2023-2024学年山东省济南市市中区九年级（上）开学数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.国家宝藏节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是()

A.B.C.D.

2.已知，则下列各式中正确的是()

A.B.C.D.

3.分式，则的值是()

A.B.C.D.

4.下列各式从左边到右边的变形，属于因式分解的是()

A.B.

C.D.

5.绕点逆时针旋转后得到，若，则的度数是()

A.

B.

C.

D.

6.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是()

A.B.C.且D.且

7.如图，在中，平分交于点，若的周长为，，则的长为()

A.

B.

C.

D.

8.杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱某商户月份销售吉祥物“宸宸”摆件为万个，月份销售万个设该摆件销售量的月平均增长率为，则可列方程()

A.B.

C.D.

9.如图，在中，，分别是，的中点，，是上一点，连接，，若，则的长度为()

A.B.C.D.

10.一次函数，将函数变形为当时，，所以无论取任何实数，一次函数过定点已知一次函数，正方形，，，，，若一次函数的图象与正方形的边有交点，则的取值范围是()

A.或B.或C.D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.分解因式：______．

12.将点向下平移个单位得到点，则点的坐标为______．

13.若边形的每一个内角都是，则边数为______．

14.若关于的方程有一个根为，则另一个根为______．

15.根据图象，可得关于的不等式的解集是______．

16.如图，已知：，，以为一边作正方形，使、两点落在直线的两侧当时，则的长为______．

三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

分解因式：；

解方程：．

18.本小题分

解不等式组：，并写出它的所有正整数解．

19.本小题分

如图，在中，点，在对角线上，连接，，使得求证：．

20.本小题分

先化简，再求值：，其中．

21.本小题分

解一元二次方程．

若中方程的两个根分别是等腰三角形的底边长和腰长，求该等腰三角形的周长．

22.本小题分

在长度均为的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知点、、的坐标分别为、、．

将沿着轴向左平移个单位后得到，请在图中画出平移后的；

将绕着顺时针旋转后得到，请在图中画出旋转后的；

将线段绕着某个定点旋转后得到其中点的对应点为点，点的对应点为点，则这个定点的坐标是______．

23.本小题分

为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖，在购买奖品时发现，种奖品的单价比种奖品的单价多元，用元购买种奖品的件数与用元购买种奖品的件数相同．

求，两种奖品的单价各是多少元；

学校为获奖的名学生购买奖品每人一件种奖品或一件种奖品，且购买的总费用不超过元，求最多可以购买多少件种奖品？

24.本小题分

在学完矩形的性质后，老师组织同学们利用矩形的折叠开展数学活动小亮发现矩形折叠后，会出现全等的图形；小颖发现矩形折叠后会得到直角三角形，请利用同学们的发现解决下列问题．

如图，矩形，，，将延对角线翻折得到，点的对应点为点，与交于点，则有______，______，且，易得≌______；

在的条件下，若要求线段的长度，令，则______用表示，在中利用勾股定理列出方程______不用化简；

如图，对矩形进行如下操作：分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点若，，求线段的长．

25.本小题分

如图，在中，，，为的中点，点为平面内一点，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接，，．

如图，当点在边上时，请直接写出线段，之间的数量关系______，位置关系______；

如图，当点在内部时，判断中结论是否依然成立，并说明理由；

，，若，，三点共线，请直接写出线段的值．

26.本小题分

综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于点，，直线：与轴，轴分别交于点，，连接，直线交于点，且点的横坐标为．

求直线的函数解析式；

求的面积；

若点在直线上，为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C.是中心对称图形，故本选项符合题意；

D.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

故选：．

把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．

2.【答案】

【解析】解：，，故A选项不符合题意；

，，故B选项不符合题意；

当，时，，故C选项不符合题意；

，，故D选项符合题意；

故选：．

根据不等式的性质判断各项即可．

本题主要考查了不等式的基本性质，理解不等式的基本性质是解题的关键．性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；性质：不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；性质：不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．

3.【答案】

【解析】解：分式，

且，

解得：．

故选：．

据分式的值为的条件，即可求解．

本题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．

4.【答案】

【解析】解：、，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A不合题意；

B、，是整式的乘法，故B不合题意；

C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C符合题意；

D、，是整式的乘法，故D不合题意；

故选：．

根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．

本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积．

5.【答案】

【解析】解：绕点逆时针旋转得到，

，

，

，

故选C．

根据旋转的性质可得，结合，即可求的度数．

本题考查旋转的性质，旋转角的含义，掌握旋转角的含义是解本题的关键．

6.【答案】

【解析】解：一元二次方程有实数根，

，且，

解得且，

故选：．

根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断．

此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：在中，，，，

，

平分交于点，

，

，

，

的周长为，

，

．

，

故选：．

在中，，，，则，由平分交于点，则，进一步得到，由的周长为，得到，则，即可得到答案．

此题考查了平行四边形的性质、等角对等边等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

8.【答案】

【解析】解：根据题意得：．

故选：．

利用月份的销售量月份的销售量该摆件销售量的月平均增长率，即可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

