2021年上海六年级数学期中测试-第5章 有理数章节压轴题解题思路分析（教师版）

第5章有理数章节压轴题解题思路分析

名师点睛

模块一:有理数

1.（2021•广东九年级专题练习）现有以下五个结论：

①整数和分数统称为有理数；

②绝对值等于其本身的有理数是0和1；

③每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示；

④若两个非0数互为相反数，则它们相除的商等于-1；

⑤几个有理数相乘，负因数个数是奇数时，积是负数.

其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】②中绝对值等于其本身的有理数是0和正数，故原结论错误；

⑤种几个有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数，也有可能是0,此结论错误.

【详解】①整数和分数统称为有理数，此结论正确；

②绝对值等于其本身的有理数是0和正数，故原结论错误；

③每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，此结论正确；

④若两个非0数互为相反数，则它们相除的商等于-1，此结论正确；

⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数，也有可能是0,此结论错误.

正确的有①③④共3个.故选C

【点睛】本题考察有理数的性质.

2.（2021•全国七年级）设有理数a、b、c满足a">c（ac<0）,且[c[<同<M，则

a+h\Ih-^-Ci।a+Csu1-D

六W~|+|六-y|+|x+三一的最小值是()

Aa-ca+h+2c「2a+h+c2a+b-c

D.------------

2222

【答案】C

【分析】根据ac<0可知a,c异号，再根据a>6>c,以及|耳<|耳<|a|,即可确定a,-a,

,,八3一a+b\Ib+C\।a+c上一，［a+0b+c

b,-b,c,r?在数轴上的位置，而方二一|+|k七一|+|x+'—表不到二一，——,

211211222

(1+C

一-5一三点的距离的和，根据数轴即可确定.

【详解】

解：Vac<0,

.*.a,c异号，

•：a>b>c,

.,・〃>(),c<0,

又,

-a<-b<c<O<-c<b<a1

,a+3।〃+gIa+c..…、a+bb+ca+c—―

'又•:六一-—+M-1-—一表不到一--，—--,--—二点的距周的和，

2112112222

当X在b片+c时距离最小，

2

a+b\,\b+c\,I,a+c.„......a+b,a+c,.,.....„2a+b+c

即Hn方一5一1+|方一5一|+卜+—5—最Ft小，最小值是1厂与一一丁乙间的u距r离，即n——-——.

乙乙乙乙乙乙

故选：C.

【点睛】

本题考查了绝对值函数的最值问题，解决的关键是根据条件确定a,-a,b,-b,C,-c之

间的大小关系，把求式子的最值的问题转化为距离的问题，有一定难度.

3.（2021•北京海淀区•人大附中七年级期末）已知有理数满足：|a-必|+（2-份2=（）.如

图，在数轴上，点。是原点，点A所对应的数是线段在直线OA上运动（点B在点C

的左侧），BC=b,

下列结论

①a=4,b=2-

②当点8与点。重合时，AC=3；

③当点C与点A重合时，若点尸是线段BC延长线上的点，则PO+PA=2PB；

④在线段3c运动过程中，若M为线段。8的中点，N为线段AC的中点，则线段的长

度不变.

其中正确的是（）

A.①③B.①④C.①②③④D.①③④

【答案】D

【分析】根据平方式和绝对值的非负性求出a和6的值，然后根据数轴上两点之间距离的计算

方法和中点的表示方法去证明命题的正确性.

【详解】解：—2^20,（2-Z?）2>0,且,一2。|+（2—人『=0,

：.a-2h=0,2-6=（）,解得6=2,〃=4,故①正确；

当点B与点。重合时，

BC=2,OA=4,

：.AC=OA-BC=4-2^2,故②错误；

设点P表示的数是X,

当点C与点A重合时，点B表示的数是2,

PO=x，PA=x—4,PB=x—2f

/.PO+PA=x+x—4=2x—4=2(x—2)=2PS,故③正确；

设点B表示的数是b,则点C表示的数是匕+2,

・・・M是0B的中点，

.•.点M表示的数是g,

：N是AC的中点，

.••点N表示的数是当，

2

则肱7=陛一^=3,故④正确.故选：D.

【点睛】本题考查数轴的性质，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的求解，中点的表示

方法.

4.(2021•深圳市龙岗区龙岗街道新梓学校七年级月考)同学们都知道，|4-(-2)1表示

4与-2的差的绝对值，实际上也可理解为4与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同

理|x-3也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离.试探索：

(1)14-(-2)的值.

