2021年全国乙卷数学试卷(理科)

绝密★启用前

2021年全国乙卷数学试卷(理科)(删除非新高考知识点试题版)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷(选择题)

一、单选题(本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.设2(z+z)+3(z—z)=4+63则z=()

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.1-i

2.已知集合S={s|s=2n+l,n6Z},T=[t\t=4n4-1,n6Z},则SnT=()

A.0B.SC.TD.Z

3.设函数f(x)=W，则下列函数中为奇函数的是()

A.f(x—1)—1B.f(_x-1)+1C./(x+1)—1D./(x+1)+1

4.在正方体48。0-48道1/中，P为名。1的中点，则直线PB与AD]所成的角为()

A-R-Q-n-

c.2<->-346

5.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名

志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()

A.60种B.120种C.240种D.480种

6.把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的；倍，纵坐标不变，再把所得曲线向

右平移卷个单位长度，得到函数'=$也0一》的图像，则/(无)=()

sin6-mB.sin《+运)C.sjn(2x-D.sjn(2x+—)

7.魏晋时期刘徽撰写的的岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.

如图，点E,H,G在水平线力C上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，

称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的

表高x表距表高义表距

A.+表高B.-表高

表目距的差表目距的差

表高X表距表取表距

C.+表距D.-表距

表目距的差表目距的差

8.设aH0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x—匕)的极大值点，贝ij()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

W+'=l（a>b>0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|<2b,则

9.设B是椭圆C：

C的离心率的取值范围是（）

A.俘,1)B.[1,1)C.(0,争D.(0,i]

10.设a=2仇1.01,b=/nl.02,c=VL04-1,则()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）

11.已知双曲线C：3-y2=i（m>0）的一条渐近线为Wx+my=0,则c的焦距为

12.已知向量,=（1,3）,b=（3,4）>若0—高）13，则2=.

13.记△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,面积为旧，B=60°,a2+c2=3ac,

则b=•

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.(本小题12.0分)

某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台

旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为工和9,样本方差分别记为野和贤.

⑴求x,y>sl，s!；

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果亍,^>2/醇，

则认为新设备生产产品的该项指标的均值较I日设备有显著提高，否则不认为有显著提高

)(V76x8.718).

15.(本小题12.0分)

如图，四棱锥P—ABCO的底面是矩形，PD1底面4BCD,PD=DC=1,M为BC中点，且PB1

AM.

⑴求BC；

(2)求二面角4-PM-B的正弦值.

16.(本小题12.0分)

记S“为数列｛an｝的前n项和，%为数列属｝的前n项积，已知名+；=2.

3〃°n

(1)证明：数列｛%｝是等差数列；

(2)求｛&｝的通项公式.

17.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=［虱。-%),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.

(1)求a；

(2)设函数g(x)=%2.证明：g(x)<1.

18.(本小题12.0分)

已知抛物线C：/=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M：/+(y+4)2=1上点的距离的最

小值为4.

⑴求P；

(2)若点P在M上，PA,PB为C的两条切线，A,B是切点,求APAB面积的最大值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的基本运算，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键，是基础题.

利用待定系数法设出z=a+bi,a,b是实数，根据条件建立方程进行求解即可.

【解答】

解：设2=。+6，a,b是实数，

则z=a-bi<

则由2（2+5）+3（2—』）=4+63

得2x2a+3x2bi=4+6i,

得4a+6标=4+6i,

得喘二》得。=1,b=1,

即z=1+i,

故选：C.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查集合的包含关系，以及交集运算，属于基础题.

首先判断集合7中任意元素都是集合S的元素，从而得出集合7是集合S的子集，然后即可求它们的

交集.

【解答】

解：因为当n€Z时，集合7中任意元素，=4n+1=2,（2n）+1eS

所以r*s,于是snr=T.

故答案选：C.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定/(X)的对称中心，考查了逻辑推理

能力，属于中档题.

先根据函数f(x)的解析式，得到人乃的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的

对称中心为(0,0),从而得到答案.

【解答】

解：因为/(©===呼生=—i+w，

J'1+x1+xx+1

所以函数f(x)的对称中心为(一1,一1),

所以将函数/'(X)向右平移一个单位，向上平移一个单位，

得到函数y=/(x-l)+l,该函数的对称中心为(0,0),

故函数y=f(x-1)+1为奇函数.

故选:B.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力.

