高三数学一轮复习讲义 极坐标与参数方程 教师

第第页课题：极坐标与参数方程知识点一、极坐标1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·x，λ＞0，,y′＝μ·y，μ＞0))的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系与极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．3．极坐标与直角坐标的互化设M是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\a\vs4\al(ρcosθ),y＝\a\vs4\al(ρsinθ)))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2,tanθ＝\f(y,x)x≠0))4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcos_θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)≤θ≤\f(π,2)))圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2)))，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos_θ＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＜θ＜\f(π,2)))过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2)))，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a(0＜θ＜π)【典型例题】【例1】若点极坐标为，则点的直角坐标是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意得，根据极坐标与直角坐标的互化公式，可得，所以点的坐标为，故选A.【例2】点M的直角坐标化成极坐标为（）A.B.C.D.【答案】D试题分析：由题意得，所以极坐标为【例3】在极坐标系中，已知圆的方程为，则圆心的极坐标为()A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：，所以，所以其圆心为，所以，解得，所以圆心的极坐标为.【例4】在极坐标系中，点到直线的距离为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B试题分析：化极坐标为普通直角坐标，点的坐标，，所以点为，因为，所以直线普通方程为，由点到直线的距离公式得，故选B．【举一反三】1．在极坐标系中，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，点M（2，）的直角坐标是（）A．（2，1）B．（，1）C．（1，）D．（1,2）【答案】B试题分析：,直角坐标为（，1）2．曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为（）A.B.C.D.【答案】B试题分析：由极坐标与直角坐标之间的关系是；，极坐标方程；两边同乘以得，，又；化为直角坐标方程为，3．在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为（）A．2B．C．D．【答案】D试题分析：由题意得，点的直角坐标为，圆的直角坐标方程为，所以点到圆心的距离为，故选D．知识点二、参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt))就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα,y＝y0＋tsinα))(t为参数)圆x2＋y2＝r2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rcosθ,y＝rsinθ))(θ为参数)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ,y＝bsinφ))(φ为参数)【典型例题】【例1】把参数方程（为参数）化成普通方程是（）A.B.C.D.【答案】D【例2】下列在曲线上的点是（）A．B．C．D．【答案】B试题分析：,因为,所以曲线的普通方程为．显然B正确．【例3】已知直线的参数方程为：（为参数），圆的极坐标方程为，则圆的圆心到直线的距离为．【答案】试题分析：由直线的参数方程为：（为参数），得此直线的一般式方程为：由圆的极坐标方程为，则圆的标准方程为：所以，圆的圆心到直线的距离【举一反三】1．参数方程（为参数）化为普通方程为______________．【答案】试题分析：消去参数可得,故答案为.2．曲线(a为参数)，若以点O(0，0)为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是____________．【答案】试题分析：解：由消去参数得，，它表示圆心坐标为，半径为的圆，所以其极坐标方程为．3．若直线为参数与曲线为参数，有且只有一个公共点，则．【答案】试题分析：将参数方程化为一般方程得：参数方程化为一般方程得：若直线与圆有一个公共点，则圆心到直线的距离为：【典型例题】1．极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（）A．直线、直线B．圆、直线C．直线、圆D．圆、圆【答案】B试题分析：由极坐标与直角坐标之间的关系是；，极坐标方程；两边同乘以得，，又；化为直角坐标方程为圆的方程，带入消参可得直线方程；2．已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ-）＝，点A的极坐标为，则点A到直线l的距离为（）A．B.C．D．【答案】D试题分析：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ-）＝，对应的直角坐标方程为：y-x=1，点A的极坐标为A，它的直角坐标为（2，-2）．点A到直线l的距离为：3．在极坐标系中，设圆C：与直线交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程为（）A．B．C．D．【答案】A试题分析：以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得圆的直角坐标方程，直线的直角坐标方程．由，解得或，所以，从而以为直径的圆的直角坐标方程为，即．将其化为极坐标方程为：，即故选A．4．在极坐标系中，直线与圆的交点的极坐标为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】可化为直角坐标方程，即可化为，把代入，得，即，所以，，所以直线与圆的交点坐标，化为极坐标为5．下列在曲线（为参数）上的点是（）A．B．C．D．【答案】C试题分析：，把曲线（为参数）化成普通方程为，经验证只有满足方程，故选C.6．曲线与坐标轴的交点是（）．A．B．C．D．【答案】B．试题分析：令，则，；令，则，即曲线与坐标轴的交点为．7．坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为_________．【答案】【解析】由题意得，根据，所以方程表示直角坐标方程分别为：，所以两圆圆心距为.8．已知圆的极坐标方程为，则圆的半径为___________．【答案】试题分析：由于，则，化为直角坐标方程为，即：，圆的半径为9．若直线的极坐标方程是，圆的极坐标方程是．则与交点的极坐标为___________．【答案】或试题分析：由题意得，直线的极坐标方程化为直角坐标方程为，圆的极坐标方程化为直角坐标方程为，联立方程组，解得或，化为极坐标可得或．10．已知点的极坐标是，则它的直角坐标是.【答案】试题分析：所以的直角坐标方程为.11．在极坐标系中，点到直线的距离为．【答案】1试题分析：将直线化为直角坐标方程为,即.将点化为直角坐标为即.则所求距离为.12．已知圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则.【答案】试题分析：由圆的极坐标方程为两边同时乘以得：化为直角坐标方程得：，即知圆心M的坐标为；又将点的极坐标为化为直角坐标得，即；所以；故答案为：.【课后练习】正确率：________1．圆的圆心是（）A．B．C．D．【答案】A试题分析：，圆心为，所以圆心极坐标为2．化极坐标方程为直角坐标方程为（）A．或B．C．或D．【答案】C试题分析：或3．在极坐标系中，点与点的距离为（）A.B.C.D.【答案】B试题分析：在极坐标系中，作出点与点，可得两点之间的距离为，故选B.4．已知点P的极坐标是（1，），则过点P且垂直极轴的直线方程是（）A.B.C.D.【答案】C试题分析：点P的直角坐标为，所以点P且垂直极轴的直线的直角坐标方程是，转化为极坐标方程为，故本题选D.5．曲线（为参数）的离心率是（）A．B．C．D．【答案】C试题分析：参数方程化普通方程，6．过点且与直线（为参数）互相垂直的直线方程为（）A．B.C.D．【答案】B试题分析：直线（为参数）化普通方程为，它的斜率为，因此过点且与直线（为参数）互相垂直的直线的普通方程为，与它等价的参数方程为B，故选择B.7．在直角坐标系中，曲线的方程是，的参数方程是（为参数），则与交点的直角坐标是．【答案】试题分析：由消去参数，得的普通方程为，代入方程整理得：，解得，所以，因此交点为.8．已知圆C的极坐标方程为，则圆心C的一个极坐标为．【答案】试题分析：由，得，即圆的普通方程为，则圆心坐标为，令，解得，即圆心的一个极坐标为．9．曲线（为参数），若以点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是．【答案】试题分析：曲线（为参数）的普通方程为，将代入化简得10．在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为.【答案】3试题分析：在直角坐标系中，直线，在直角坐标系中，，故到的距离为3.11．在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线经过曲线的焦点，则实数的值为___________.【答案】4试题分析：的普通方程为；曲线C的普通方程为，即为抛物线，其焦点为，代入得.12．已知直线（为参数），（为参数）,若，则实数