专题01勾股定理（考点清单）八年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）

专题01勾股定理（考点清单）思维导图考点一探索勾股定理【考试题型1】用勾股定理解直角三角形【典例1】（2023春·广西桂林·八年级校考阶段练习）如图，在中，，于点，，，求的长．【答案】，【分析】在中，根据勾股定理即可求解的长，根据等面积法可求的长．【详解】解：∵在中，，，，∴在中，，∵，∴，∴，∴，．【点睛】本题主要考查直角三角形中勾股定理的运用，几何图形中等面积法求高的计算，掌握以上知识是解题的关键．【专训11】（2023春·贵州铜仁·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是．【答案】【分析】根据勾股定理求出，再根据垂线段最短得出当时，线段取最小值，最后根据，即可求解．【详解】解：∵，，，∴，∵当时，线段取最小值，∴当时，，∴，即，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂线段最短，解题的关键是掌握在直角三角形中，两直角边平方和等于斜边平方．【专训12】

（2023春·山东济南·七年级校考期中）如图，在长方形中，，，在边上取一点E，将折叠，使点A落在上，记为点F，求的长．【答案】【分析】设，由对折可得：，，求解，可得，再利用勾股定理建立方程，从而可得答案．【详解】解：∵长方形，，，∴，，，设，由对折可得：，，∴，∴，∴，解得：，∴．【点睛】本题考查的是长方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，熟记勾股定理并灵活应用是解本题的关键．【考试题型2】勾股树问题【典例2】（2021春·广东东莞·八年级光正实验学校校考阶段练习）下列各组数为勾股数的是（

）A．2，3，4 B．8，15，16 C．，6， D．5，12，13【答案】D【分析】由勾股数的定义，只要验证两较小正整数的平方和等于最大正整数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【详解】解：A．，故选项不符合题意；B．，故选项不符合题意；C．，6，都不是正整数，肯定不是勾股数，故选项不符合题意；D．，故选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查的是勾股数，熟知勾股数的定义是解答此题的关键．【专训21】（2020秋·贵州贵阳·八年级校考期中）如图是一株美丽的勾股树，其中原有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是2，则A、B、C、D、E、F、G这七个正方形面积之和是（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理得出6个小正方形的面积和与最大正方形面积的数量关系即可得出答案．【详解】解：根据勾股定理得到：A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是G的面积．即A、B、C、D、E、F的面积之和为2个G的面积．∵G的面积是，∴A、B、C、D、E、F、G的面积之和为．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，关键就是运用勾股定理和正方形的面积公式推导出6个小正方形的面积和等于最大正方形的面积的2倍．【专训22】（2023秋·全国·八年级专题练习）下图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图①，一个边长为的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了②；如此继续“生长”下去，则第2023次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和为．【答案】【分析】根据正方形的面积公式求出第一个正方形的面积，根据勾股定理求出经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和，总结规律，根据规律解答．【详解】解：如图，第一个正方形的边长为，第一个正方形的面积为，由勾股定理得，，，即经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和为，“生长”第1次后所有正方形的面积和为，同理，“生长”第2次后所有正方形的面积和为，则“生长”第2023次后所有正方形的面积和为，故答案为：．【点睛】本题考查的是勾股定理、图形的变化，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．【考试题型3】勾股定理与网格问题【典例3】（2023秋·山西运城·八年级统考期中）图1、图2中每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是3的直角三角形；在图2中画出一个面积是5的正方形．【答案】见解析【分析】在图1中只要画出一个直角边长分别为2，3的直角三角形即可；在图2中利用勾股定理找出直角边长分别是1，2的直角三角形，则其斜边即为正方形的边长．【详解】解：如图1，的面积是3，即为所作；如图2，正方形的面积为，即为所作．【点睛】本题考查了格点作图和勾股定理，熟练掌握勾股定理、数形结合是解题的关键．【专训31】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）已知，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图．(1)在图a中画一个面积为24，周长为24的直角；(2)在图b中画出一个斜边为的等腰直角，并直接写出三角形的周长．【答案】(1)见解析(2)，见解析【分析】（1）根据勾股定理，取,则,满足要求；（2）令等腰直角中斜边为，则，，由勾股定理求得，在网格图中，结合勾股定理确定三角形顶点，根据周长定义计算求解．【详解】（1）解：如图，取,则,周长，面积.满足题意；（2）解：令等腰直角中斜边为，则，，∴．如图，取D，E为长宽为4，2的长方形相对的两个顶点，相应确定点F，周长：【点睛】本题考查网格图中勾股定理的应用，结合网格图熟练运用勾股定理是解题的关键．