(2)若|x-2|=5,求x的值是多少？

(3)同理x-4|+|x+2|=6表示数轴上有理数x所对应的点到4和-2所对应的两点距离之和，

请你找出所有符合条件的整数x,使得|x-4|+|x+2|=6,写出求解的过程.

【答案】(1)6;(2)x=-3或7;(3)整数是-2、-1、0、1、2、3、4

【分析】(1)根据4与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6,可得4-(-2)|=6,

(2)根据x-2|=5表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5,可得x=-3或7.

(3)因为4与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6,所以使得|x-41+1x+2|=6成立的

整数是-2和4之间的所有整数(包括-2和4),据此求出这样的整数有哪些即可.

【详解】(1).；4与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6,

4-(-2)1=6.

(2)|x-21=5表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5,

•••-3或7与2两数在数•轴上所对应的两点之间的距离是5,

...若|x-2=5,贝ijx=-3或7.

(3).；4与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6,

•••使得|x-4|+|x+2|=6成立的整数是-2和4之间的所有整数(包括-2和4),

,这样的整数是-2、-1、0、1、2、3、4.

【点睛】(1)此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a：②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；

③当a是零时，a的绝对值是零.

(2)解答此题的关键是要明确：|x-a|既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与a两

数在数轴上所对应的两点之间的距离.

5.(2021•辽宁抚顺市•七年级期末)如图，在数轴上有两个长方形ABC。和E尸C”,这

两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形A8C。的长AO是4个单位长度，长方形EFC”的

长E4是8个单位长度，点E在数轴上表示的数是5,且E、。两点之间的距离为12.

~1c尸］--------------,G

_________id___

A-D0______5__________H

(1)填空:点〃在数轴上表示的数是，点A在数轴上表示的数是.

(2)若线段A。的中点为M,线段EH上有一点N,EN=-EH,M以每秒4个单位的速度

4

向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为％秒，求当x多少秒时，

OM=ON.

(3)若长方形ABCD以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形EEC“固定不动，当两个

长方形重叠部分的面积为6时，求长方形A8CO运动的时间.

【答案】(1)13,-11；(2)x=2或x=—；(3)当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒

7

时，重叠部分的面积为6.

【分析】(1)根据已知条件可先求出点H表示的数为13,然后再进一步求解即可；

(2)根据题意先得出点M表示的数为-9,点N表示的数为7,然后分当M、N在点0两侧或当N、

M在点0同侧两种情况进一步分析讨论即可；

(3)设长方形ABCD运动的时间为y秒，分重叠部分为长方形EFCD或重叠部分为长方形CDHG两

种情况进一步分析讨论即可.

【详解】(1)•••长方形EFC〃的长EH是8个单位长度，点E在数轴上表示的数是5,

.•.点H表示的数为：5+8=13,

■:E、。两点之间的距离为距,

二点D表示的数为：5-12=-7,

长方形ABCD的氏4。是4个单位长度，

...点A表示的数为：-7-4=-11,

故答案为：13,—11；

(2)由题意可知：点M表示的数为-9,点N表示的数为7；,经过x秒后，M点表示的数为-9+4x,

N点表示的数为7-3x；

①当M、N在点0两侧时，点0为M、N的中点，

,(4x-9)+(7-3x)八

则I有Z1-------------1=0,

2

解得x=2；

②当N、M在点0同侧时，即点N、M相遇，

则有7-3x=-9+4x

解得:x=y

综上，当*=2或*=一时，0M=0N；

7

(3)设长方形ABCD运动的时间y为秒,

①当重叠部分为长方形EFCD时，

r

耳

O

DE=-7+2y-5=2y-12

，2(2y-12)=6,

解得：y=7.5；

②当重叠部分为长方形CDIIG时，

B____cF,Ac

r~i.湛iT

dD05B

HD=4-(-7+2y-13)=24-2y,

:.2(24-2y)=6,

解得:y=10.5；

综上，当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6.

【点睛】本题主要考查J'数轴上的动点问题，熟练掌握相关方法是解题关键.

6.(2021•河南南阳市•七年级期末)如图：在数轴上点A表示数。，点8表示数b,点C

表示数。是最大的负整数，且久c满足|a+3|+(c-5)2=O.

—r-^-------c--------»

(1)a=»b_,c-.

