2021年人教A版(2019)选择性必修第一册数学第一章-空间向量与立体几何单元测试卷高中答案解析

2021年人教A版(2019)选择性必修第一册数学第一章空间向

量与立体几何单元测试卷(1)

一、选择题

1.已知向量a=(1,-2,2),b=(1,1,6),则|a-b|=()

A.25B.17C.V17D.5

2.已知向量a=(2,6,2),b=(-1,3,1),满足a//b,则实数4的值是()

A.2B.6C.-2D.-6

3.在空间直角坐标系。-xyz中,点4(-1,0,3)关于坐标原点的对称点为B,则

\AB\=()

A.2B.V10C.2V10D.10

4.如图所示，在空间四边形0ABe中,OA=a,OB=b,(^=。，点7在48上，且

AN=2NB,M为OC中点，则MN=()

_2T11-*

B.----Qd—bd—C

322

1—1T1->1-*2T1T

C.-a+-b--cD-a4--fa——c

332

5.设P(l,-2,5)是空间直角坐标系中的一点，则点P关于坐标平面yOz的对称点的坐标

为()

A.(l,2,-5)B.(—1,—2,5)C.(—1,—2,—5)D.(l,—2,—5)

6.已知平面a内有一点4(2,-1,2),平面a的一个法向量为£=G，：，9，则下列四个点

\263/

中在平面a内的是()

B.P2(1,3,|)C.P3(1,-3,|)D.P4(-1,3,-|)

7.如图，在平行六面体4BC0中，M在4C上，且N在40上,

且&N=2ND,设n=2,AD=b,AAr=c,则加=()

T1T1->

A.——a+-b+-cB.Q4—b—c

33333

1T1T2T1TT]1

C.-a--b--cD.——a+b+-c

33333

8.空间直角坐标系中2(1,2,3),5),C(3,0,4),。(4,1,3),则直线与CD

的位置关系是()

A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.无法确定

9.已知4(0,0,2),8(1,0,2).C(0,2,0),则点4到直线BC的距离为()

272B.1C.V2D.2V2

10.如图，在正方体ABCD-4B1GD1中，点0为线段BD的中点.设点P在线段81cl上,

直线。P与平面ABD所成的角为a,则sina的取值范围是()

Ci

AR

试卷第2页，总25页

A.限1]

B.停，1]停，甯喏，当

11.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.

在如图所示的阳马P-ABC。中，侧棱PC_L底面ZBCD,且PD=CD=4D,点E是PC

的中点，贝UP。与BE所成角的余弦值是（）

12.如图，直三棱柱ABC-AiBiG中，侧棱长为2,AC=BC=1,AACB=90°,。是

4当的中点，尸是棱BB]上的动点，DF交于点E,要使_1_平面加。凡则线段

B/的长为（）

二、填空题

13.已知直线，的一个法向量是£=（百,-1）,则I的倾斜角的大小是

14.已知平面a的法向量为（2,-4,一2）,平面£的法向量为（k,2,1）,若a〃/?,则实数

k的值为.

15.给出下列命题：

①直线I的方向向量为a=（1,-1,2）,直线ni的方向向量b=（2,1,-},则/与m垂直;

②直线2的方向向量2=(0,1,-1),平面a的法向量％=(1,—1,一1),则11a；

③平面a,0的法向量分别为向=(0,1,3),n2=(1,0,2),则a〃伙

④平面a经过三点4(1,0,-1),B(0,1,0)，C(-l,2,0),向量％=(1,a,t)是平面a的

法向量，则14+t=1.

其中真命题的是.(把你认为正确命题的序号都填上)

16.如图所示的一块长方体木料中，己知4B=BC=2,AAi=l,设F为线段4D上一

点，则该长方体中经过点F,C的截面面积的最小值为.

三、解答题

17.已知向量1点4(-3,—1,4),8(—2,-2,2),点E在直线上，使得

后1则点E的坐标为多少.

18.如图，在空间直角坐标系中，正方体4BCD-&B1GD1棱长为2,E为正方体的棱

A4的中点，尸为棱力B上的一点，若NGEF=90。，则点F的坐标是多少.

19.

如图，正四棱柱4BCD-AiBiGA中，设AD=1,DrD=A(A>0),若棱GC上存在唯

一的一点P满足4止_LPB,求实数;I的值.

试卷第4页，总25页

20.

在如图所示的几何体中，AFCB是等边三角形，四边形4BCC是等腰梯形,AB//CD,

CB=CD=1AB,平面FCB1平面/BCD.

(1)求证：AC1平面FCB；

(2)求二面角F-BD-C的余弦值.

