2021年四川省自贡市中考数学试卷（含解析）

2021年四川省自贡市中考数学试卷

一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.（4分）（2021•自贡）自贡恐龙博物馆是世界三大恐龙遗址博物馆之一.今年“五一黄金

周”共接待游客8.87万人次，人数88700用科学记数法表示为（）

A.0.887xlO5B.8.87xlO3C.8.87xlO4D.88.7xltf

2.（4分）（2021•自贡）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“迎”

字一面的相对面上的字是（）

3.（4分）（2021•自贡）下列运算正确的是（）

A.5a2-4/=1B.（~a2b3）2=abb

C.D.（a-2b）2=a2-4b2

4.（4分）（2021•自贡）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（）

AOB®c©D0

5.（4分）（2021•自贡）如图，AC是正五边形A8cDE的对角线，NACD的度数是（）

6.（4分）（2021•自贡）学校为了解“阳光体育”活动开展情况，随机调查了50名学生一

周参加体育锻炼时间，数据如下表所示：

人数（人）9161411

时间（小78910

时）

这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）

A.16,15B.11,15C.8,8.5D.8,9

7.（4分）（2021•自贡）已知/一3x72=0,则代数式一3f+9x+5的值是（）

A.31B.-31C.41D.-41

8.（4分）（2021咱贡）如图,4（8,0）,C（-2,0）,以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y

轴正半轴于点3,则点3的坐标为（）

C.(6,0)D.(0,6)

9.（4分）（2021•自贡）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流/（单位：A）与电

阻R（单位：Q）是反比例函数关系，它的图象如图所示.下列说法正确的是（）

B.蓄电池的电压是18V

C.当时，R..3.6QD.当R=6C时，/=4A

10.（4分）（2021•自贡）如图，钻为.O的直径，弦CD_LAB于点F,OE_LAC于点E,

若OE=3,08=5,则C£）的长度是（）

A.9.6B.45AC.5上D.10

11.（4分）（2021•自贡）如图，在正方形中，AB=6,M是AD边上的一点,

AM:MD=\:2.将ABM4沿8M对折至连接DV,则ON的长是（）

12.（4分）（2021•自贡）如图，直线y=-2x+2与坐标轴交于A、5两点，点尸是线段A3

上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线y=-x+3于点。，AOPQ绕点O顺时针旋转

45。，边P。扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（）

二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）

13.（4分）（2021•自贡）请写出一个满足不等式》+四＞7的整数解—.

14.（4分）（2021•自贡）某中学规定学生的学期体育成绩满分为100,其中体育课外活动占

30%,期末考试成绩占70%,小彤的这两项成绩依次是90,80.则小彤这学期的体育成绩

是—.

7Q

15.（4分）（2021•自贡）化简：—....二一=.

a-2a2-4

16.（4分）（2021•自贡）如图，某学校“桃李餐厅”把W7/7密码做成了数学题.小红在餐

厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络.那么她输入的

密码是—.

账号：TaoLiCanTing

5*3©6=301848

2*6©7=144256

9*2©5=451055

桃李餐厅欢迎你！4*8㊉6=密码

17.（4分）（2021•自贡）如图，AA8C的顶点均在正方形网格格点上.只用不带刻度的直

尺，作出AABC的角平分线网）（不写作法，保留作图痕迹）.

-1""

18.（4分）（2021•自贡）当自变量一啜k3时，函数y/x-2（%为常数）的最小值为女+3,

则满足条件的人的值为一.

三、解答题（共8个题，共78分）

19.（8分）（2021•自贡）计算：后-|-7|+（2-百）°.

20.（8分）（2021•自贡）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边43、8的中点.求

证：DE=BF.

AEB

21.（8分）（2021•自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部3

处测得办公楼底部。处的俯角是53。，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是

30。，综合楼高24米.请你帮小明求出办公楼的高度.（结果精确到0.1,参考数据

tan37°y0.75,tan53°®1.33,A/3®1.73)

3

综

合

楼

K

22.（8分）（2021•自贡）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业.现

有A,8两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比8型机平均每小时多运送20件,

A型机运送700件所用时间与3型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分

别运送多少快件？

23.（10分）（2021•自贡）为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛,

将成绩分为：A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级.小李随机调查

了部分同学的竞赛成绩，绘制了如图统计图.

人数

（1）本次抽样调查的样本容量是—，请补全条形统计图；

（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合

格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；

（3）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数.