(2)若将数轴折叠，使得点A与点。重合，则点8与数表示的点重合；

(3)点4B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点

8和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设，秒钟过后，若点A与

点8之间的距离表示为A8,点B与点。之间的距离表示为BC,则AB=，BC=

.(用含f的代数式表示)

(4)3BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值。

【答案】(1)-3；-1；5；(2)3；(3)3f+2,f+6；(4)3BC—AB的值为定值16.

【分析】(1)根据b为最大的负整数可得出b的值，再根据绝对值以及偶次方的非负性即可得

出a、c的值;

(2)根据折叠的性质结合a、b、c的值，即可找出与点B重合的数；

(3)根据运动的方向和速度结合a、b、c的值，即可找出t秒后点A、B、C分别表示的数，利

用两点间的距离即可求出AB、BC的值；

(4)将(3)的结论代入3BC-AB中，可得出3BC-AB为定值16,此题得解.

【详解】

(1)是最大的负整数,且。、。满足|。+3|+(。-5)2=0,

b——\,a+3=0,c—5=0,

•»ci——3，c=5.

故答案为：-3；-1；5.

(2)ci+c~b=—3+5—(―1)=3.

故答案为：3.

(3)t秒钟过后，点A表示的数为T-3,点8表示的数为21-1,点C表示的数为3r+5,

二A8=(2r-l)-(-1-3)=3t+2,BC=(3/+5)-(2/-l)=f+6.

故答案为：3f+2,f+6.

(4),/AB=3/+2»BC=/+6,

38C—A8=3O+6)-(3f+2)=3f+18-3-2=16.

3BC—AB的值为定值16.

【点睛】本题考查了数轴、两点间的距离、绝对值以及偶次方的非负性，根据点运动的方向

和速度找出点A、B、C运动后代表的数是解题的关键.

7.（2021•全国七年级）已知，如图A,B分别为数轴上的两点，点A对应的数是-18,点B对

应的数为20.

（1）请直接写出线段AB的中点M对应的数.

（2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，在数轴上以3个单位/秒的速度向左运动.请解答下面

问题：①试求出运动15秒时蚂蚁P到点A的距离.②直接写出运动多少秒时P到B的距离是P到A

的距离的2倍，并直接写出P点所对应的数.

______4p.

-1820.

【答案】（1）1；（2）①7；②当运动蔡s时，P点所对应的数为-g,当运动与s时，P点

所对应的数为-56.

【分析】（1）由中点公式可求解：

（2）①由两点距离可求解；②分两种情况讨论，列出方程可求解.

【详解】

解：（1）•.•点A对应的数是-18,点B对应的数为20,

1QI20

线段AB的中点M对应的数为—-=1；

2

（2）①由题意可得：运动15秒时蚂蚁P到点A的距离=-18-（263xl5）=7:

②设经过x秒，P至IJB的距离是P到A的距离的2倍，

节点P在AB之间时，3尸2x（38-3x）

解得：%=当，

.•.P点所对应的数为20-3、曰=弓

当点P在点A左侧时，3尸2x（3尸38）

解得：x=—,

.•・P点所对应的数为20-3=-56

综上所述：当运动与s时，P点所对应的数为-与，当运动与s时，P点所对应的数为-56.

【点睛】本题考查数轴上动点问题，掌握中点公式和分类讨论思想是解题的关键.

8.(2021•重庆北需区•七年级期末)阅读下面材料，回答问题

距离能够产生美.

唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无.

当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：

“世界上最遥远的距离

不是瞬间便无处寻觅

而是尚未相遇

便注定无法相聚”

距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界

尺度.

已知点4琳数轴上分别表示有理数a、b,A,6两点之间的距离表示为力6.

(1)当4方两点中有一点在原点时，不妨设点力在原点，如图1,/庐如=b\-\a\=b-a=\a-b\.

(2)当4晒点都不在原点时，

①如图2,点46都在原点的右边，AB=0B-0A=\b\-a\=b-ep\a-b\

②如图3,点力,占都在原点的左边，AB=OB-OA=\b\-\a\^-b-(-a)=所乐|卅6|；

③如图4,点4,摊原点的两边，/庐力+仍=|a|+|引=a+(-6)=a~g\a~b.

综上，数轴上儿晒点的距离力作a-b\,如数轴上表示4和-1的两点之间的距离是5.

利用上述结论，回答以下三个问题：

(1)若表示数a和-2的两点之间的距离是3,那么年；

(2)若数轴上表示数。的点位于-5与2之间，则|尹5|+|b2的值为；

(3)若薇示一个有理数，且|1什|广3>4,求有理数x的取值范围；

(4)若未知数x,"茜足(|尸1|+|户3|)(|产1|+|广2)=12,求代数式产渊最小值和最大

值.

