2023新教材高中物理第三章相互作用-力专题3共点力的平衡问题分析作业新人教版必修第一册

专题三共点力的平衡问题分析1．共点力平衡的条件及特征(1)平衡条件：物体所受共点力的合力为零。(2)平衡特征：①物体的加速度为零。②物体处于静止或匀速直线运动状态。2．处理共点力平衡问题的常用方法方法内容合成法物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力等大、反向效果分解法物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的作用效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件正交分解法物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件力的三角形法对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力3．处理动态平衡问题的常用方法(1)解析法：对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的一般函数表达式，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。(2)矢量三角形法：对研究对象在动态变化过程中的若干状态进行受力分析，在同一图中作出物体在若干状态下所受的力的矢量三角形，由各边的长度变化及角度变化来确定力的大小及方向的变化。此方法也称为图解法，它是求解动态平衡问题的基本方法。此法的优点是能将各力的大小、方向等变化趋势形象、直观地反映出来，大大降低了解题难度和计算强度。此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另一个力方向不变的问题。(3)相似三角形法：在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力的方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。4．共点力平衡中的临界和极值问题(1)临界问题①问题界定：物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题。②分析方法：基本方法是假设推理法。即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。(2)极值问题①问题界定：共点力平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值或最小值的问题。②分析方法a．解析法：根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。b．图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。(3)临界与极值问题的分析技巧①求解共点力平衡问题中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡中的临界点和极值点。②临界条件必须在变化中寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而是要把某个物理量推向极端，即极大或极小，并依此作出科学的推理分析，从而给出判断或结论。5．多物体系统的平衡问题(1)系统平衡的特征①系统内每个物体的加速度均为零。②系统内每个物体均处于静止或匀速直线运动状态。(2)系统平衡问题的解题方法一般先对整体或隔离体进行受力分析，然后对整体或隔离体应用平衡条件列方程求解。典型考点一静态平衡问题1．(多选)如图所示，质量为m的木块A放在质量为M的三角形斜面体B上，现用大小不相等、方向相反的水平力F1、F2分别推A和B，它们均静止不动，且F1<F2，重力加速度为g，则()A．A受到四个力的作用B．B对A的摩擦力方向一定沿斜面向下C．地面对B的摩擦力方向水平向右，大小为F2－F1D．地面对B的支持力大小一定等于(M＋m)g答案CD解析以A为研究对象进行受力分析，如图甲所示，A受重力、F1、B对A的支持力作用，但是在沿斜面的方向上，F1的分力和重力的分力大小关系不确定，所以B和A之间有无摩擦力不确定，有摩擦力时，摩擦力的大小和方向也无法确定，A、B错误；以整体为研究对象进行受力分析，如图乙所示，水平方向：Ff＝F2－F1，方向水平向右，竖直方向：FN＝(M＋m)g，C、D正确。