21.在直四棱柱4BCD-&B1GD1中，AD//BC,^BAD=90°,AB=A/3,BC=1,

AD=44i=3.

(1)证明：AClBi。；

(2)求直线BiG与平面AC。1所成角的正弦值.

22.如图1,在矩形4BCD中，AB=2,BC=4,E为AD的中点，。为BE中点.将△ABE

沿BE折起到ABE,使得平面4BE_L平面BCOE(如图2).

(1)求证：A'O1CD；

(2)求直线4c与平面&DE所成角的正弦值;

(3)在线段4c上是否存在点P,使得0P〃平面4DE?若存在，求出花的值；若不存在,

请说明理由.

试卷第6页，总25页

参考答案与试题解析

2021年人教A版(2019)选择性必修第一册数学第一章空间向

量与立体几何单元测试卷(1)

一、选择题

1.

【答案】

D

【考点】

空间向量运算的坐标表示

向量的模

向量的减法及其几何意义

【解析】

先求出；一;=(0,-3,-4),再利用模长公式求解即可.

【解答】

解：a=(1,—2,2),b=(1,1,6).

->一

CL—b—(0,—3,-4),

\a-b\=VO2+(-3)2+(-4)2=5.

故选D.

2.

【答案】

C

【考点】

共线向量与共面向量

【解析】

利用向量平行的性质直接求解.

【解答】

解：，向量1=回6,2),b=(-1,3,1),满足力“，

g=g="解得a=—2,

,1.实数;I的值是-2.

故选C.

3.

【答案】

C

【考点】

空间中的点的坐标

空间两点间的距离公式

【解析】

求出B点的坐标，再根据空间中两点间的距离公式即可得解.

【解答】

解：设B(a,瓦c),

由中点坐标公式可得：?=0,等=0,等=0,

解得a=l,b=0,c~—3,

所以-3),

所以点|4B|=J(-l-1引+(0—0)2+(3+3-=2V10.

故选C.

4.

【答案】

D

【考点】

空间向量的加减法

【解析】

利用向量的加法，MN=MO+OB+BN,利用中点公式代入.

【解答】

解：MN=MO+08+BN,

T->1T—

MO=--OC,BN=-1BA=-(pA-OB),

233、7

T1T2T1T

所以MN=-乙OC+-OB+-OA

233

；

=—Lc+.-2b+J--a.

233

故选D.

5.

【答案】

B

【考点】

空间直角坐标系

【解析】

根据空间点的对称性分别进行判断即可.

【解答】

解：因为点P(a,b,c)与点P'关于坐标平面yOz对称，则y,z不变，无相反,

所以对称点P'(-a,匕，c),

所以P(l,-2,5)关于坐标平面yOz的对称点的坐标为(-1,一2,5).

故选B.

6.

【答案】

B

【考点】

平面的法向量

向量的减法及其几何意义

【解析】

试卷第8页，总25页

若点P在平面a内，则024万=0,经过验证即可判断出结论.

【解答】

解：由题意得点=(1,0,1),P5l-n-I*0,排除选项4.

同理，可排除选项C,D.

因为P；A=(1,-4,1),

所以隔7=0.

故选B.

7.

【答案】

A

【考点】

空间向量的基本定理及其意义

向量的加法及其几何意义

【解析】

充分利用向量加法、减法的平行四边形、三角形法则以及数乘运算，将向表示出来，

易知而=MA+AAt+A；N,然后将三个向量分别用基底表示出来代入即可.

【解答】

解：因为M在4c上，且AM=：MC,N在上，且&N=2NO,

所以=A1N=“1D.

又由已知平行六面体力BCD-久当的久，

SLAB=a,AD-b,AA1=c得：

TTTTTT

AC=ab,A/=b—c,

一.TTTTTT1T—T2TT

所以MN=MA+AN=-AM+AAX+ArN=-i(a+b)+c+|(/>-c).

化简得MN=—：a+：b+[c.

故选4.

8.

【答案】

A

【考点】

共线向量与共面向量

【解析】

由已知得几=(一2,-2,2),CD=(1,1,-1),AB=-2CD,从而得到直线4B与CD平

行.

【解答】

解：在空间直角坐标系中，

24(1,2,3),8(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),

AB=(-2,-2,2),CD=(1,1,-1),

—>—>

AB=-2CD,

/.直线48与CD平行.

故选4.

9.

【答案】

A

【考点】

空间向量的夹角与距离求解公式

【解析】

求出|6|=(1,0,0),|盛|=(-1,2,-2),根据空间向量的夹角与距离公式即可求解点

4到直线BC的距离.

