．它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“，”改为“”，点的运动速度为，其他条件不变，当点、运动到某处时，有与全等，求出相应的、的值．【解答】解：（1），，，，，在和中，，；，，，，；（2）存在的值，使得与全等，①若，则，，可得：，解得：，；②若，则，，可得：，解得：，．41．如图，在中，，平分，平分，、交于点，，连结．（1）求证：；（2）线段与之间有怎样的数量关系，请说明理由；（3）若，其他条件不变，则（1）和（2）中的结论是否仍然成立？请直接写出判断结果，不必说明理