【答案】(1)I或-5；(2)7；(3)41或％<-3；(4)最大值是5,最小值是0.

【分析】(1)根据题意得绝对值方程，求解即可；

(2)由题意可得济5>0,a-2<0,去绝对值化简可得结果

(3)分类讨论当x>l、x<-3、3W启1,再去绝对值，化简求解即可；

(4)分别得出l|+|x-3|的最小值为2和|y-2+|户1的最小值为3,从而得出x和而范

围，则问题得解.

【详解】解：(1)|a-(-2)|=3,

所以，a+2=3或a+2=-3,

解得：a=l或a=-5.

故答案为：1或-5；

(2)•.•表示数a的点位于-5与2之间，

/.a+5>0,a~2V0,

a+51+1a-21=(a+5)+[-(a-2)]=a+5~a+2=7.

故答案为：7；

(3)当x>l时，原式=『1+户3=2户2>4,解得：尤>1；

当x<-3时，原式=-矛+1-六3=-2方2>4,解得：x<_3；

当-3WxWl时，原式=-A+1+X+3=4,不符合题意，故舍去；

二有理数x的取值范围是：x>l或x<-3；

(4)(尸1|+|六3|)(|尸2|+严1|)=6

又1+|『3|的最小值为2,|广'2|+|T+1|的最小值为3,

.♦.1W后3,TWZ2,

.••代数式x+y的最大值是5,最小值是0.

【点睛】本题考查了数轴上的点与点之间的距离及代数式的最值问题，明确数轴上的点之间

的距离及绝对值的运算法则，是解题的关键.

9.(2021•全国七年级)点4妫数轴上的两点，点/对应的数为a,点方对应的数为3,4=

-8.

(I)求4,硒点之间的距离；

(2)若点C为数轴上的一个动点，其对应的数记为*,试猜想当嫌足什么条件时，点分"点

的距离与点虑U8点的距离之和最小.请写出你的猜想，并说明理由；

(3)若P,妫数轴上的两个动点(0点在尸点右侧)，P,晒点之间的距离为处当点冷必点

的距离与点61历点的距离之和有最小值4时，/的值为.

【答案】(1)5；(2)当-2<x<3时，点分必点的距离与点虑胴点的距离之和最小，最小

值为5,见详解；(3)1或9

【分析】(1)先根据立方根的定义求出a,再根据两点之间的距离公式即可求解；

(2)当点维数轴上/、晒点之间时，点集帖点的距离与点C到6点的距离之和最小，依此即

可求解；

(3)分两种情况：点P在点4的左边，点，在点砸右边，进行讨论即可求解.

【详解】解：(1)；，=-8.：.a=-2,：.AB=\3-(-2)=5；

(2)点分U/的距离为|户2，点怎U那］距离为|x-3|,

二点年口点的距离与点生历点的距离之和为x+2|+x-3,

当距离之和|x+2|+x-3|的值最小,-2<x<3,

此时的最小值为3-(-2)=5,

.•.当-2<x<3时，点点以点的距离与点障1历点的距离之和最小，最小值为5；

(3)设点E所表示的数为x,

'：PQ=m,。点在P点右侧，

•••点。所表示的数为x+而，

PA—|x+21,QB=\x+m-3

二点席口点的距离与点4®出点的距离之和为：*+。6=|广2+|X+R-3|

当x在-2与3-勿之间时，|户21+|广w-3|最小，最小值为|-2-(3-加=4,

①-2-(3-加=4,解得，m—9,

②(3-加)-(-2)=4时，解得，ni=1,故答案为：1或9.

【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示

是解题的关键.

模块二：有理数的运算

1.(2021•江苏南京市•七年级期末)有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，若

/>旧，则下列结论中正确的是()

——I-----------------1——।----------►

abe

A.abc<0B.b+c<0C.a+c>0D.ac>ab

【答案】B

【分析】根据题意，a和b是负数，但是c的正负不确定，根据有理数加减乘除运算法则讨论式

子的正负.

【详解】解：•.•例>Id，

.•.数轴的原点应该在表示b的点和表示c的点的中点的右边，

••.c有可能是正数也有可能是负数，a和b是负数，

必>0,但是劭c的符号不能确定，故A错误；

若b和c都是负数，则b+c<0,若b是负数，c是正数，且网>同，则"c<0,故B正确：

若a和c都是负数，则a+c<0,若a是正数，c是负数，且时>同，则a+c<0,故C错误；

若b是负数，c是正数，则故D错误.故选：B.