由2DJ/BC1，得NPBC］是直线PB与45所成的角(或所成角的补角)，由此利用余弦定理，求出直

线PB与45所成的角.

【解答】

解：•••也〃BG，

•1.4PBC1是直线PB与45所成的角(或所成角的补角)，

设正方体ABC。的棱长为2,

则PBi=PG=i722+22=V2,BCi=422+22=2&，BP=^22+(72)2=展,

,/PRr_”+8玲2」_6+8-2=国

••COS12xPBxBCr2xV6x2V22'

4PBei=7，

o

・•・直线PB与AD1所成的角为也

xo

故选：D.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查排列组合的应用，利用先分组后排列的方法是解决本题的关键，是基础题.

5人先选2人一组，然后4组全排列即可.

【解答】

解：5名志愿者选2个1组，有髭种方法，然后4组进行全排列，有用种，

共有它/=240种.

故选：C.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查函数y=Asin^x+缶的图像变换规律，属基础题.

由题意利用函数y=Asin{a)x+9)的图像变换规律，得出结论.

【解答】

解：•••把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的:倍，纵坐标不变，

再把所得曲线向右平移々个单位长度，得到函数y=si£x-》的图像，

••・把函数y=sin。-》的图像，向左平移号个单位长度，

得到丫=sin(x+卜》=sin(x+9)的图像;

再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变,

可得/（x）=sin（：x+"）的图像.

故选：B.

7.【答案】4

【解析】

【分析】

本题考查解三角形在实际问题中的应用，属于中档题.

连接OF延长交4B于优记MDM=a,乙BFM=0,解直角三角形可得MB=曰=繇,高

表高X表距

AB+表露

表目距的差

【解答】

解：连接DF,延长交43于M,则+

记/BDM=a,乙BFM=0,则当一旭=MF-MD=DF.

tan^tan。

ECFGED

向tanS=~GC9tana=而，

MBMB彳

所rr以Hl一a---------=MBMB嘘噌）

tan°tana

GC-EH

=MB-=DF.

ED

故MR-EDDF_EDEG_表高^表距

「又二GC-EH=GC-EH二表目距的建

郭炉羡监

所以高48=+表高

表目距的差

故选：A.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的极值、极值点，考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，

属于较难题.

根据a40,且x=a为函数/(无)=a(x-a)2(x-b)的极大值点，利用导数来判断a,b该满足的

条件，为此需要判断函数在x=a左右的单调性，本题需要分a=b,。>0并且。<从a>0,并

l.a>b,a<0,并且a<b,a<0,并且a>b共5种情况讨论，由此可以推出：a>0并且a<b

或a<0并且a>6,然后可判断选项的正确性.

【解答】

解：因为a*0,

(1)所以当。=6时，函数/'(x)=a(x-。尸在(-8,+8)单调，无极值，不合条件；

(II)当a于b时，因为/'(x)=3a(x—a)(x—色竽今，

所以，①若a>0并且QVb时，a<竽，

由/*'(%)>0,得：X<Q或%>^

由广(X)VO,得：QV%

所以这时/(%)在(-8,a)上单调递增，在(见2受)上单调递减，％=Q是函数/(%)的极大值点，符

合条件；

②若a>0,并且a>b时，Q>上/，

由/'(X)>0,得：x<土产或1>Q，

由((x)V0,得：<x<a,

所以这时/(%)在(等匕a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增，％=a是函数/(%)的极小值点，不

符合条件；

③若Q<0,并且Q<2?时，QV上了，

由/'(%)>0,得：a<x<

由f'Q)<0,得：x<a或%>土手，

这时f(x)在(-8,a)上单调递减，在(a,煤)上单调递增，x=a是函数/(x)的极小值点，不符合

条件；

④若a<0,并且a>b时，a>史罗，

由/''(x)>3得：<x<a>

由((x)<0,得：x<生会或x>a,

所以这时f(x)在(煤,a)上单调递增，在(a,+8)上单调递减，x=a是函数f(x)的极大值点，符

合条件；

因此，若x=a为函数/0)=。(％-<1)20-/>)的极大值点，则a,b必须满足条件：

a>0并且a<b或a<。并且a>b.

由此可见，A,B均错误；

又总有ab-a?=a(b-a)>0成立，所以C错误，。正确.

故选。.

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本题重点考查椭圆的性质，属于一般题.