【解答】

解：；4(0,0,2)，B(l,0,2),C(0,2,0),

AB=(1,0,0),BC=(-1,2,-2),

点4到直线BC的距离为：

d=网』—(cos<AB,BC>)2

3

故选4

10.

【答案】

C

【考点】

用空间向量求直线与平面的夹角

【解析】

设正方体的棱长为2,以。为原点，D4为%轴，DC为y轴，0名为z轴，建立空间直角坐

标系，利用向量法能求出sina的取值范围.

【解答】

解：设正方体的棱长为2,

以。为原点，D4为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

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则4(2,0,2),B(2,2,0),D(0,0,0),0(1,1,0),P(a,2,2),0<a<2,

DAt=(2,0,2),DB=(2,2,0),OP=(a-1,1,2),

设平面4BD的法向量］=(x,y,z),

/->T

n-BD=2x+2y=0/

取X=1,得蔡=(1,-1,-1),

则TT

.n-DAr=2%4-2z=0

TT

-tOP-n

sina=|cos<0P,n>|=|--------

|0P|•向

a-l-l-2._V3|a-4|

22，

7(a-l)+5-V3-3x/(a-l)+S

0<a<2,

a=2时，sina取最小值

^312-41_V2

(sina)minx

3V(2-l)2+5-3

a=0时,sina取最大值

V3x|0-4|=272

(sina)maxTV(0-l)2+5—-

sina的取值范围是惇当.

故选C.

11.

【答案】

D

【考点】

用空间向量求直线间的夹角、距离

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：建立空间直角坐标系如图所示,

设PO=CD=AD=2,

则E(0,1,1),B(2,2,0),P(0,0,2),£)(0,0,0),

•••PD=(0,0,-2),BE=(-2,-1,1),

设PD与BE的夹角为仇

T—»

则cose=上"a

IPDMBEI

2

一2V6

V6

=—

6,

故选o.

12.

【答案】

C

【考点】

点、线、面间的距离计算

向量语言表述线面的垂直、平行关系

【解析】

以G为原点，C14为x轴，GB1为y轴，GC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法

能求出线段名尸的长.

【解答】

解：以G为原点，的&为x轴，GBi为y轴，GC为z轴，建立空间直角坐标系，

由题意4式1,0,0),当(0,1,0),0),G(0,0,0),4(1,0,2),

设F(0,1,t),0<t<2,

试卷第12页，总25页

GD=GO,0),ABt=(-1,1,-2),CXF=(0,1,t),

因为AB】_L平面C】DF,

•C》=0,

,C：F=0,

所以1—2t=0,解得t=}

所以B；F=(0,0,1),

所以线段&F的长为也

故选C.

二、填空题

13.

【答案】

n

3

【考点】

直线的方向向量

直线的倾斜角

【解析】

设直线2的倾斜角为0,。e[0,7T).设直线的方向向量为£=(x,y),则[*蔡=0,可得

tan。=

X

【解答】

解：设直线z的倾斜角为dee[o,7T).

设直线的方向向量为u=(%,y),

则〃-n—y/3x—y=0,

tan0=-=V3,

X

解得。=J.

故答案为：泉

14.

【答案】

-1

【考点】

向量语言表述面面的垂直、平行关系

向量的数量积判断向量的共线与垂直

【解析】

设平面a的法向量为工平面口的法向量为/由于a〃夕，可得热//了，因此三实数;I使得

a=Ab.再利用向量共线定理的坐标运算即可得出.

【解答】

解：；平面a的法向量为(2,-4,-2),平面0的法向量为(k,2,1),且a〃一,

TT

「・a//b,

存在实数4使得3=2/

(2=kA,

\-4=2A,解得k=-l.

(-2=2,

故答案为：-1.

15.

【答案】

①④

【考点】

平面的法向量

共线向量与共面向量

数量积判断两个平面向量的垂直关系

用向量证明平行

【解析】

①根据直线hm的方向向量；与b垂直，得出11m；

②根据直线1的方向向量;与平面a的法向量/垂直，不能判断，1a；

③根据平面a、0的法向量房与信不共线，不能得出a〃鱼

④求出向量/与辰1的坐标表示，再利用平面a的法向量£列出方程组求出u+t的值.