【专训32】（2023春·山西吕梁·八年级校联考期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，，这个三角形的面积为______．【答案】(1)见解析(2)2，图见解析【分析】（1）利用勾股定理结合网格得出符合题意的图形；（2）利用勾股定理结合网格得出符合题意的图形．【详解】（1）解：如图：面积为10的正方形的边长为，，如图所示的四边形即为所求；（2）解：如图所示：，，如图所示的三角形即为所求；这个三角形的面积，故答案为：2．【点睛】本题考查勾股定理与网格问题，解题的关键是能够利用勾股定理求出网格中线段的长度．【考试题型4】勾股定理与折叠问题【典例4】（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】利用勾股定理求得，由折叠的性质可得，，求得，设，则，根据勾股定理可得，进而求解即可．【详解】解：∵，∴，由折叠的性质得，，，∴，设，则，在中，，解得，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理、折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【专训41】（2023春·山东菏泽·八年级统考期中）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为．【答案】/【分析】由折叠的性质可得，根据勾股定理可求的长，即可求的长．【详解】解：是中点，，，将折叠，使点与的中点重合，，，在中，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．【专训42】（2023秋·山东枣庄·八年级滕州育才中学校考开学考试）如图，中，，，，将沿折叠，使落在斜边上且与重合，则．【答案】3【分析】先根据勾股定理求出的长，再由图形翻折变换的性质得出，设，则，，在中，根据勾股定理求出的值即可．【详解】解：中，，，，．由翻折而成，，，．设，则，，在中，，即，解得．故答案为：3．【点睛】本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．【考试题型5】利用勾股定理证明线段和差关系【典例5】（2023秋·山东枣庄·八年级滕州育才中学校考开学考试）如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接(1)求证：；(2)若，，求的周长.【答案】(1)见解析(2)14【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证；（2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵D是斜边的中点，，∴是线段的垂直平分线，∴.在中，由勾股定理得，∴，即.（2）解：∵D是斜边的中点，，∴.在中，由勾股定理得，∴.又∵，∴，∴的周长为.【点睛】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点．熟记相关结论是解题关键．【专训51】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．(1)判断与间的数量关系，并说明理由；(2)直接写出线段、、间满足的数量关系．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【分析】（1）根据已知条件得出，即，即可得出；（2）证明，得出，，进而根据四边形内角和为，求得，进而勾股定理即可得证．【详解】（1）理由如下，∵和都是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴；（2），如图所示，连接，由（1）可得∵∴∴，，∵∴∵在四边形中，∴是直角三角形，∴又是等腰直角三角形，∴，即,又∵，∴【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．【专训52】（2022春·河北石家庄·八年级石家庄外国语学校校考阶段练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．（1）若，，，则；（2）若，，则；（3）若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是．【答案】【分析】（1）根据题意和勾股定理即可求出．（2）利用勾股定理，进行等量代换，可以得到的值．（3）由（2）得求解过程可以得到，进行替换即可．【详解】（1），，，．故答案为．（2）由（1）得：，，，，，，，．故答案为．（3）由（2）得：，．故答案为．【点睛】本题考查勾股定理的应用问题，熟练利用勾股定理和等量代换是解题的关键．考点二一定是直角三角形吗【考试题型1】勾股定理的证明方法【典例1】（2023春·广西南宁·八年级校联考期中）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）．(1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，结论①；图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：，结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：，结论③；(2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式；结合结论②和结论③，可以得到一个等式；(3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作，且，求的值．(4)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边，，斜边，求图中阴影部分面积和．【答案】(1)；(2)；(3)(4)【分析】（1）图2的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积，图3的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积；（2）根据两种方法表示的大正方形的面积相等整理即可得解；（3）根据结论②求出，然后进行计算即可得解；（4）根据结论③求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解．