设「(嗫仇外也仅。[。,2兀)，求得/《1+厂、利用正弦函数的性质求得牌2,进而可求

离心率的范围.

【解答】

解:设P®cos9，％in9)(9G1°，2兀)

由题意，得B(0,b),则|PB|=V^cos^+^^sin0-1)202b

•••a2cos2。+Hsin。T)244〉,

当cos。=0劭不等式成立；

当COS。牛G时,

...必v3-qin2e+2qine=一&"-3)&访，+1)_3一0访.=]4?

■、cos2^(1—sin°)(l+sin。)1-sin^1-sin^

又0<e<1

故椭圆离心率的取值范围是(0,净

故选：C.

10.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化思想，属于较难

题.

构造函数/(x)=2，n(l+x)-(，l+4%—l),0<x<1,h(x)=[n(l+2x)-(V1+4x-1).

利用导数和函数的单调性即可判断.

【解答】

解:a=2/nl.Ol=Znl.0201,b=Znl.02,

a>b,

令/(x)=2Zn(l+%)—(V1+4%—1),0<%<1,

令，1+4%=t，则1Vt<V5»

•**g(t)=2/n(---)—£+1=2"(严+3)—t+1-2》4，

,

/X.x4t14£—F—3(t—l)(t—3)n/r

g(t)在(1,通)上单调递增，

•••g(t)>g(l)=2ln4-1+1-2/n4=0,

•••/(x)>0,即22n(1+x)>VI+4x-1,0<x<1,

=0.01,Klj2Znl.Ol>A/L04-1.

即a>c,

同理令/i(x)=ln(l4-2x)-(VI+4x-1),0<x<1,

再令、1+4x=t,贝遍，

t2-i

・•・X=

4

:.(p(t)=ln(^—)—£+1=ln(t2+1)—t+1-ln2,

2

0'(t)=尧-1=<0<1<t<V5.

八，t2+lt2+l

0(t)在(1,通)上单调递减，

:.0(t)<<p(l)=ln2-1+1—ln2=0,

•'1/i(x)<0,即［n(l+2%)<Vl4-4x-1>

同样的，取x=0.01,WO/nl.02<Vl?04-1,

即c>b,

a>c>b.

故选:B.

11.【答案】4

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线方程的分析，属于基础题.

根据题意，由双曲线的性质可得患=而，解可得m的值，即可得双曲线的标准方程，据此计算c的

值，即可得答案.

【解答】

2

解：根据题意，双曲线C：3—y2=1(7n>0)的一条渐近线为遥％+my=0，

则有翁=而，解可得血=3,

2_____

则双曲线的方程为^•—y2=1，贝iJc=V3+1=2>

其焦距2c=4：

故答案为：4.

12.【答案】|

【解析】

【分析】

本题主要考查向量数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算求解能力，属

于基础题.

利用向量的坐标运算求得五一右=(1一3尢3-42)，再由0-石)13,可得他一苏)7=0,即

可求解；I的值.

【解答】

解：因为向量4=(1,3),另=(3,4)，

则旨-23=(1-3/1,3-42)，

又伍-Ah)1b，

所以(d-Abyb=3(1-3A)+4(3-4A)=15-25A=0，

解得4=|.

故答案为：|.

13.【答案】2V2

【解析】

【分析】

本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题.

由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得.

【解答】

解：•・•△4BC的内角4,8,C的对边分别为a,b,c,面积为遥，B=60°,a2+c2=3ac,

■--acsinB=\/3=>^acx^=\/3=>ac=4=>a2+c2=12>

又cosB=号三=/0b=2网(负值舍)

2ac28

故答案为：2或.

14.【答案】解：(1)由题中的数据可得，

%=言x(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10,

y=吉X(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,

1

=10X〔(98-I。)？+(10.3-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2+(9.9-10)2+(9.8-10)2

+(10-10)2+(10.1-10)2+(10.2-10)2+(9.7-10)2]=0.036；

1

22222

=_x[(10.1-10.3)+(10.4-10.3)+(10.1-10.3)+(10.0-10.3)+(10.1-10.3)

+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2]=0.04；

(2)y-x=10.3-10=0.3，

/s?+s?/0.036+0.04/ccc二7n1r

2J=2-----------=2oV0.0076«0.174，

Nioy10

所为—>2居，

故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

【解析】本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运

算能力.

⑴利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；

(2)比较歹-分与2^^1的大小，即可判断得到答案.