【点睛】本题考查数轴和有理数的加减乘除运算法则，解题的关键是通过有理数加减乘除运

算法则判断式子的正负.

2.(2021•河北张家口市•七年级期末)计算

1+2-3-4+5+6—7—8+…+2017+2018-2019—2020值为()

A.0B.-1C.2020D.-2020

【答案】D

【分析】根据加法的结合律四个四个一组结合起来，每一组的和都等于-4,共505组,计算即可.

【详解】解：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+....+2017+2018-2019-2020

=(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+(9+10-11-12)+....+(2017+2018-2019-2020)

-(-4)+(-4)+(-4)+(-4)+...+(-4)

=(-4)X505

=-2020.

故选D.

【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，观察出规律是解题的关键.

3.(2021•全国九年级专题练习)有理数a、6在数轴上的位置如图所示，且a|<b\,下列

各式中正确的个数是()

①a+b<0；②8-a>0；(3)->--；④3a-6>0；(§)-a-b>0.

ba

---11--------->

h--0a

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数.原点左边的数为负数，原点右

边的数为正数.从图中可以看出b<O<a,|b|>a|,再根据有理数的运算法则判断即可.

【详解】根据数轴上a,b两点的位置可知，b<O<a,|b>|a|,

①根据有理数的加法法则，可知a+bVO,故正确；

②：bVa,.Ib-aVO,故错误；|a|<|Z>|>

1111.1,1,1,1

.•・面‘画’"他一二°'胃=而匕上而

根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小

—>—>故正确：

ba

④3a-b=Qa+(-6)

V3a>O,-b>O

：.3a-b>0,故正确；

©V-a>b

.：-a-b>0.

以①③④⑤正确，选C.

【点睛】本题考查根据点在数轴的位置判断式子的正负，本部分的题主要根据，数轴上左边

的点表示的数总比右边的点表示的数要小，及有理数的运算规律来判断式子的大小.

4.(2021•安徽阜阳市•七年级期末)某商场对顾客实行优惠，规定：

(1)如一次购物不超过200元，则不予折扣;

（2）如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；

（3）如一次购物超过500元的，其中500元按第（2）条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优

惠.

某人两次去购物，分别付款168元与423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是（）

A.522.8元B.510.4元C.560.4元D.472.8元

【答案】C

【解析】分析：某人两次去购物分别付款168元与423元，而423兀是优惠后的付款价格，实际

标价为423・0.9=470元，如果他只去一次购买同样的商品即价值168+470=638元的商品，按规

定（3）进行优惠即可.

详解：某人两次去购物，分别付款168元与423元，由于商场的优惠规定，168元的商品未优惠，

而423元的商品是按九折优惠后的，则实际商品价格为423+0.9=470元，如果他只去一次购买

同样的商品即价值168+470=638元的商品时，应付款为：

500X0.9+（638-500）X0.8=450+110.4=560.4（元）.故选C.

点睛：本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条

件，找出合适的等量关系列出方程，再求解.本题容易把423元商品忽略当成标价处理而误选

A.

5.（2021•全国九年级专题练习）如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分

别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（）

【答案】C

【详解】由图可知S=3+4+5=12.

故选C.

点睛：本题考查了有理数加法运算的应用，三个项分别是4,5,6,4与5之间是3,6和5之间

是1,4和6之间是2,这样每边的和才能相等.

6.(2021•全国九年级)计算：

(1),

(2)-23-(1-0.5)X1X[2-(-3)2],

(3)-42-16-(-2)xl-(-l)2019,

⑷(_2)3+(_|_|+]1)X(_24)

【答案】(1)1；(2)——；(3)—11；(4)26

【分析】(1)按照有理数加减混合运算法则计算即可；

(2)先算括号内的，然后在进行加减混合运算即可；

(3)先算除法和乘方，然后按照有理数加减法运算法则计算即可；

(4)先利用乘法分配律，然后根据有理数加减法运算法则计算即可.

【详解】(1)原式=一3-4-11+19=1

(2)原式=-8x；x(—7)

=-8+-

2

---1-5

2

xg-(T)

(3)原式16-16xI

=-16+4+1

=-11

2511

（4）原式=-8+—x24+/x24——x24

3612

=-8+16+20-2

=26

【点睛】本题考查了含乘方的有理数加减乘除混合运算，乘法运算律，熟练掌握运算法则是

本题的关键.