2.(多选)如图所示，质量分别为m1、m2的两个物体通过轻弹簧连接，在力F的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动(m1在地面上，m2在空中)，力F与水平方向成θ角。则下列关于m1所受的支持力FN和摩擦力Ff，正确的是()A．FN＝m1g＋m2g－FsinθB．FN＝m1g＋m2g－FcosθC．Ff＝FcosθD．Ff＝Fsinθ答案AC解析因为本题中两个物体和轻弹簧一起做匀速直线运动，所受合力为零，将两个物体和轻弹簧看成一个整体并进行受力分析，如图所示，由正交分解法可知，在水平方向有Ff＝Fcosθ，在竖直方向有FN＋Fsinθ＝m1g＋m2g，所以Ff＝Fcosθ，FN＝m1g＋m2g－Fsinθ，A、C正确。典型考点二动态平衡问题3．如图所示，与水平方向成θ角的推力F作用在物块上，随着θ逐渐减小直到F水平的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动。关于物块受到的外力，下列判断正确的是()A．推力F先增大后减小B．推力F一直减小C．物块受到的摩擦力先减小后增大D．物块受到的摩擦力一直不变答案B解析对物块受力分析，建立如图所示的坐标系。由平衡条件得：Fcosθ－Ff＝0，FN－(mg＋Fsinθ)＝0，又Ff＝μFN，联立可得F＝eq\f(μmg,cosθ－μsinθ)，可见，当θ减小时，F一直减小，A错误，B正确；摩擦力Ff＝μFN＝μ(mg＋Fsinθ)，可知，当θ、F减小时，Ff一直减小，C、D错误。4.如图所示，用OA、OB两根轻绳将物体悬于两竖直墙之间，开始时OB绳水平。现保持O点位置不变，改变OB绳长使绳末端由B点缓慢上移至B′点，此时OB′与OA之间的夹角θ<90°。设此过程中OA、OB的拉力分别为FOA、FOB，下列说法正确的是()A．FOA逐渐增大 B．FOA逐渐减小C．FOB逐渐增大 D．FOB逐渐减小答案B解析以结点O为研究对象，受力如图所示，根据平衡条件知，两根绳子的拉力的合力与F大小相等、方向相反，作出轻绳OB在三个位置时力的合成图，由图看出，FOA逐渐减小，FOB先减小后增大，当θ＝90°时，FOB最小，B正确，A、C、D错误。5.(多选)如图所示，A球被固定在竖直支架上，A球正上方的O点悬有一轻绳拉住B球，两球之间连有轻弹簧，平衡时绳长为L，张力为T1，弹簧弹力为F1。若将弹簧换成原长相同但劲度系数更小的轻弹簧，再次平衡时绳中的拉力为T2，弹簧弹力为F2，则()A．T1>T2 B．T1＝T2C．F1<F2 D．F1>F2答案BD解析以B球为研究对象，B球受到重力G、弹簧的弹力F和绳子的拉力T，受力示意图如图所示。B球平衡时，F与T的合力与重力G大小相等、方向相反，即G′＝G；根据三角形相似得eq\f(G′,x1)＝eq\f(T,L)＝eq\f(F,x2)。换成原长相同而劲度系数更小的弹簧，弹簧的形变量增大，x2减小，L不变，则T不变，F减小，B、D正确，A、C错误。6.(多选)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙壁之间放一光滑球B，整个装置处于静止状态。若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则()A．B对墙的压力减小B．A与B之间的作用力增大C．地面对A的摩擦力减小D．A对地面的压力不变答案ACD解析对球B受力分析，如图所示，物体A对球B的支持力为F1，竖直墙对球B的弹力为F2，F1与竖直方向的夹角θ因物体A右移而减小。由平衡条件得：F1cosθ＝mBg，F1sinθ＝F2，解得F1＝eq\f(mBg,cosθ)，F2＝mBgtanθ，θ减小，F1减小，F2减小，根据牛顿第三定律，A正确，B错误；对A、B整体受力分析可知，竖直方向，地面对整体的支持力FN＝(mA＋mB)g，与θ无关，即A对地面的压力不变，D正确；水平方向，地面对A的摩擦力Ff＝F2，因F2减小，故Ff减小，C正确。典型考点三共点力平衡中的临界与极值问题7.将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线l悬挂于O点，如图所示。