材料微积分2013学员不含练习题

58 1章函数极限连续算与复合函数的极限、两个重要极限（limsinx1lim(11)xe、无穷小量的概念与性质（与有x0 ．问题3：求函数值或求函数表达式的问题．问题3：利用重要极限求极限的问题；问题1（2007）limf(x4，则必定(C)C．x1某邻域(x1)f(x

f(xx1D．x1某邻域(x1)f(x2x2 2（2010．16） sin xx B． C． D．答

2x2

1sin2lim

1

sinx4xx xx2 xxa例3．设lim xxb

2，则a,b满足 A.ab B.2a C.eaeb D.eaeb答

xa

abxbabaxbx x lim1

2xxb

即eaeb21 ,0x例4．已知函数f(x)1 x2

若极限limf(x)存在，则a等于 2答

2

lnxa,x1

x12

32，limf(x)lim1 lim1xlim1， 2 x11x x1 x1x1 x1 limf(x)limln[1(x1)]a1a， x1 x 所以11aa3 例5．当x0时，(1cosx)ln(1x2)是比xsin(xn)高阶的无穷小，而xsin(xn)是比exsinx1高阶的无穷小，则正整数n为（ B． C． D．答x0(1cosxln(1x21x2x21x4xsin(xnxn1exsinx1 根据题意可知2n14，即1n3，故n2例1．x0是f(x)arctan1的 xA.连续点 limf(xlimarctan1limarctantπ， limf(x)limarctan1limarctantπ x0f(xarctan1的跳跃型间断点．故正确选项为x例2．已知函数f(x) a

在(

f(x)0，那么a,b满足 A.a≥0,b B.a0,b C.a0,b D.a≤0,b答由于f(x) a

在(上连续，所以其分母aebx在(为0ebx，所以a0limf(x0limaebxlimbx，故b0 综上可知正确选项为注：本题利用特殊值带入法和排除法的思想处理会更简单．例如，取b1

f(x)lim

a

f(x)0矛盾，故排除了选项a1f(x

xebx

x0处没(x)矛

2（1）f(xlimf(x0xf(x0) fx)fx)

fx0x)fx0 f(x0x)fx0) （2）yf(x)(x0f(x0))0yf(x)f(x)(xx)和yf(x) (xx)0

f(x0 微分概念：f(x0xf(x0a(x0xo(xdf(x0a(x0x可微与可导的关系：函数f(x)x0处可微的充分必要条件是f(x)x0df(x0)f(x0)dx问题2：利用导数定义求极限的问题；问题5：复合函数和隐函数求二阶导数的问题； 1．f(x)

cosx

x在x0处连续但不可导，则α的取值范围是 xA.α B.0α C.α 答f(xlimxαcos10limxα0，所以α0f(xx0 cos函数f(x)在x0处不可导，说明limf(x)f(0)limxα cos

2（2005） A． C． 1limf(f(0) 1limf(

f()f0，f(0)lim 2． n nf(x2xf(x)f(x)2f(a13（2006） n A． B． C．lnf答

f

fff(a1 lnf(a1)lnf因为limn n lnf f n

f f函数与对数函数互为反函数，取f(x)ex，则1f(a

limn nlimnlnenlimnlnenlimn11 f 4（2012）f(x是非负连续函数，且lim

f2(x)2 ，则f(2) x2 2 2因为f(x)是非负连续函数，所以limf(x)f(2)0．又，所以f(2) f2(x) f(x)f f(x)f

lim

x2

x

x

x所以limf(xf(2)4f(2)4 xf2(x) f2(x)特殊值代入法：因为

x2x2

x2f2(x)22(x24)2所以2f(x)f(x)42x．又f(2) ，所以f(2)45（201018）g(xyln(12x) xf(x) x

在原点可导，则a 1

2所以alimg(x)limg(xg(0)g(02 g(xln(12xalimf(xlimln(12x)2 6（2003）limf(x0)df(x0) A.等于f(x0 B.等于 C．等于 答系．因为f(x)在x0处可导，所以可微，即f(x0)f(x0x)f(x0)df(x0)o(x)limf(x0df(x0)limo(x)0．故正确选项为 x0df(xf(x)xxlimf(x0df(x0)0 例7．f(x)yf(x)在其上任意一点(x,y)和点(xy) f(xf(xf(xf(xyf(x在其上任意一点(x,y)和点(x,y)处的切线斜率绝对值相等、符号相反．故正确选项为B．f(xx2f(xf(x2xf(x2xf(x2x 34

4y

66 x则．根据复合函数的链导法则，u(1)f(g(1))g(1)．由图可以看出g(1)3,g(1)603，f(g(1))f(3)3410 6 所以u(1)f(g(1))g(1)3．故正确选项为42（201017）