24.（10分）（2021•自贡）函数图象是研究函数的重要工具.探究函数性质时，我们经历了

列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程.请结合已

有的学习经验，画出函数、=-的图象，并探究其性质.

-W+4

列表如下:

X-4-3-2-101234

y824a80b-2_24_8

5715"?3~5

（1）直接写出表中。、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象;

（2）观察函数y=的图象，判断下列关于该函数性质的命题：

x+4

①当-2轰上2时，函数图象关于直线y=x对称；

②x=2时，函数有最小值，最小值为-2；

③时，函数y的值随x的增大而减小.

其中正确的是—.（请写出所有正确命题的番号）

（3）结合图象，请直接写出不等式的解集

d+4

25.（12分）（2021•自贡）如图，点。在以43为直径的O上，过。作：。的切线交43延

长线于点C,AEJ.CD于点E,交O于点尸，连接A。，FD.

（1）求证：ZDAE=ZDAC；

（2）求证：DFAC=ADDC

（3）若sinNC=1,AD=4V10,求“'的长.

4

AC

OIB

26.(14分)(2021•自贡)如图，抛物线y=(x+l)(x—a)(其中a>l)与x轴交于A、8两

点，交y轴于点C.

(1)直接写出NOC4的度数和线段A3的长(用a表示)；

(2)若点。为A4BC的外心，且AfiCD与AACO的周长之比为9:4,求此抛物线的解析

式；

(3)在(2)的前提下，试探究抛物线y=(x+l)(x-a)上是否存在一点P,使得NCAP=/DBA?

2021年四川省自贡市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.（4分）（2021•自贡）自贡恐龙博物馆是世界三大恐龙遗址博物馆之一.今年“五一黄金

周”共接待游客8.87万人次，人数88700用科学记数法表示为（）

A.0.887xlO5B.8.87xlO3C.8.87xlO4D.88.7xlO3

【分析】科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中1“〃为整数.确定”的值

时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值..10时，“是正整数；当原数的绝对值＜1时，w是负整数.

【解答】解：88700=8.87xlO4.

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO”的形式，其中

1”〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及N的值.

2.（4分）（2021•自贡）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“迎”

字一面的相对面上的字是（）

【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题.

【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“迎”与“党”相对，面

“建”与面“百”相对，“喜”与面“年”相对.

故选：B.

【点评】本题考查了正方体的展开图，注意正方体是空间图形，找到相对的面是关键.

3.（4分）（2021•自贡）下列运算正确的是（）

A.5a2-4a2=\B.(~a2b3)2=a4b6

C.D.（a-2b）2=a2-4b2

【分析】按照合并同类项的运算方法、整数指数基的运算法则、完全平方公式逐个验证即可.

【解答】解：A、5a2-4a2=a2,故A错误；

B、（一4皆）2=（-1）2（6）233）2=40,故3正确；

C、^r=a9-3=a6,故C错误；

a

D、由完全平方公式可得：（4-2匕尸=/一4"+462,故。错误；

故选：B.

【点评】本题考查了合并同类项、完全平方公式、整数指数基的运算法则，熟练掌握以上性

质和法则是解题关键.

4.（4分）（2021•自贡）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（）

AOB®c©D0

【分析】根据轴对称图形的概念求解即可.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分

能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个

图形关于这条直线（成轴）对称.

【解答】解：A.是轴对称图形，共有1条对称轴；

B.不是轴对称图形，没有对称轴；

C.不是轴对称图形，没有对称轴；

D.是轴对称图形，共有2条对称轴.

故选：D.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠

后可重合.

5.（4分）（2021•自贡）如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，NACD的度数是（）

A.72°B.36°C.74°D.88°

【分析】先求出正五边形每个内角的度数，再由等腰AABC,求出NBC4即可.

【解答】解：•正五边形ABCOE,

.1每个内角为180°-360°+5=108°,

AB=BC,

..ZBC4=ZS4c=36。，

ZACD=ZBCD-ZBCA=108°-36°=72°,

故选：A.

【点评】本题考查的正多边形外角和定理，以及等腰三角形的性质，求出正五边形每个内角

的度数是解题的关键.

6.（4分）（2021•自贡）学校为了解“阳光体育”活动开展情况，随机调查了50名学生一

周参加体育锻炼时间，数据如下表所示：

人数（人）9161411

时间（小78910

时）

这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）

A.16,15B.11,15C.8,8.5D.8,9

【分析】直接根据众数和中位数的定义求解即可.