【解答】

解：①，•：a=(1,-1,2),h=(2,1,-1),

a-b=lx2-lxl+2x(-i)=0,

TT

/.aLb,

：.直线l与m垂直，故①正确；

②，a=(0,1,-1),平面法向量为£=(1,—1,一1),

Q，ZI=0X1+1X(—1)+(—1)X(—1)=0,

aLn,111a或Iua,故②错误；

③，•・,6=(0,1,3),n2=(1,0,2),

试卷第14页，总25页

云与A不共线，

a〃0不成立，故③错误；

④，丁点4(1,0,-1),8(0,1,0),C(—l,2,0),

・•.AB=(-1,1,1),BC=(-1,1,0),

向量蔡=(1,u,C)是平面a的法向量,

n-AB=0,

n-BC=0,

Ruf-14-u+t=0,

s|l-l+a=0,

u+t=1,故④正确.

综上，以上真命题的序号是①④.

故答案为：①④.

16.

【答案】

6V5

可

【考点】

空间向量的数乘运算

空间直角坐标系

棱柱的结构特征

【解析】

根据题意，建立建立空间直角坐标系。-xyz,用坐标表示向量,

通过向量计算截面面积，求出截面面积的最小值.

【解答】

解：如图所示，以。4为%轴，4B为y轴，"1为z轴，

设截面与交BiG点K,F(-2A,0,0),

则是=(-2+2A,2,0),FAr=(2A,0,1)；

S=\FC\-\FAi\s\n6,

2222

S=|FC|•\FAr\-{FC-FA^

2

=[(-2+24)2+4](4储+i)_[(_2+22).2A]

=20A2-8/1+8

=20(4一y+等

当;1=(时，S2取最小值当，

AS的最小值为

故答案为：第.

三、解答题

17.

【答案】

解：AB=OB-OA=(1,-1,-2),

点E在直线4B上，

OE=OA+AAB—(—3,—1,4)+2(1,—1,—2)=(-3+4—1—尢4—22),

OE,b——2(-3+4)+(—1—入)+(4-2A)=0,

解得;I=

办=w，|),

E点坐标为(号,一£,|).

【考点】

空间向量运算的坐标表示

共线向量与共面向量

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：AB=OB-OA=(1,-1,-2),

点E在直线48上，

OE-OA+AAB=(-3,—1,4)+4(1,—1,-2)=(-3+九—1—尢4—2A),

OE,b——2(—3++(—1—入)+(4-24)=0,

解得a=

E点坐标为_甘,:

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18.

【答案】

解：由正方体的性质可得E(2,0,1),Q(0,2,2),

设F(2,y,0),

贝位i=(-2,2,1),EF=(0,y,-l).

因为4GEF=90",

所以Ea♦赢=2y-l=0,

解得y=p

则点F的坐标为Q；,0).

【考点】

空间向量的数量积运算

空间中的点的坐标

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：由正方体的性质可得E(2,0,l),Q(0,2,2),

设F(2,y,0),

则E4=(-2,2,1),EP=(0,y,-l).

因为NGEF=90°,

所以•际=2y-l=0,

解得y=p

则点F的坐标为(2[,0).

19.

【答案】

解：如图，以点。为原点0,DA,DC,DDi分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。一

则。(0,0,0),8(1,1,0),4(1,0,/1),

设P(0,1,x),其中xe[0,4],

因为41P1PB,

所以&-BP=0,即(一1,1,x-A)■(-1,0,x)=0,

化简得M—Ax+1=0,x6[0,A],

由点P(0,1,x)的唯一性知方程/一尢f+1=0只有唯一解，

所以，判别式[=矛一4=0,且;1>0,

解得2=2.

【考点】

空间向量的数量积运算

【解析】

以点。为原点。，DA,DC,DDi分别为％,y,z轴建立空间直角坐标系。一xyz,利用

向量法能求出实数;I的值.

【解答】

解：如图，以点D为原点。，DA,DC,DC1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。一

xyz,

则。(0,0,0),8(1,1,0),4式1,0,Q,

设P(0,1,X),其中xe[0,川，

因为&P1PB,

所以&.而=0,即(―1,1,x-A)-(-l,0,x)=0,

化简得久2—Ax+1=0,x£[0,2],

由点P(0,1,x)的唯一性知方程/-Ax+1=0只有唯一解，

所以，判别式/=/一4=0,且；1>0,

解得A=2.

20.

【答案】

证明：⑴在等腰梯形4BC0中，过点C作CEJ.4B交AB于点瓦设BC长为1,

则48=2,BE=\,CE=^-,AC=V3,

r^^BC2+AC2=AB2,

即乙4cB=90。，

所以AC1BC.

因为面FCB与面力BCD交线为BC,

又ACc:\S\ABCD,

所以AC_L面FCB.