【详解】（1）解：图2：；图3：；（2）解：结合结论①和结论②，可以得到一个等式：；结合结论②和结论③，可以得到一个等式：，即，；（3）解：，，，，，，，解得；（4）解：由“应用”的解答过程可知：∴阴影部分面积和，，，阴影部分面积和．【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式的几何背景，读懂题目材料的信息并用两种方法准确表示出同一个图形的面积是解题的关键．【专训11】（2023春·山西·八年级校联考期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．勾股定理的证明2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要，还因为这个定理贴近人们的生活实际，以致于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统，都愿意探讨研究它的证明，新的证法不断出现．其中，美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的证法在数学史上被传为佳话，他将两个完全相同的直角三角形拼成一个梯形，巧妙地用面积法给出了勾股定理的证明过程：如图：

利用整体法，梯形的面积为利用分割法，梯形的面积为……(1)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分．(2)如图，在中，，，于，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据两种方法得出的梯形的面积相等，即可得出等式（2）根据含30度角的直角三角形的性质得出，在中，勾股定理求得，根据已知得出，则，进而勾股定理即可求解．【详解】（1）解：∵利用整体法，梯形的面积为利用分割法，梯形的面积为∴，∴，即；（2）解：，，，，，，在中，．，，，，．【点睛】本题考查了勾股定理的证明与应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【专训12】（2023秋·浙江·八年级专题练习）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．(1)如图1所示，是小华制作的一个“赵爽弦图”纸板，其直角三角形的短直角边的长为1．若中间小正方形黑色的面积占总面积的，求直角三角形的长直角边的长；(2)小华将刚刚制作的“赵爽弦图”纸板中的四个直角三角形中长直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，求这个风车的周长．【答案】(1)2(2)【分析】（1）将大正方形面积设出来，利用面积占比表示出小正方形面积，从而得到三角形面积，即可得到，从而得出，再利用小正方形面积求解即可；（2）利用求出，再利用勾股定理求出，依次相加即可求解．【详解】（1）解：如图，设大正方形面积为，，小正方形的面积占总面积的，小正方形面积为，，四个直角三角形全等，，，在中，，即，解得：（舍或，；（2）解：如图，四个直角三角形中长直角边分别向外延长一倍，，，在中，，这个风车的周长为：．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是设未知数求出，再依次求出，．【考试题型2】赵爽弦图【典例2】（2023春·河南驻马店·八年级校考阶段练习）“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设图中直角三角形的两条直角边长分别为，斜边为，根据题意“空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25”可得，将两式相加并求解即可获得答案．【详解】解：如下图，设图中直角三角形的两条直角边长分别为，斜边为，∵图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，∴可有，解得，解得或（不合题意，舍去），∴大正方形的边长是．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理、方程组的应用等知识，正确表示出直角三角形的面积是解题关键．【专训21】（2023春·青海西宁·八年级统考期末）如图，“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两直角边为a，b．斜边为c，若，则小正方形的边长为（

）A．3 B．4 C． D．【答案】A【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，∵每一个直角三角形的面积为：，∴大正方形的面积为：，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．【专训22】（2023春·福建三明·七年级统考阶段练习）我们从生活实际发现，当一个直角三角形两长确定时，斜边长也就确定了，古代数学就已经发现，在直角三角形中，若两直角边长为，斜边长为，则，这就是著名的“勾股定理”（西方把它称为“毕达哥拉斯定理”）．(1)如图，4个完全一样的直角三角形（其两直角边长为，斜边长为）与1个小正方形，不重叠无峰隙拼接成的正方形，请用这个图验证“勾股定理”．(2)若直角三角形中两直角边的和，斜边长为3，求直角三角形的面积．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（1）根据大正方形面积小正方形面积四个直角三角形面积，即可得到答案；（2）根据（1）的结论以及完全平方公式变形计算即可．【详解】（1）解：依图示可得∴（2）解：，，得【点睛】本题主要了完全平方公式，利用大正方形面积小正方形面积四个直角三角形面积是解题的关键．【考试题型3】勾股定理与无理数【典例3】（2023春·河南许昌·八年级统考期中）如图点为数轴的原点，点和点分别对应的实数是和1．过点B作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据勾股定理求出，进而得到的长，根据实数与数轴的对应关系解答即可．