【解答】解：由于一共有50个数据，其中8小时的人数最多，有14人，

所以这组数据的众数为8小时，

这50个数据的第25、26个数据分别为8、9,

所以这组数据的中位数为土史=8.5（小时），

2

故选：C.

【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.将一组数

据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数

就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数

据的中位数.

7.（4分）（2021•自贡）已知工2一3》-12=0,则代数式-3d+9x+5的值是（）

A.31B.-31C.41D.-41

【分析】由已知可得：X2-3X=12,将代数式适当变形，利用整体代入的思想进行运算即

可得出结论.

【解答】解：-X2-3X-12=0,

：.x2-3x=12.

原式=—3（x2—3x）+5=—3x12+5=—36+5=—31.

故选：B.

【点评】本题主要考查了求代数式的值.利用整体代入的方法可使运算简便.

8.（4分）（2021•自贡）如图，A（8,0）,C（-2,0）,以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y

轴正半轴于点3,则点3的坐标为（）

【分析】根据已知可得/W=AC=10,04=8.利用勾股定理即可求解.

【解答】解：根据已知可得：AB=AC=W,04=8.

在RtAABO中，==6.

/.3（0,6）.

故选：D.

【点评】本题考查勾股定理的应用、坐标的特征知识.关键在于利用点的坐标表示边的长度.

9.（4分）（2021•自贡）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流/（单位：A）与电

阻R（单位：O）是反比例函数关系，它的图象如图所示.下列说法正确的是（）

B.蓄电池的电压是18V

C.当/,,10A时，C.3.6CD.当R=6C时，f=4A

【分析】根据函数图象可设/=&，再将（4,9）代入即可得出函数关系式，从而解决问题.

R

【解答】解：设/=&,

R

图象过（4,9）,

/.k=36f

.」=史，

R

：.A,8均错误；

当/=10时，R=3.6,

由图象知：当10A时，R..3.6C,

;.C正确，符合题意；

当R=6时，/=6,

二。错误，

故选：C.

【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握函数图象上点的坐标必

能满足解析式.

10.（4分）（2021•自贡）如图，AB为O的直径，弦C£>_LA8于点尸，OE_LAC于点E,

若OE=3,03=5,则CD的长度是（）

A.9.6B.475C.5y/3D.10

【分析】根据垂径定理求出可得AC的长度，利用AAE8AAFC,求出CF,即可求解.

【解答】解：-OEJ_AC于点E.

AE=EC.

OE=3,OB=5.

AE=^AO--OE1=4.

AC=8.

ZA=ZA,ZAEO=ZAFC.

AAEO^AAFC.

AOEOHII53

ACFC8FC

・•.FC=—.

5

CD±AB.

48

:.CD=2CF=——=9.6.

5

故选：A.

【点评】本题考查垂径定理，三角形相似的判定和性质、勾股定理知识，关键在于合理运用

垂径定理和勾股定理求出边的长度.

11.（4分）（2021•自贡）如图，在正方形43CD中，AB=6,M是4）边上的一点，

AM:MD=1:2.将沿对折至A&VW,连接ON,则/W的长是（）

【分析】连接AN交8M于点O,作M/_LA。于点〃，根据已知可求出40、BM.的长

度，利用面积法求出AO,再结合折叠性质，找到AN长度.结合勾股定理建立

AM—AH^=MV—M/等式,即可求出最后即可求解.

【解答】解：连接4V交3M于点O,作M/_LAD于点如图:

,鼠H

厂

/W=6，AA/:A/D=1:2.

/.AM=2,MD=4.

四边形ABC£＞是正方形.

BM=\lAB2+AM2=2回.

根据折叠性质，AOYBM,AO=ON.AM=MN=2.

-AB-AM=-BMAO.

22

,.=萃2V10=晅5

.®=迹5.

NH-LAD.

:.AN2-AH2=MN2-MH2.

"(2+M”)2=22-M炉.

8

...MH=—

5

HN=^MN2-MH-=^22-(|)2=I.

HD=AD-AM-MH=—.

5

DN=4HD?+HN?=^(y)2+(1)2=竿.

故选：D.

【点评】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理，面积法求三角形的高等知识.本

题关键在于利用勾股定理建立等式，求出边AW的长度.

12.(4分)(2021•自贡)如图，直线y=-2x+2与坐标轴交于A、8两点，点P是线段4?