7.（2021•渝中区•重庆巴蜀中学）对于一个四位正整数，若满足百位数字与十位数字之和

是个位数字与千位数字之和的两倍，则称该四位正整数为“希望数”，例如：四位正整数3975,

百位数字与十位数字之和是16,个位数字与千位数字之和8,而16是8的两倍，则称四位正整

数3975为“希望数”，类似的，四位正整数2934也是“希望数”.

根据题中所给材料，解答以下问题：

（1）请写出最小的“希望数”是________；最大的“希望数”是_______:

（2）对一个各个数位数字均不超过6的“希望数例设疯，若个位数字是千位数字的2

倍，且十位数字和百位数字均是2的倍数，定义：F（m）=\（a+b）-（c+d）］,求尸（山）的最大

值.

【答案】（1）1020,9990；（2）7.

【分析】（1）根据题意可知，最小的“希望数”要使千位和百位最小，最大的“希望数”要

使千位和百位最大，据此写出答案；

（2）根据题意直接列出满足条件的“希望数0,再根据定义/（而）=|+。）-（C+d）|求出F（⑼

即可得出最大值.

【详解】解：（1）千位数最小为1,最大为9,百位数最小为0,最大为9；根据对于一个四位

正整数，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字与千位数字之和的两倍，则称该四位正

整数为“希望数”，

可得:出最小的“希望数”是1020；最大的“希望数”是9990；

（2）一个各个数位数字均不超过6的“希望数勿，若个位数字是千位数字的2倍，且十位数字

和百位数字均是2的倍数，“希望数/可能是1062；1602；1242；1422；2664.

当加=abed=1602时，尸(机)=|(1+6)—(0+2)|=5；

当m-abed=1062时，尸(㈤=|。+0)-(6+2)|=7：

当加=abed=1242时，F(???)=|(1+2)—(4+2)|=3；

-I加=点4=1422时，F{m)=|(1+4)—(2+2)|=1；

当m=abed=2664时，尸(⑼=|(2+6)-(6+4)|=2；

故尸(")的最大值为7.

【点睛】本题主要考查阅读材料类题目，属于创新题，同时又包含了大量计算，做此类型题

目时.，应注意从材料中获取解题方法、掌握定义的本质，同时本题考查了数的大小与数位的

关系.

8.(2021•全国九年级)“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数

学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的三个问题.例：三个有理数a,b,

c满足abc〉()，求^--+~的值.

abc

解：由题意得：a,b,c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数.

①当a,b,c都是正数，即a>0,b〉0,c>0时，

.|a||b||c|abc,,,„

则n：------1-------1------=—I------1—=1+1+1=3；

abcahc

②当ab,c有一个为正数，另两个为负数时，设〃>0,8<0,c<0,

…1^1Ic\a-b-ci-、/_,、1

贝U：----1-------1------=—I-------1------=1+(-1)+(-1)=-1；

abcabc

综上所述：■~-++-的值为3或T.

abc

请根据上面的解题思路解答下面的问题：

(1)已知1。1=3,0|=1,且。＜/?,求。+力的值;

ah

(2)已知a,b是有理数，当。匕*0时，，求;~~;+.的值；

1。1向

b+ca+ca+b

(3)已知a,b,c是有理数，a+b+c=Q,abc<0.求~~的值.

l«l\c\

【答案】(1)一2或-4；(2)±2或0；(3)-1.

【分析】(1)先根据绝对值运算求出a、b的值，再根据a<b可得两组a、b的值，然后代入

求值即可得；

(2)分①”>0,b>0、②。<0,/?<()、③a>0,b<0、④。<0,匕>0四种情况，再分

别化简绝对值，然后计算有理数的除法与加减法即可得；

(3)先根据已知等式可得匕+c=-a,a+c=-b,a+b=-c,且a,b,c有两个正数一个负

数，再化简绝对值，然后计算有理数的除法与加减法即可得.

【详解】(1)因为同=3,同=1,所以。=±3/=土1,因为4<匕，

a=—3f。=—3

所以，।或匕」

b=\心=一1

则Q+/?=(—3)+1=—2或Q+Z?=(—3)+(—1)=—4,

即a+b的值为一2或一4；

(2)由题意，可分以下四种情况：

ahab、、入

①若a>0,b>0,则,+丙=工+石=1+1=2；

ahab一、，.