2

f(xx2，所以h(xf(1g(x1g(x)]2h(x)2[1g(x)]g(xg(1h(12，所g(1123．yfx1f(xx

，则dx

22

3

3

3因为f(x) x1x1 (xf f (x x1x1x 例4．曲线sinxyln(yx)x在点(0,1)处的切线方程为 A．yx B．yx C．yx D．yx题．在方程sinxyln(yx)xxyx的函数，得(yxy)cosxyy1yx0,y1代入，得y(0)1，故所求的切线是过点(0,1)、斜率为1的直线，方程为y1x，yx1．故正确选项为A．sin sin x 5.（2012）yy(x由参数方程

u

y A．3

B．23 3当tπ附近时，因为dycost2tdxsint2t，所以 dycostcott 36．设y

d2

A.eu( B.eu(x)u C.eu(x)[u(x)u D.eu(x)[(u(x))2u dyu(x) d2yu( 2u(x) u(x u

3罗尔定理：f(x)在[ab上连续，在(ab)内可导，且f(a)f(b，则存在ξab)拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f(ξ)(ba)

f(x[ab](ab)ξab)),limf(x)limf(x)xx0 xx0单调性与⼀阶导数的关系f(x在[abf(x在[abf(x在[ab上小于零，则f(x)在[ab]上单减．凹凸性与二阶导数的关系f(x在[abf(x在[abf(x在[ab上小于零，则f(x)在[ab]上上凸．渐近线的求法：

f(xA或

f(xAyAyf(x)xx

f(xx

f(xxx0yf(x 问题2：判断函数单调性和求函数极值的问题；问题3：证明函数不等式的问题；问题6：判断函数的凹凸性和求拐点的问题；1（2005）

f(x1，则对任意常数alim[f(xa)f(x)] D．aff(xa)f(x)f(ξ)a

fx)1limf(xaf(x

f(ξ)aa12 12

f(x)1又f(x)x lim[f(xa)f(x)]limxaxx x lima ax xax例1（2003）设f(x)xt2(t1)dt，则f(x)的极值点的个数是 0A． C． f(xx2x1)f(xx2x1)0x0x1f(xx2x1)例2（2010．19）若a,b,c,d成等比数列，则函数y1ax3bx2cxd（ 3 分析：取abcd1y1ax3bx2cxd1x3x2x1 yx22x1x1)20y1x3x2x13例3．设函数yf(x)满足方程y2y4y0，且f(x0)0,f(x0)0，则f C．在点x0的某邻域内单调增加 选项为A．例4．下图是函数f(x)的导函数yf(x)的图像，那么函数f(x)有 和极小值点，函数的三个拐点一个是x3，另外两个分别介于12之间和2,3之间．综上可知正确选项为5（2006 3h3A．12

V1πr2h1πh(52h2) 由dV1π(523h2)0得h225（易知这时体积最大从而r252h250，故r a3,b

a3,b

a3,b

a3,b ab6a2b解得a3b9 由于y9(1xx,1)y0x1,y0，故点(1,3)yax3bx2综上可知正确选项为例7．（2006）如右图曲线Pf(t)表示某工厂十年 前两年越来越快,后五年越来越慢 C．前两年越来越快,以后越来越慢 D．前两年越来越慢,以后越来越快Pf(tPf(t的图像下凸，例1．设当x0时，ex(ax2bx1)是比x2高阶的无穷小量,则 a1,b1答

a1,b C．a1,b2

D．a1,blimexax2bx1)0lim[ex2axb1b

，否则根据洛必达法则有

limex(ax2bx1)limex(2ax

，与条件矛盾．类似地可知

2a12a0 则

2limex(ax2bx1)limex(2axb)2

limex2a

1

0

综上可知正确选项为1（2004）A．在(3,0)ln3xln(3x)C．在(0,)ln3xln(3x)

令f(x)ln(3x)xln3，则f(x) 3

14x0x3)f(0)0，所以在(3,3f(xf(0)0，即ln3xln(31（2003） f(xx2xsinxcosxf(x2xsinxxcosxsinxx(2cosxx(

f(x)

f(xf(x0分别在(0)和(0,例2（2011．17）若方程xelnxk0在(0,1]上有解，则k的最 A. B.e

(xxelnxkf(x1e0,x(0,1]x

f(xf(1)1kf(11k0k1

图中给出了k1与k2yf(x1（2005） 在,x1 分析：因为limf(xlimf(x,limf(x1,limf(x1yf(x)在 4原函数的定义：F(xf(xxIF(xf(xIf(xI上的所有原函数可以表示为F(x)C，其中C是任一常数．不定积分的定义与性质：f(x)dxF(xC[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx，kf(x)dxkf(x)dxu(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x)型．[常见问题]问题2：求简单函数原函数的问题；例1．已知f(x)的一个原函数为ex2，则xf(x)dx A．(2x21)ex2 B．(2x1)ex2C．(x21)ex2 D．(2x1)xex2答因为ex2f(xf(xex2