上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线y=-x+3于点Q,AOPQ绕点O顺时针旋转

45。，边尸。扫过区域(阴影部分)面积的最大值是()

C.—7TD

3216-去

【分析】设P(m,-2〃2+2),则Q(〃2,-m+3),根据图形可表示出尸。扫过区域(阴影部分)

面积是两个扇形面积之差，将面积表示出来，利用二次函数性质即可求最大值.

【解答】解：设+2)，则+3).

二.OP2=m2+(-2/77+2)2=5m2-8/力+4,OQ2=nr+(-m+3)2=2m2-6m+9.

△OPQ绕点O顺时针旋转45°.

\OPQ=\OBC.Z.QOC=ZPOB=45°.

:.PQ扫过区域（阴影部分）面积

S=Staoec-SJHOPS=急x乃•OQ2=^（-3/n2+2W+5）=-^（«?-^）2.

JOUJOUooJJ

当机=1时，S的最大值为：—.

33

故选：A.

【点评】本题考查了一次函数性质，二次函数的性质，扇形面积等知识，关键在于理解旋转

前后的两个图形全等，从而将阴影部分的面积转化为扇形的面积之差.

二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）

13.（4分）（2021•自贡）请写出一个满足不等式x+夜>7的整数解6（答案不唯一）.

【分析】直接解不等式，再利用估算无理数的方法得出x的取值范围，即可得出答案.

【解答】解：x+y/2>7,

x>7--\/2，

1<V2<2，

-2<—\/2<-1，

.-.7-2<7-V2<-l+7

5<7—\/2.<6,

故满足不等式x+0>7的整数解可以为：6（答案不唯一）.

故答案为：6（答案不唯一）.

【点评】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，正确估算出无理数的大小是解题关键.

14.（4分）（2021•自贡）某中学规定学生的学期体育成绩满分为100,其中体育课外活动占

30%,期末考试成绩占70%,小彤的这两项成绩依次是90,80.则小彤这学期的体育成绩

是83.

【分析】将小彤体育课外活动、期末考试的成绩分别乘以对应的百分比，再求和即可.

【解答】解：小彤这学期的体育成绩是90X30%+80X70%=83,

故答案为：83.

【点评】本题主要考查加权平均数，加权平均数：若N个数x，％,x,....x”的权分别

是W1,w2,VV,,,吗，则（占叫+工2叫+3+X“W“）+（VV[+吗+…+W”）叫做这"个数的加

权平均数.

15.（4分）（2021•自贡）化简：-....上一=二一.

【分析】先把分子分母因式分解，进行通分，计算即可.

【解答】解：———善一

a-2a~-4

=28

ci—2（a+2）（a—2）

2（a+2）8

（a+2）（。—2）（a+2）（a—2）

2〃一4

（a-2）（。+2）

2（a-2）

（a-2）（。+2）

2

a+2

故答案为：一-一.

a+2

【点评】本题考查了分式的化简，把分子分母因式分解是解题的关键.

16.（4分）（2021•自贡）如图，某学校“桃李餐厅”把W7/7密码做成了数学题.小红在餐

厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络.那么她输入的

密码是244872.

账号：TaoLiCanTing

5*306=301848

2*6㊉7=144256

9*2©5=451055

桃李餐厅欢迎你!4*8㊉6=密码

【分析】根据前面三个等式，寻找规律解决问题.

【解答】解：由三个等式，得到规律：

5*3㊉6=301848可知:5x63*66x（5+3）,

2*6㊉7=144256可知：2x76x77x（2+6）,

9*2㊉5=451055可知：9x52x55*（9+2）,

,4*8㊉6=4x68x66x（4+8）=244872.

故答案为：244872.

【点评】本题考查了有理数的混合运算，由前面三个等式发现规律是解题的关键.

17.（4分）（2021•自贡）如图，AABC的顶点均在正方形网格格点上.只用不带刻度的直

尺，作出AABC的角平分线如（不写作法，保留作图痕迹）.

【分析】取格点尸，连接AF,取A尸的中点£>,作射线即可.

【解答】解：如图，射线Q即为所求作.

【点评】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用

转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

18.（4分）（2021•自贡）当自变量一啜k3时,函数为常数）的最小值为无+3,

则满足条件的/的值为_-2_.

【分析】分及两种情况去绝对值，再根据函数的增减性，结合最小值为斤+3列出

方程，即可得答案.