②若a<0,b<0则1+5=—+==(-1)+(_1)=_2；

9\a\\b\-a-b

abab,/入

③若a>0,bvO,则同+回=工+工=+(-1)=0；

ab八1c

④若a<0,Z?>(),则［+方=—+工=(_1)+1=0；

\a\\b\-ab

ab

综上，+百■的值为±2或0；

（3）因为a,b,c是有理数，a+b+c=Ofahc<0,

所以。+c=—a,a+c=-bfa+b=-c,且a,b,c有两个正数一个负数,

设。>0,b>0,c<0,

b+ca+ca-{-b-a-b-c/八/1

则甘+可+H="+不+工=（）+（）.

【点睛】本题考查了绝对值运算、有理数除法与加减法的应用，熟练掌握分类讨论思想是解

题关键.

9.（2021•全国九年级）海峰上星期六（周日股市不交易）买进某公司股票1000股，每股30

元，下表为本周内每日股票的涨跌情况：

六

星期一二一四五

单股涨跌

+4+4.5-1-2.5-6+2

（元）

（1）星期三收盘时，每股是多少元？

（2）本周内最高价是每股多少元？最低价是多少元？

（3）已知海峰买进股标时付了0.15%的手续费，卖出时需付成交额的0.15%的手续费和0.1%

的交易税，如果海峰在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益为多少元？

【答案】（1）37.5元；（2）最高价格：38.5元，最低价格29元；（3）877.5元.

【分析】（1）根据题意及表格列式计算得到答案；

（2）分别求出每天的价格即可得到答案；

（3）分别求出卖出的价格与买入的价格，两者相减即可得到答案.

【详解】（1）30+4+4.5-1=37.5（元）

答：星期三收盘时，每股是37.5元;

（2）周一价格:30+4=34（元）

周二价格：34+4.5=38.5（元）

周三价格：38.5-1=37.5（元）

周四价格:37.5-2.5=35（元）

周五价格：35-6=29（元）

周六价格：29+2=31（元）

答：最高价格：38.5元，最低价格29元；

（3）因为：卖出价格为：31xl000x（l-0.15%-0.1%）=30922.5（元）

买入价格为：30xl000x（l+0.15%）=30045（元）

收益=30922.5—30045=877.5（元）

答：收益877.5元.

【点睛】此题考查正数和负数的实际意义，有理数的加减法的实际应用，有理数的混合运算,

正确理解题意是解题的关键.

10.（2021•全国九年级）已知A、B两地相距50米，小乌龟从A地出发前往B地，第一次它前

进1米，第二次它后退2米，第三次再前进3米，第四次又向后退4米……，按此规律行进，如

果数轴的单位长度为1米，A地在数轴上表示的数为-16.

（1）求出B地在数轴上表示的数；

（2）若B地在原点的右侧，经过第七次行进后小乌龟到达点P,第八次行进后到达点Q,点P、

点Q到A地的距离相等吗？说明理由？

（3）若B地在原点右侧，那么经过n次行进后，小乌龟到达的点与B地之间的距离为多少（用n

表示）？

.4

------------------------i------------------------>

-160

【答案】（1）34或-66；（2）点尸、点。到A地的距离相等，理由见解析；（3）当〃为奇

数时，小乌龟到达的点与B地之间的距离为军尸；当〃为偶数时，小乌龟到达的点与B地之间

的距离为竺产.

【分析】(1)分B地在A地的左侧和B地在A地的右侧两种情况，再分别根据数轴的定义即可得;

(2)先求出点P、Q表示的数，再根据数轴的定义即可得；

(3)先分别求出n为奇数时，小乌龟到达的点表示的数和n为偶数时，小乌龟到达的点表示的

数，再根据数轴的定义即可得.

【详解】(1)由题意，分以下两种情况：

①当B地在A地的左侧时，

则B地在数轴上表示的数为-16-5()=-66,

②当IB地在A地的右侧时，

则B地在数轴上表示的数为-16+50=34,

答：B地在数轴上表示的数是34或-66；

(2)由题意，点P表示的数为一16+1—2+3—4+5—6+7=—12,

点Q表示的数为一16+1-2+3-4+5-6+7-8=-20,

则点P到A地的距离为—12—(—16)=4(米)，

点。到A地的距离为一16-(—20)=4(米)，

故点尸、点。到A地的距离相等；

(3)由(1)知，当B地在原点右侧，B地在数轴上表示的数为34,

由题意，分以下两种情况：

①当〃为奇数时，

小乌龟到达的点表示的数为-16+1-2+3-4+…+—+〃=

则小乌龟到达的点与B地之间的距离为34-»宁7—3=1二99产—n；

②当〃为偶数时，

—32—n

小乌龟到达的点表示的数为-16+1-2+3-4+…+5-1）-〃=一^―,

则小乌龟到达的点与B地之间的距离为34-若？=吗遭.