9.【答案】

【解析】解：如图，，，

，；

，分别是，的中点，

为的中位线，

，

故选：．

如图，首先证明，继而得到；证明为的中位线，即可解决问题．

该题主要考查了三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点是解题的基础和关键．

10.【答案】

【解析】解：一次函数，

直线过定点，如图，

当直线通过点时，则，解得；

当直线通过点时，则，解得．

则的范围为或．

故选：．

由于一次函数的图象过定点，若与正方形的边有公共点，观察图象可知，公共点最左端是点，最右端是点，于是把、的坐标代入分别求得值，然后根据一次函数的性质即可求得的取值范围，

本题考查了一次函数图象与系数的关系以及正方形的性质，在直线的旋转过程中，按题意找出直线经过的关键点是解题的关键．

11.【答案】

【解析】解：原式．

故答案为：．

利用提公因式法因式分解．

本题考查因式分解提公因式法，解题的关键是掌握提公因式的方法．

12.【答案】

【解析】解：将点向右平移个单位得到点，则点的坐标为，

即，

故答案为：．

根据纵坐标，下减上加的原则解答即可．

此题主要考查了图形的平移与点的坐标的关系，关键是掌握平移规律横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．

13.【答案】

【解析】解：边形的每一个内角都是，

它的每一个外角都是，

，这个多边形为边数为，

故答案为：．

先求出边形的每一个外角的度数是，然后用除以，进行计算即可得解．

本题考查了多边形的内角与外角的关系，用多边形的外角和除以每一个外角的度数是求正多边形边数常用的方法．

14.【答案】

【解析】解：设方程的另一根为，

根据题意，得：，

解得：，

故答案为：．

设方程的另一根为，根据一元二次方程根与系数的关系即可求出另一根．

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．

15.【答案】

【解析】解：根据图象可知：两函数图象的交点为，

所以关于的一元一次不等式的解集为，

故答案为：．

先根据函数图象得出交点坐标，根据交点的坐标和图象得出即可答案．

本题考查了一次函数与一元一次不等式，能根据图象得出正确信息是解此题的关键．

16.【答案】

【解析】解：，，

把绕点顺时针旋转得到，与重合，旋转到的位置，如图，

，，，

为等腰直角三角形，

，，

，

在中，，，

由勾股定理得，

，

故答案为：．

由于，，则把绕点顺时针旋转得到，与重合，旋转到的位置，根据旋转的性质得到，，，则为等腰直角三角形，得到，，即有，然后在中，根据勾股定理可计算出的长，即可得到的长．

本题考查了正方形的性质和旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等，对应点的连线段所夹的角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；也考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理．

17.【答案】解：原式

；

原方程两边同乘，去分母得：，

去括号得：，

移项，合并同类项得：，

系数化为得：，

检验：将代入得：，

故原分式方程的解为：．

【解析】提公因式后利用完全平方公式因式分解即可；

利用解分式方程的步骤解方程即可．

本题考查因式分解及解分式方程，熟练掌握因式分解及解方程的方法是解题的关键．

18.【答案】解：，

由得，，

由得，，

不等式组的解集为．

所有正整数解有：、．

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，

，，

，

在与中，

，

≌，

．

【解析】证明≌，得出．

本题主要考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质，难度一般，关键是能够运用其性质解决一些简单的证明问题．

20.【答案】解：原式

，

当时，原式．

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

21.【答案】解：，

，

或，

，；

当等腰三角形的三边是，，时，

，

不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；

当等腰三角形的三边是，，时，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是．

综上所述，等腰三角形的周长是．

【解析】利用因式分解法求解即可；

利用三角形三边的关系得到腰为，底为，然后计算三角形的周长．

本题主要考查解一元二次方程及等腰三角形的性质，求得方程的两根是解题的关键，注意分两种情况．

22.【答案】

【解析】解：如图，即为所求；

如图，即为所求；

将线段绕着某个定点旋转后得到其中点的对应点为点，点的对应点为点，则这个定点的坐标．

故答案为：．

利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；

利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；

连接，交于点，点即为所求．

本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．

23.【答案】解：设种奖品的单价为元，则种奖品的单价为元，

依题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

．

答：种奖品的单价为元，种奖品的单价为元．

设购买件种奖品，则购买件种奖品，

依题意得：，

解得：．

答：最多可以购买件种奖品．

【解析】设种奖品的单价为元，则种奖品的单价为元，利用数量总价单价，结合用元购买种奖品的件数与用元购买种奖品的件数相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

设购买件种奖品，则购买件种奖品，利用总价单价数量，结合购买的总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

24.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，

，，

将延对角线翻折得到，

，，

，

≌；

故答案为：，，；

≌，

，

设，则，

在中，，

．

故答案为：，；

连接，如图，

四边形是矩形，

，，

由作图知，

由翻折的不变性，知，，，

，，

又，

≌，

，

设，则，，

在中，即，

解得，

线段的长为．

由矩形的性质得出，，由折叠的性质得出，，证出≌，则可得出结论；

由勾股定理可得出答案；

连接，由翻折的不变性，知，，证明≌，推出，设，在中，利用勾股定理列式计算求解即可．

本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，作线段的垂直平分线，翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

25.【答案】

【解析】解：如图，

连接，

，，为的中点，

，，

，

，

，

≌，

；

，又翻折，

；

故答案为：，；

如图，

仍然成立，理由如下：

连接，

，，为的中点，

，，

，

，

，

，

≌，

；

如图，

由知：≌，

，

点、、、共圆，

，

，

点、、、共圆，

，

，