【解答】解：当X.4时.，函数y=|x—周=x—3此时y随X的增大而增大，

而-掇/3时，函数的最小值为2+3,

，x=—1时取得最小值，即有—1-4=左+3,

解得A=-2,（此时-啜山3,x.」成立），

当x<A时，函数y=|x-/|=-x+Z:,此时y随x的增大而减小，

而一掇1k3时，函数的最小值为左+3,

.•.x=3时取得最小值，即有-3+左=&+3,

此时无解，

故答案为：-2.

【点评】本题考查去绝对值及一次函数的最小值，解题的关键是分和x<A:去绝对值.

三、解答题（共8个题，共78分）

19.（8分）（2021•自贡）计算:5/25-|-7|+（2-^）0.

【分析】利用算术平方根，绝对值和零指数基的意义进行运算.

【解答】解：原式=5-7+1=-1.

【点评】本题主要考查了实数的运算，算术平方根的意义，绝对值的意义，零指数幕的意义.熟

练应用上述法则是解题的关键.

20.（8分）（2021•自贡）如图，在矩形AfiCD中，点E、尸分别是边他、CD的中点.求

证：DE=BF.

【分析】根据矩形的性质和已知证明。尸=班，AB//CD,得到四边形。邮是平行四边

形，根据平行四边形的性质得到答案.

【解答】解：四边形A3CD是矩形,

.-.AB//CD,AB=CD,又£、尸分别是边AB、CD的中点,

:.DF=BE,又ABUCD,

：.四边形DEBF是平行四边形,

:.DE=BF.

【点评】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质

定理是解题的关键.

21.（8分）（2021•自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部8

处测得办公楼底部。处的俯角是53。，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是

30°,综合楼高24米.请你帮小明求出办公楼的高度.（结果精确到0.1,参考数据

tan37°«0.75,tan53°»1.33,V3®1.73）

【分析】由题意可知45=24米，ZBDA=53°,因为tan/BZM=——，可求出AZ）,又由

AD

tan30°=—,可求出8,即得到答案.

AD

【解答】解：由题意可知袒=24米，ZBDA=53°,

tanZBDA=—=—=1.33,

ADAD

AD=---b18.05.

1.33

CDCD

tanZCAD=tan30°=—=----

AD18.05

.-.C£>=18.05x—«10.4（米）.

3

故办公楼的高度约为10.4米.

【点评】本题考查的是解直角三角形的实际应用一仰角俯角问题，掌握仰角和俯角的概念、

熟记锐角三角函数的定义是本题的解题关键.

22.（8分）（2021•自贡）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业.现

有A,3两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比5型机平均每小时多运送20件,

A型机运送700件所用时间与3型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分

别运送多少快件？

【分析】设A型机平均每小时运送快递x件，则5型机平均每小时运送快递（x-20）件，根

据工作时间=工作总量+工作效率结合A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用

时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论.

【解答】解：设A型机平均每小时运送快递x件，则8型机平均每小时运送快递20）件，

根据题意得：2。=上匚，

xx-20

解得：x=70,

经检验，％=70是原分式方程的根，且符合题意,

..70-20=50,

答：A型机平均每小时运送快递70件，5型机平均每小时运送快递50件.

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

23.（10分）（2021•自贡）为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，

将成绩分为：A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级.小李随机调查

了部分同学的竞赛成绩，绘制了如图统计图.

人数

40生--------------------------------------

35---1---------------------------------------------------

30-----------------------------------------------------------

25-----------------------------------——----------------

20-----------------------------------------------------------

15-----------------------------------------------------------

10-----------------------------------------------------------

5-----------------------------------------------------------

---------------1-----1---------------1-----1------►

ABCD等级

（1）本次抽样调查的样本容量是，请补全条形统计图；

（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合

格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；

（3）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数.

【分析】（I）由已知C等级的人数为25人，所占百分比为25%,25+25%可得样本容量;

利用样本容量可求8,。等级的人数；

（2）依据题意列出表格后求得概率；

（3）利用样本估计总体的思想，用样本的优秀率估计总体的优秀率可得结论.

【解答】解：（1）由条形统计图可得C等级的人数为25人，由扇形统计图可得C等级的

人数占比为25%,

...样本容量为25%,25-25%=100.

补全条形统计图如下：

人数

（2）。等级的学生有：100x5%=5（人）.

由题意列表如下：

男男男女女

男X男男男男男女男女

男男男男男男女男女

男男男男男男女男女

女男女男女男女

女男女男女男女

由表格可得，共有20种等可能，其中恰好回访到一男一女的等可能有12种，

恰好回访到一男一女的概率为工=?.