(2)解：过点C作CML平面BCD,以点C为原点，

试卷第18页，总25页

C4CB,CM所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则C(O,O,O),B(O,1,O),

咯，/。"(。，鸿)，

所以访=(y,-1,O),BF=(。，-渭),

设平面BDF的法向量为蓝=(x,y,z),

则m-BD=0

mBF=0

V33

——X——ZV=0

即22

~2y+TZ=0

取z-1,则y-V3,x-3,

得蓝=(3,6,1),

取平面BCO的法向量为蔡=(0,0,1)，

—>—>

所以c°s(最％>=品=1V13

V9+3+113

由图形知该二面角的平面角为锐角,

所以二面角尸—BD-C的余弦值为

【考点】

用空间向量求平面间的夹角

直线与平面垂直的判定

【解析】

此题暂无解析

【解答】

证明：(1)在等腰梯形力BCD中，过点C作CEJ.4B交于点&设8C长为1,

则4B=2,BE=^,CE=^-,AC=V3,

可得Be?+心=AB2,

即乙4cB=90。，

所以AC1BC.

因为面FCB与面力BCD交线为BC,

又ACu面4BCD,

所以力C_L面FCB.

(2)解：过点C作CM1平面EC。，以点C为原点，

CA,CB,CM所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则C(0,0,0),8(0,1,0),D(y,-i,0),F(0,i,^),

所以BD=(y,-|,0),BF=(0,-鸿),

设平面BDF的法向量为蔡=(x,y,z),

则何BD=0

-BF=0

V33

——X——V=0

即22：

1,V3八

~2y+~Z=0

取z=1,则y=V3,x=3,

得m=(3,V3,1),

取平面BCD的法向量为1=(0,0,1)，

由1、1T_1_

所以cosVTn,n>=———=，f=—

|7n|-|n|V9+3+113

由图形知该二面角的平面角为锐角，

所以二面角F—BD—C的余弦值为去.

21.

【答案】

(1)证明：以旗，AD,4%方向分别为%轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.

试卷第20页，总25页

4(000),C(V3,l,0),当(遮,0,3),

D(0,3,0),G(遮,1,3),A(0,3,3),

AC=(V3,1,0),B：D=(-V3,3,-3),

—>T

AC-B]D=0,

/.AC1BQ

(2)解：设平面AC%的一个法向量为蔡=(x,y,z),AC=(V3,l,0),几\=(0,3,3),

则啖Zb

m=(1,—V3,V3)

设直线B]C1与平面4CD1所成角为仇

81cl=(0,1,0),

TT--

...而。=粤粤="

IBiCilIml7

直线&G与平面4CDi所成角的正弦值为苧.

【考点】

用空间向量求直线与平面的夹角

向量语言表述线线的垂直、平行关系

两条直线垂直的判定

【解析】

(I)以方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.求出相关

点的坐标；通过计算证明

AC•BjD=0,4c1BXD.

(口)求出平面4CD]的法向量，设直线当口与平面AC5所成角为。，求出B—i=(0,1,0),

利用向量的数量积求解直线BiG与平面AC%所成角的正弦值.

【解答】

⑴证明：以筋，AD,方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.

4(000),C(V3,l,0),当(遮,0,3),

D(0,3,0),G(遮,1,3),A(0,3,3),

AC=(V3,1,0)，B：D=(-V3,3,-3),

—>T

AC-B]D=0,

/.AC1BQ

(2)解：设平面AC%的一个法向量为蔡=(x,y,z),AC=(V3,l,0),几\=(0,3,3),

则啖Zb

m=(1,—V3,V3)

设直线B]C1与平面4CD1所成角为仇

81cl=(0,1,0),

TT--

...而。=粤粤="

IBiCilIml7

直线&G与平面4CDi所成角的正弦值为苧.

22.

【答案】

(1)证明：由已知4B=AE=2,

因为。为8E中点，

所以AO1BE.

因为平面ABE_L平面BCDE,

且平面4BEn平面BCDE=BE,

A'Ou平面ABE,

所以401平面BCDE.

又因为CDu平面BCCE,

所以4。1CD.

(2)解：设F为线段BC上靠近B点的四等分点，G为C。中点，

由已知易得OF1OG.

由(1)可知，4'0_L平面BCDE,

所以A。1OF,A'O1OG.

以0为原点，OF,0G,。小所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系(如图).

试卷第22页，总25页

因为4B=2,BC=4,

所以4(0,0,迎)，B(l,-1,0),C(l,3,0),£>(-1,3,0),E(-1,1,0).

设平面ADE的一个法向量为m=(Xi，yi，zi),

因为痴=(-1,3,-伪,DE=(0,-2,0),

所以总可=0,即尸+3%-岳】=0,

[m-DE=0,(-2%=。，

取Zi=-1,