2xex2xf(x)dxxf(x)f(x)dx2x2ex2ex2C注：此类问题总可以利用选项验证的方法得到正确答案．因为ex2f(xf(x2xex2f(x)2(12x2ex2 1)exC4xex(2x22x(12x2)exxf(x)， 2．设f(x)dxarctanxC

1dx f 答

2x C．1x2 D．x(11x2)3因 f(x)dxarctanxC，所以f(x) 11dx(1x2)dxx1x3Cf 2例3．ex2lnxdx )C（C为常数2答

12

(12x2 2因为ex2lnxdxxex2dx1ex2dx21ex2C 2注：本题利用选项验证法也很简单．由于ex2

，所以排除掉选项A1ex2

ex2ln

，所以选项B例4．ln(lnx)dx

答x因为ln(lnxdxln(lnx)d(lnxlnxln(lnxlnxCx5a bfa

f(x)dxlλimf(ξk)(xkxk1f

bbf(x0af(x)dxxaxb,y0yf(x围成的曲b af(x)dxbf(x)dx，af(x)dxaf a[k1f(xk2g(x)]dxk1af(x)dxk2ag(x af(x)dxaf(x)dxcf(x f(x)isaf(x)dx f(x)is 函数周期性：若函数f(x)以l为周期，则 f(x)dx0f(x)dx f(xg(xx[ab，则af(x)dxag(x)dx bf(x在[ab上连续，则存在ξ[ab]b

af(x)dxf(ξ)(ba)xxF(xaf(t)dtxx变限定积分函数的导数：当函数axf(t)dtf(x)a

f(x)在[ab]上连续时，F(xaf(t)dtf(x)在[abF(xf(x)在[abbaf(x)dxF(b)F(a)b问题2：利用牛顿—莱布尼兹公式求积分值的问题；问题4：利用比较定理判断两个积分大小的问题；11 0f

dx 4

4

11因为xf(x)(1x2) ，所以11dx11x2dx11注：定积分1

0f 1 12．计算定积分2(x2)4x2dx 解：2(x2)4x2dx2x4x2dx224x2dx04π 3（2011．21）f(x1x2)＞f(x1)f(x2)，g(x)是f(x)的反函数，P2g(x)dx，则 A． B． C． D．2概念及定积分的几何意义，P1g(x)dx表示的是图中曲边ABC的面积，其值小于1．2 x1，则g(x)2(x1)2，所2P2g(x)dx22(x1)2dx2 3a4．设a0I

dx与I 01 A.I1 B.I1 C.I1 D.与a令f(x) 1

ln(1x)， f(x)

0(x ， f(0) ，所f(x) xln(1xf(00x0)II21 1．f(x在区间[0,1]上连续，且1f(x)dxa，则

1f(x)dx A．1 2因为1

f(x)dx21f(x

u

1 2．(2004f(x为连续函数，且0πf(xsinxsinxdx1π0f(xsinx)xcosxdx π 0f(xsinx)sinxdx0f(xsinx)xcos 0f(xsinx)d(xsinx)0f(u)du0 且0f(xsinxsinxdx1，所以0f(xsinx)xcosxdx1 π例3．(2003)设I0sin(cosx)dx，则 πA．I B．I C．0I D．I sint 11t令tcosx，则dx dt，从而I0sin(cosx)dx111t 11t1

注：本题也可作如下变换，令txπ2π π Isin(cosx)dxsin(cos(t))dtsin(sint)dtsin(sint)dt0π 2 π π0 π2由于sin(sint2

sin(sint)dt04（2006）2线性函数，则0f(g(x))dx（BA．2

C． 2分析：根据图形可知g(x)13x0

f(x)dx13且函 f 在每个长度为 的区间上的积分值相等，所2f(g(x))dx7f(u)1du132f(x)dx1311 1 t5．A01dt，求0(1t)2dtt1

et

1 0(1t)2dt1t001tdt12A f x，则π

f(x)cosxdx A．f(π)fC．f(π)f

B．f(π)f2D．f(π)f2

πf(x)cosxdxf(x)sinxπ

f(x)sin

πf(x)cosxπ

f(x)cos f f(π

f(x)cosxdx 因为f f x，且π

ππ

f(x) π

f(x)cosxdx即πf(xcosxdxf(πf(π) 特殊值代入法：f(xx，则πf(xcosxdxπxcosxdx0 6（201．20）

xetdt2

d2d2

A． B． C． D．d2 d2d2

2xe

2e2xe2(1x)e

07（200819x0f(xg(xf(xg(t)dtx21成立，则函数f(x) A.2x B.2x C.x2 D.x f(x)g(t)dtx21，1

f(x)g(f(x))2xgf