22

【点睛】本题考查了数轴、有理数加减法的应用，较难的是题（3）,正确分两种情况讨论是

解题关键.

11.（2021•全国九年级）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面.例如：若数轴上数2

表示的点与数-2表示的点重合，则数轴上数-4,表示的点与数4表示的点重合，根据你对例

题的理解，解答下列问题：

111I1II1II1I1.

-6-5-4-3-2-1O123456

若数轴上数-3表示的点与数1表示的点重合.（请依据此情境解决下列问题）

（1）则数轴上数4表示的点与数表示的点重合.

（2）若点力到原点的距离是6个单位长度，并且4晒点经折叠后重合，则点6点表示的数是

（3）若数轴上八两点之间的距离为2020,并且M,A两点经折叠后重合，如果北点表示的数

比用点表示的数大，则助点表示的数是,则可点表示的数是.

【答案】（1）-6；（2）4或-8；（3）1009,-1011

【分析】（1）数轴上数-3表示的点与数1表示的点关于点-1对称，4-（-1）=5,而-1

-5=-6,可得数轴上数4表示的点与数-6表示的点重合；

（2）点A到原点的距离是6个单位长度，则点A表示的数为6或-6,分两种情况讨论，即可得

到B点表示的数是5或7；

（3）依据M、N两点之间的距离为2020,并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示

的数大，即可得到M点表示的数是1007,N点表示的数是-1013.

【详解】解：（1）•••数轴上数-3表示的点与数1表示的点关于点-1对称,

4-(-1)=5,而-l-5=-6,

.••数轴上数4表示的点与数-6表示的点重合；

故答案为：-6；

(2)点A到原点的距离是6个单位长度，则点A表示的数为6或-6,

•:A、B两点经折叠后重合，

当点A表示-6时，-1-(-6)=5,-1+5=4,

当点A表示6时，6-(-1)=7,-1-7=-8,

点表示的数是4或-8；

故答案为：4或-8；

(3)M、N两点之间的距离为2020,并且M、N两点经折叠后重合，

/.-1+—X2020=1009,-1-—X2020=-1011,

22

又：M点表示的数比N点表示的数大，

点表示的数是1009,N点表示的数是-1011,

故答案为：1009,-1011.

【点睛】

本题主要考查的是数轴的认识，掌握数轴的定义和点的对称性是解题的关键.

12.(2021•全国九年级)某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但

由于种种原因，实

际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况(超产记为正、减产记为负)：

星期―■二三四五六11

增减+6+12+16

24108

(1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车辆：

(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车辆：

(3)根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车辆；

(4)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆

另奖20元；少生产一辆扣25元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？

【答案】(1)212；(2)26辆；(3)1410辆；(4)84800元

【分析】(1)该厂星期四生产自行车200+12=212辆；

(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车16-(-10)=26辆；

(3)该厂本周实际生产自行车(6-2-4+12-10+16-8)+200x7=1410辆；

(4)这一周的工资总额是200x7x60+(6-2—4+12-10+16-8)x(60+20)=84800辆.

【详解】

解：(1)超产记为正、减产记为负，所以星期四生产自行车200+12=212辆，

故该厂星期四生产自行车212辆，

故答案为:212；

(2)根据图示产量最多的一天是216辆，

产量最少的一天是190辆，

216-190=26辆，

故产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车26辆，

故答案为:26；

(3)根据题意6-2-4+12-10+16-8=10,

200x7+10=1410辆，

故该厂本周实际生产自行车1410辆，

故答案为：1410；

(4)根据图示本周工人工资总额=7x200x60+10x(60+20)=84800兀.

故该厂工人这一周的工资总额是84800元.

【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实

际，不能死学.

13.(2021•全国九年级)如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一

个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等.

9a-6b2c•••

(1)可求得。=,第2019个格子中的数为；

(2)若前加个格子中所填整数之和2015,则加的值为多少？若p=2034，”的值为多

少？

(3)若a<x<