205

（3）-样本中A（优秀）的占比为35%,

.♦・可以估计该校2000名学生中的A（优秀）的占比为35%.

估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数为：2000x35%=700（人）.

【点评】本题主要考查了统计的相关知识，包括总体，个体，样本，样本容量，利用列表法

或画树状图求事件的概率，用样本估计总体的思想，条形统计图等，准确的理解相关的数量

指标，并熟练的应用是解题的关键.

24.（10分）（2021•自贡）函数图象是研究函数的重要工具.探究函数性质时，我们经历了

列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程.请结合已

有的学习经验，画出函数y=-的图象，并探究其性质.

X2+4

列表如下：

X-4-3-2-101234

y824a80b-2_24_8

5715一百~5

（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象;

（2）观察函数y=的图象，判断下列关于该函数性质的命题：

r+4

①当-2领k2时，函数图象关于直线y=x对称；

②x=2时，函数有最小值，最小值为-2；

③时，函数y的值随x的增大而减小.

其中正确的是②③.（请写出所有正确命题的番号）

（3）结合图象，请直接写出不等式的解集

d+4—

【分析】（1）利用函数解析式分别求出x=-2和x=l对应的函数值；然后利用描点法画出

图象即可；

（2）观察图象可知当x<0时，y随x值的增大而增大；

（3）利用图象即可解决问题.

【解答】解：（1）把x=-2代入y=得，y=-二1^=2,

f+4-4+4

把x=［代入y=——得，y=---=>

x+41+45

函数y=-的图象如图所示:

X2+4

①当-2麴k2时，函数图象原点对称；错误；

②x=2时，函数有最小值，最小值为-2；正确；

③-1<X<1时，函数y的值随x的增大而减小，正确.

故答案为②③；

(3)由图象可知，函数y=—-”与直线y=—x的交点为(-2,2)、(0,0)、(2,-2)

r+4

不等式造_>X的解集为x<_2或0<x<2.

X2+4

【点评】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并

结合函数图象解题是关键.

25.(12分)(2021•自贡)如图，点。在以钻为直径的O上，过。作：O的切线交他延

长线于点C,AE^LCD于点E,交二。于点尸，连接A£),FD.

(1)求证：ADAE^ADACX

(2)求证：DFAC=ADDC；

(3)若sinNC=L,AD=4>/10,求砂的长.

E

D

【分析】（1）连接8,证明AE//QD,推出NE4Z）=/4DO,再证明NADO=NQ4D即可

解决问题.

（2）如图，连接3F.证明A£M尸SA。。，可得结论.

（3）过点。作DHLAC于”.由sinNC=^=1,假设OD=Z,OC=4A,则OA=QD=Z,

OC4

CD=同,在RlAADH中，利用勾股定理求出k,再利用（2）中结论求出。尸，再根据

FFDH

sinZEDF=sinZZMA/,推出上一二——,可得结论.

DFAD

【解答】（1）证明：如图，连接8.

8是O的切线,

:.ODLEC,

AE±CE,

:.AE//OD,

:,ZEAD=ZADO,

OA=OD,

ZADO=/DAO,

:.ZDAE=ZDAC.

(2)证明：如图，连接

所是直径，

/.ZAfB=90°,

AE±EC,

NAFB=NE=90。,

:.BF//EC,

.\ZABF=ZC,

ZADF=ZABF,

.\ZADF=^C,

ADAF=ADAC,

AZMF0°AC4£)，

.AD_DF

~CA~~CDf

.\DFAC=ADDC.

(3)解：过点。作。〃_LAC于〃.

CD是O的切线，

.•.NODC=90。，

.2OD1

sinZC=--=—,

OC4

.•.可以假设OD=Z,OC=4k,则OA=OQ=A,CD=715)1,

-ODDC=-OCDH，

22

:.DH=—k,

4

OH=-JOD2-DH2=-k,

4

:.AH=OA+OH=-k，

4

AD2=AH2+DH2,

...(4®=(汨+(芈幻2

44

.,M=8或-8(舍弃),

；.DH=2巫,AC=5后=40,DC=8屈,

.DF・AC=ADDC,

:・DF=4指,

ZADE=ZDAC+ZC=ZADF+ZEDF9ZADF=NC,

:./EDF=/DAC,

sin/EDF=sinNDAH,

EFDH

1)F~~AD

EF2V15

476-4>/10

:.EF=6.

【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定

和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数

构建方程解