15.【答案】解：（1）连结BD,

因为PDJ■底面ABCD,且4Mu平面4BCD,

则4M1PD,

又2M1PB,PBCPD=P,PB,POu平面PBD,

所以4"1平面P8D,

又BDu平面PBD,则AM1BD,

所以4/WB+/ZMM=90°,

又/DAM+AMAB=90。，

贝IJ有乙4OB=/.MAB,

所以RtZkZMBsRtAABM,

则*=瞿，所以:BC2=1,解得80=鱼;

ADDlvlL

(2)因为D4,DC,DP两两垂直，故以点。为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示,

则4(71,0,0),B(夜,1,0),M怎,1,0)，P(0,0,l),

所以标=(一短0,1)，AM=(-y,l,0)>BM=(-y,0,0)>~BP=(-V2,-l,l)>

设平面AMP的法向量为元=(x,y,z),

•万=0,—V2x+z=0

即V2，

-AM=Q-yx+y=0

令x=V^，则y=l，z=2,故元=(&,1,2)，

设平面EMP的法向量为记=(p,q,r),

V2n

fn-BM=0即

则有)

m-BP=0V2p—q+r=0

令q=1,贝忏=1,p=0,故记=(0,1,1),

(元记＞朋=3页3/14

所以los1=K二14

设二面角力-PM-B的平面角为a,

22,T一、L,3g、2V70

^sina=V1-rn<;a=y/1-rn<,

所以二面角a-加.B的正弦值为罂.

【解析】本题考查了空间中线段长度求解以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一

般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.

(1)连结BD,利用线面垂直的性质定理证明4M1PD,从而可以证明AM1平面PBD,得到AM1BD,

△DAB-Rt△ABM,即可得到BC的长度;

(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后求出平面的法向量，由向

量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可.

16.【答案】解：(1)证明：当n=l时,b\=S1，

由2'+21=2,解得坊=|o,

当nN2时,=Sn,代入^~+2=2,

消去Sn,可得誓+==2,所以Zm—bn_i=:，

所以｛%｝是以I为首项，3为公差的等差数列.

(2)由题意，得%=Si=瓦=2，

由(1)，可得琥=|+(n-l)x|=号匕

由15=2,可得及=寝，

当nN2时，厮=5«-5"_1=富一号=一而岛，显然的不满足该式，

所以册=

n-2

【解析】(1)由题意当7i=1时，bi=S「代入已知等式可得打的值，当nN2时，将3%=Sn，代

入京+*=2,可得加-垢_】=J,进一步得到数列｛%｝是等差数列；

(2)由%=S1=瓦=|,可得%=号2,代入已知等式可得S”=煞当n>2时，%i=Sn-Sn-1=

一品p进一步得到数列的通项公式.

本题考查了等差数列的概念，性质和通项公式，考查了方程思想，是基础题.

17.【答案】(1)解：由题意，f(x)的定义域为(—8,a),

令m(%)=%/(%),则?n(%)=x/n(a—%),xE(—oo,a),

则m'(x)=ln(a-x)+x•言=|n(a-x)+言，

因为％=0是函数y=xf(x)的极值点，则有m'(0)=0,即mQ=0,所以Q=1,

当a=1时，m'(x)=]0(1-%)+=In。—％)++1，且m'(0)=0>

令6(%)=]£1-X)+三+1，xw(-8,1)

因为G'(X)=7-■*----~2=,X2?<0,

一人-1-x(l-x)2(1-X)2

则M(x)在(一8,1)上单调递减，

所以当％€(-8,0)时,mr(x)>0,

当％G(0,1)时，m'(x)<0,

所以。=1时，％=0是函数y=%/(%)的一个极大值点.

综上所述，a=l；

(2)证明：由(1)可知，xf(x)=xln(l—x),

要证函数。(》)=端<1,即需证明黑昌<1,

因为当％6(-8,0)时，xln(l-x)<0,

当％G(0,1)时，xln(l—x)<0,

所以需证明％+jn(l-%)>xln(l-%),即％4-(1-x)jn(l-x)>0,

令九(x)=x+(1-x)]n(l-%),

则叫)=(1-%).三+1-[£1-x)，

所以"(o)=o,当％e(—8,o)时，h'(x)<0,

当xe(0,1)时，/i((x)>0,

所以x=0为/i(x)的极小值点，

所以九(％)