用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线l与竖直方向的夹角保持θ＝30°，则F达到最小值时细线l上的拉力为()A.eq\r(3)mg B．mgC．eq\f(\r(3),2)mg D．eq\f(1,2)mg答案A解析以两个小球组成的整体为研究对象，分析受力，作出F在三个方向时整体的受力示意图，如图所示，根据平衡条件得知：F与T的合力与重力2mg总是大小相等、方向相反，由力的合成图可知，当F与细线l垂直时(即图中2位置)，F有最小值，根据平衡条件得Fmin＝2mgsin30°＝mg，此时T＝2mgcos30°＝eq\r(3)mg，A正确。8.如图，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力F作用下紧靠滑块A(A、B接触面竖直)，此时A恰好不滑动，B刚好不下滑。已知A与B间的动摩擦因数为μ1，A与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。A与B的质量之比为()A.eq\f(1,μ1μ2) B．eq\f(1－μ1μ2,μ1μ2)C.eq\f(1＋μ1μ2,μ1μ2) D．eq\f(2＋μ1μ2,μ1μ2)答案B解析对B分析受力，如图甲所示，由平衡条件有：FN＝F，mBg＝Ff＝μ1FN，解得：mB＝eq\f(μ1F,g)；对整体受力分析，如图乙所示，由平衡条件有：FN′＝(mA＋mB)g，F＝Ff′＝μ2FN′，解得：mA＝eq\f(F,μ2g)－mB＝eq\f(1－μ1μ2,μ2g)F；故eq\f(mA,mB)＝eq\f(1－μ1μ2,μ1μ2)，B正确。9．有一小甲虫，在半径为r的半球壳形碗中向上爬，设虫足与碗壁间的动摩擦因数为μ＝0.75。则它能爬到的最高点离碗底多高？答案0.2r解析对甲虫爬到最高点时进行受力分析，如图所示，Ff＝μFN＝μmgcosθ①由受力平衡知Ff＝mgsinθ②由①②式解得θ＝37°离碗底高度h＝r－rcos37°＝0.2r。10.如图所示，硬杆OA可绕过A点且垂直于纸面的轴进行转动，不计钢索OB和硬杆OA的重力，∠AOB＝30°，如果钢索OB能承受的最大拉力为2.0×104N，求：(1)O点悬挂物的最大重力；(2)杆OA对O点的最大支持力。答案(1)1.0×104N(2)1.7×104N解析设钢索OB承受的拉力为F1，杆OA对O点的支持力为F2，对O点进行受力分析，如图所示，根据O点静止可知：F1sin30°＝F3①F3＝G②F2＝F1cos30°③由①②式得G＝F1sin30°当F1取最大拉力2.0×104N时，O点悬挂物的重力最大，为Gmax＝F1maxsin30°＝1.0×104N，杆OA对O点的支持力最大，为F2max＝F1maxcos30°≈1.7×104N。1.如图所示，光滑滑轮本身的质量可忽略不计，滑轮轴O安在一根轻木杆上，一根轻绳AB绕过滑轮，A端固定在墙上，且A端与滑轮之间的轻绳保持水平，B端下面挂一个重物，木杆与竖直方向的夹角为θ＝45°，系统保持平衡。若保持滑轮的位置不变，改变夹角θ的大小，则滑轮受到木杆的弹力大小的变化情况是()A．只有θ变小，弹力才变大B．只有θ变大，弹力才变大C．无论θ变大还是变小，弹力都变大D．无论θ变大还是变小，弹力都不变答案D解析无论θ变大还是变小，水平段轻绳和竖直段轻绳对滑轮的拉力不变，这两个力的合力与木杆对滑轮的弹力平衡，故滑轮受到木杆的弹力不变，D正确。2.如图所示，在一水平长木板上放一木块P，缓慢抬起木板的右端，木块P和木板始终相对静止，则()A．木块受到木板的支持力减小、摩擦力减小B．木块受到木板的支持力增大、摩擦力增大C．木块受到木板的作用力大小不变、方向不变D．木块受到木板的作用力大小变化、方向变化答案C解析缓慢抬起木板右端的过程中，木块始终和木板相对静止，木块受力平衡，对木块受力分析可知，木块受到重力、支持力和沿木板向上的摩擦力的作用。所以摩擦力和重力沿斜面向下的分力相等，即f＝mgsinθ，木块受到的支持力FN＝mgcosθ，木板与水平面之间的夹角θ一直增大，故木块所受的摩擦力一直在增大，支持力一直在减小，A、B错误。由于木块一直处于平衡状态，故木块受到木板的作用力大小始终等于木块重力的大小，方向始终为竖直向上，C正确，D错误。3.