【详解】解：由题意得，，在中，，∴，∴点E对应的实数是，故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．【专训31】（2023春·安徽合肥·七年级校联考阶段练习）如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心、正方形对角线的长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意利用勾股定理得出的长，再利用得出点位置，即可得出答案．【详解】解：由题意可得：，，故，则点表示的数是：．故选：B．【点睛】此题主要考查了勾股定理以及正方形的性质，解题的关键是正确应用勾股定理求解．【专训32】（2023秋·全国·八年级专题练习）勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为1，“股”为3，则与“弦”最接近的整数是．【答案】3【分析】先根据勾股定理计算出“弦”长，再估算出其取值范围即可．【详解】解：由题意得“弦”是，∵，，，∴10更接近于9，∴接近于3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．考点三勾股定理的应用【考试题型1】梯子滑落问题【典例1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图所示，一架长为米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端距离墙角处米，如果梯子顶端沿墙下滑米，梯子的底端沿水平方向滑动米．【答案】【分析】两次运用勾股定理可求得．【详解】解：在中，米，米，米，米．在中，米，米，米，所以米．即梯子底端滑动了米．故答案为：．【点睛】此题考查了学生对勾股定理的理解及运用能力，解答此题时要注意梯子在滑动前后的长度不变．【专训11】（2023秋·山东枣庄·八年级滕州育才中学校考开学考试）如图，一根长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端．如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将向右滑动多少米？【答案】米．【分析】先在中，利用勾股定理出的长，再根据线段的和差可得的长，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后根据即可得出答案．【详解】解：如图，由题意得：，在中，，∴，在中，，∴，答：梯子的底端将向右滑动米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．【专训12】（2022秋·广东佛山·八年级佛山市南海区南海执信中学校考阶段练习）一个25米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时的距离为24米，如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，那么梯子底端B也外移4米，对吗？为什么？【答案】不对，梯子底端B向外移动了米，理由见解析．【分析】在中，利用勾股定理求得的长度，在中，利用勾股定理求得的长度，即可求解．【详解】解：不对，梯子底端B向外移动了米，理由如下：在中，（米），（米），由勾股定理可得：（米），由题意可得：（米），（米），∴（米），在中，由勾股定理可得：（米），（米），答：梯子底端B向外移动了米．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方．【考试题型2】旗杆高度问题【典例2】（2023春·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，在电线杆上的点处，向地面拉有一条长的钢缆，地面固定点到电线杆底部的距离，于，电线杆上的固定点到电线杆顶端的距离为，求电线杆的高度．【答案】电线杆的高度为【分析】勾股定理求出的长，再利用进行求解即可．【详解】解：∵，∴，在中，由勾股定理得，，，电线杆的高度为．【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键是熟练掌握勾股定理．【专训21】（2022秋·广东深圳·八年级深圳市福田区莲花中学校考期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．【答案】【分析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，再解方程即可得出答案．【详解】解：在中，，设秋千的绳索长为，则，故，解得：，答：绳索的长度是．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．【专训22】（2023春·河北邢台·八年级校考阶段练习）数学小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1所示），聪明的小迪发现：先测出绳子多出的部分（该处绳子是直的）的长度，再将绳子拉直（如图2所示），测出绳子末端D到旗杆底部B的距离的长度，利用所学知识就能求出旗杆的长．已知米，米．(1)求旗杆的长；(2)小迪在D处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂（拉绳处E与脚底F的连线与地面垂直），后退至将绳子刚好拉直为止（如图3所示），测得小迪手臂伸直后的高度为2米，过点E作于点G，，，求小迪后退了几米？【答案】(1)旗杆的长为9米(2)小迪需要后退米【分析】（1）在中，由勾股定理计算即可；（2）在中，求出，根据便可求出后退的距离．【详解】（1）解：由题意可得，，在中，，即，解得，即旗杆AB的长为9米；（2）解：由题意可得，，，在中，，即，解得，∴，即小迪需要后退米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，属于基础题，要熟练掌握．【考试题型3】大树折断问题【典例3】（2023秋·河北廊坊·九年级校考开学考试）如图，一场暴雨这后，垂直于地面的一棵树在距地面处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量，则树高为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，根据勾股定理求出，即可得到树高．【详解】解：如图，连接，在中，,，∴，∴树高为．故选：C【点睛】此题考查了勾股定理的应用，读懂题意和准确计算是解题的关键．【专训31】（2023春·湖南郴州·八年级校考期中）如图，一棵大树在离地面5米高的B处断裂，树顶落在距离树底部12米的A处（米），则大树断裂之前的高度为．【答案】18米/18m【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．【详解】解：由题意得，在直角三角形中，根据勾股定理得：米．所以大树的高度是米．故选：米．【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．【专训32】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，一根竹子高10尺，折断后竹子的顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少尺？【答案】折断处离地面的高度是尺．【分析】设折断处离地面的高度是尺，根据勾股定理即可列出方程进行求解．【详解】解：如图所示，设杆子折断处离地面尺，则斜边为尺，根据勾股定理得：，解得：．故折断处离地面的高度是尺．【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用．【考试题型4】水中筷子问题【典例4】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面半径为，内壁高为．若这支铅笔的长为，则这只铅笔在笔筒外面部分的长度不可能是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度；考虑当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度是露出的最大长度；从而可确定答案．【详解】当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：，则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：；当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度为，即铅笔在笔筒外面最长不超过，所以铅笔露出笔筒部分的长度不短于，不超过．只有A选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，分别考虑两种极端情况，问题即解决．【专训41】（2023秋·江苏·八年级专题练习）将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中．如图，设筷子露在杯子外面的长度为．则h的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长；分别求出几的最大值和最小值即可．【详解】解：如图1，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，∴；如图2，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在中，，∴，此时，∴h的取值范围是，故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意准确构造直角三角形是解题的关键．【专训42】（2023春·山东临沂·八年级统考期末）如图，有一个水池，水面是一边长为6尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度．【答案】这根芦苇的长度为5尺．【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答．【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理得：，解得：，芦苇的长度（尺），答：这根芦苇的长度为5尺．【点睛】本题考查正确运用勾股定理．从实际问题抽象出勾股定理是解题的关键．【考试题型5】旗选址相等问题【典例5】（2023秋·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，于A，于D，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得B、C两村到站的距离相等，则站应建在距点A千米．【答案】10【分析】根据使得B，C两村到P站的距离相等，需要证明，再根据勾股定理解答即可．【详解】解：设千米，则千米，∵B、C两村到P站的距离相等，∴．在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴，又∵，，∴，∴，故答案为10．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理解答是解决问题的关键．【专训51】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，笔直公路上、两点相距千米，、为两居民区，于，于，已知千米，千米，现要在公路段上建一超市，使、两居民区到的距离相等，则超市应建在离处多远处．【答案】千米【分析】设千米，则千米，利用勾股定理求出两个直角三角形的斜边长，再利用两个三角形的斜边相等求出的长即可．【详解】设千米，则千米，因为，所以，解得：千米，经检验是原方程的解，故超市应建在离处千米处．【点睛】考查根据勾股定理确定相应长度，利用两直角三角形斜边相等是解答本题的关键．【专训52】（2023秋·全国·八年级专题练习）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上两点相距50km，为两村庄，于，于，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场，使得两村庄到市场的距离相等，则市场应建在距多少千米处?并判断此时的形状，请说明理由．【答案】市场应建在距的20千米处；是等腰直角三角形，理由见解析．【分析】可以设，则，在直角中根据勾股定理可以求得，在直角中根据勾股定理可以求得，根据可以求得x的值，即可求得的值．【详解】解：设，则，在直角中，，在直角中，，，解得：，即；市场应建在距的20千米处；，