(多选)小船被绳索拉向岸边，如图所示，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么在小船匀速靠岸的过程中，下列说法正确的是()A．绳子的拉力FT不断增大B．绳子的拉力FT不变C．船受的浮力减小D．船受的浮力增大答案AC解析小船的受力情况如图所示。据平衡条件知：F＋FTsinθ＝G，FTcosθ＝Ff。拉力FT＝eq\f(Ff,cosθ)，小船向岸边运动时，角θ增大，FT增大，A正确，B错误。浮力F＝G－FTsinθ，因为FT增大，sinθ增大，所以浮力F减小，C正确，D错误。4.(多选)如图所示为内壁光滑的半球形凹槽M，O为球心，∠AOB＝60°，OA水平，小物块在与水平方向成45°角的斜向上的推力F作用下静止于B处。在将推力F沿逆时针缓慢转到水平方向的过程中装置始终静止，则()A．M槽对小物块的支持力逐渐减小B．M槽对小物块的支持力逐渐增大C．推力F先减小后增大D．推力F逐渐增大答案BC解析以小物块为研究对象，分析受力情况，如图所示，物块受到重力G、支持力FN和推力F三个力作用，根据平衡条件可知，FN与F的合力和G大小相等，方向相反。将推力F沿逆时针缓慢转到水平方向的过程中(F由位置1→3)，根据作图可知，M槽对小物块的支持力FN逐渐增大，推力F先减小后增大，当F与FN垂直时，F最小。A、D错误，B、C正确。5.(多选)如图所示，将一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在内壁光滑的半球形容器底部O′处(O为球心)，弹簧另一端与质量为m的小球相连，小球静止于P点。已知容器半径为R，OP与水平方向的夹角为θ＝30°。下列说法正确的是()A．容器相对于水平面有向左运动的趋势B．容器对小球的作用力指向球心OC．轻弹簧对小球的作用力大小为eq\f(\r(3),2)mgD．弹簧原长为R＋eq\f(mg,k)答案BD解析以容器和小球整体为研究对象，根据平衡条件可知容器不受水平面的静摩擦力，故A错误；容器对小球的作用力是弹力，指向球心O，故B正确；对小球受力分析，如图所示，由θ＝30°可得小球受到容器的支持力和弹簧对小球的弹力的夹角为120°，则两力大小均为mg，故C错误；由胡克定律得弹簧的压缩量为x＝eq\f(F,k)＝eq\f(mg,k)，则弹簧的原长为R＋eq\f(mg,k)，故D正确。6.如图所示，质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，在斜面上有一光滑且不计厚度的挡板挡住球，使之处于静止状态。今使挡板与斜面的夹角β缓慢增大，在此过程中，斜面对球的支持力N1和挡板对球的压力N2的变化情况为()A．N1、N2都是先减小后增大B．N1一直减小，N2先增大后减小C．N1先减小后增大，N2一直减小D．N1一直减小，N2先减小后增大答案D解析对球受力分析，如图甲所示。球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，N1、N2的合力与mg等大、反向。挡板逆时针转动时，N2的方向也逆时针转动，作出如图乙所示的动态矢量图。由图乙可知，随β的增大，N1一直减小，N2先减小后增大，D正确。7．(多选)如图所示，用三根轻绳将甲、乙两小球以及水平天花板上的固定点O之间两两连接。然后用一水平方向的力F作用于甲球上，此时三根轻绳均处于拉直状态，且OB绳恰好处于竖直方向，两球均处于静止状态。已知三根轻绳的长度之比为OA∶AB∶OB＝3∶4∶5，甲、乙两球的质量关系为m甲＝2m乙＝2m，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A．OB绳上的拉力大小为2mgB．OA绳上的拉力大小为eq\f(10mg,3)C．F的大小为eq\f(8mg,3)D．AB绳上的拉力大小为mg答案BC解析由于OB绳恰好处于竖直方向，所以AB绳上的拉力为零，故D错误；以乙球为研究对象，根据平衡条件可得，OB绳上的拉力大小等于乙球的重力mg，故A错误；以甲球为研究对象，画出受力分析图如图所示，根据平衡条件和几何关系可得eq\f(FOA,OB)＝eq\f(m甲g,OA)＝eq\f(F,AB)，解得F＝eq\f(8mg,3)，FOA＝eq\f(10mg,3)，故B、C正确。8.如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆承受弹力的最大值一定，杆的A端用铰链固定，光滑轻小滑轮在A点正上方，B端吊一重物，现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉，在AB杆达到竖直前(均未断)，关于绳子的拉力F和杆受的弹力FN的变化，判断正确的是()A．F变大 B．F变小C．FN变大 D．FN变小答案B解析将B端缓慢上拉的过程中，系统处于动态平衡状态，分析结点B的受力情况如图所示，根据三力平衡可知，F2＝F1＝G，由相似三角形对应边成比例列式，eq\f(F2,FN)＝eq\f(OA,AB)，eq\f(F2,F)＝eq\f(OA,OB)，可得出结论：FN保持不变，F逐渐变小，B正确，A、C、D错误。9.(多选)如图所示，一根轻绳上端固定在O点，下端拴一个重力为G的小球，开始时轻绳处于竖直状态，轻绳所能承受的最大拉力为2G。现对小球施加一个方向始终水平向右的力F，使球缓慢地移动，则在小球缓慢移动的过程中，下列说法正确的是()A．力F逐渐增大B．力F的最大值为eq\r(3)GC．力F的最大值为2GD．轻绳与竖直方向的夹角θ最大值为30°答案AB解析对小球受力分析，如图，由平衡条件得：F＝Gtanθ，θ逐渐增大，则F逐渐增大，A正确；小球缓慢移动的过程中，θ逐渐增大，FT＝eq\f(G,cosθ)也逐渐增大，当FT取最大值2G时，有cosθmax＝eq\f(G,2G)＝eq\f(1,2)，θmax＝60°，此时F达到最大值，Fmax＝Gtan60°＝eq\r(3)G，B正确，C、D错误。10.如图所示，三根长度均为l的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2l，现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加的力的最小值为()A．mg B．eq\f(\r(3),3)mgC．eq\f(1,2)mg D．eq\f(1,4)mg答案C解析由题意可知CD绳水平，各绳均应绷紧，AC绳与水平方向的夹角为60°，结点C受力平衡，受力分析如图甲所示，则CD绳的拉力FT＝mgtan30°＝eq\f(\r(3),3)mg。再以结点D为研究对象，受力分析如图乙所示，D点在绳子CD的拉力FT、绳子BD的拉力FB和施加的外力F的作用下平衡，则FB与F的合力FT′与FT等大、反向，由几何关系可知，当力F与BD垂直时，F最小，故施加的最小力F＝FTsin60°＝eq\f(1,2)mg，C正确。11.(多选)如图所示，半径相同、质量分布均匀的圆柱体A和半圆柱体B靠在一起，A表面光滑，重力为G，B下表面粗糙，A静止在水平地面上，现过A的轴心施以水平作用力F，可缓慢地将A拉离水平地面，一直滑到B的顶端，整个过程中，B始终处于静止状态，对该过程分析，下列说法正确的是()A．开始时拉力F最大为eq\r(3)G，以后逐渐减小为0B．开始时A、B间的压力最大为2G，之后逐渐减小到GC．地面受到B的压力逐渐增大D．地面对B的摩擦力逐渐增大答案AB解析开始时，由几何关系知圆柱体A和半圆柱体B的圆心的连线与竖直方向的夹角为60°，A受三个力平衡，如图所示，三个力构成矢量三角形的三个边。在A缓慢运动时，重力不变，其他两个力的夹角变小，由图可知，开始时拉力F最大为eq\r(3)G，以后逐渐减小为0，A正确；由图可知，开始时A、B间的压力最大为2G，之后逐渐减小到G，B正确；对圆柱体A和半圆柱体B整体分析，受重力、水平力F、支持力和摩擦力，根据平衡条件，支持力FN＝G＋GB，保持不变，由牛顿第三定律知B对地面的压力大小不变，C错误；整体在水平方向上受到水平力F和地面对B的摩擦力，由于始终处于平衡状态，故摩擦力Ff＝F，Ff逐渐减小到零，D错误。12.滑板运动是一项非常刺激的水上运动。研究表明，在进行滑板运动时，水对滑板的作用力FN垂直于板面，大小为kv2，其中v为滑板速率(水可视为静止)。某次运动中，在水平牵引力F作用下，当滑板和水面的夹角θ＝37°时(如图)，滑板做匀速直线运动，相应的k＝54kg/m，人和滑板的总质量为108kg，试求：(重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，忽略空气阻力)(1)水平牵引力的大小；(2)滑板的速率。答案(1)810N(2)5m/s解析(1)以滑板和人整体为研究对象，其受力如图所示由共点力的平