【福建专用】年中考数学复习方程组与不等式组分式方程

第二章方程（组）与不等式（组）2.2分式方程中考数学

(福建专用)A组

2014-2018年福建中考题组五年中考1.(2016宁德,13,4分)方程

=

的解是

.答案

x=1解析去分母得,1+x=2x,移项、合并同类项得,x=1,检验:把x=1代入2x(x+1),得2×2=4≠0,∴x=1是原方程的解.2.(2016三明,18,8分)解方程:

=1-

.解析方程两边同乘(x-2),得1-x=x-2-3,解得x=3.检验:当x=3时,x-2≠0,故原分式方程的解是x=3.3.(2015龙岩,19,8分)解方程:1+

=

.解析方程两边同时乘(x-2),得(x-2)+3x=6,4x-2=6,x=2.检验:当x=2时,x-2=0,∴x=2是原方程的增根,∴原分式方程无解.4.(2016莆田,22,8分)甲车从A地驶往B地,同时乙车从B地驶往A地,两车相向而行,匀速行驶,甲

车距B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示,乙车的速度是60km/h.

(1)求甲车的速度;(2)当甲乙两车相遇后,乙车速度变为a(km/h),并保持匀速行驶,甲车速度保持不变,结果乙车比

甲车晚38分钟到达终点,求a的值.解析(1)由图象可得,甲车的速度为

=80km/h,故甲车的速度是80km/h.(2)相遇时间为

=2h,由题意可得

+

=

,解得a=75,经检验,a=75是原分式方程的解,且符合题意,故a的值是75.B组2014—2018年全国中考题组考点一分式方程及其解法1.(2016安徽,5,4分)方程

=3的解是

()A.-

B.

C.-4

D.4答案

D去分母得,2x+1=3x-3,∴x=4,经检验,x=4是原方程的根,故选D.评析

本题考查了分式方程的解法,不要遗漏检验的步骤,属容易题.2.(2018黑龙江齐齐哈尔,14,3分)若关于x的方程

+

=

无解,则m的值为

.答案-1或5或-

解析去分母,得x+4+m(x-4)=m+3,去括号,移项,合并同类项,得(m+1)x=5m-1①,因为分式方程无解,所以分下面三种情况:(1)当m+1=0,即m=-1时,5m-1≠0,方程①无解;(2)当x=4时,解方程①得m=5;(3)当x=-4时,解方程①得m=-

.综上,m的值为-1或5或-

.3.(2017四川绵阳,14,3分)关于x的分式方程

-

=

的解是

.答案

x=-2解析∵

-

=

,∴

-

=-

,∴2(x+1)-(x-1)=-(x+1),∴2x+2-x+1=-x-1,∴2x=-4,∴x=-2.检验:当x=-2时,(x+1)(x-1)≠0,∴x=-2是原分式方程的根.4.(2018呼和浩特,17,5分)计算:解方程:

+1=

.解析

+1=

,x-3+x-2=-3,解得x=1.检验:当x=1时,x-2≠0,所以,x=1是原分式方程的解.考点二分式方程的应用1.(2018云南昆明,13,4分)甲、乙两船从相距300km的A,B两地同时出发相向而行,甲船从A地

顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇,水流的速度为6km/h,若甲、乙两船在静水

中的速度均为xkm/h,则求两船在静水中的速度可列方程为

()A.

=

B.

=

C.

=

D.

=

答案

A甲船航行的速度为(x+6)km/h,航行180km用时

h,乙船航行的速度为(x-6)km/h,航行了300-180=120km,用时

h,两船航行时间相同,则可列方程为

=

,故选A.2.(2017新疆乌鲁木齐,7,4分)2017年,在创建文明城市的进程中,乌鲁木齐市为美化城市环境,计

划种植树木30万棵,由于志愿者的加入,实际每天植树比原计划多20%,结果提前5天完成任务,

设原计划每天植树x万棵,可列方程是

(

)A.

-

=5

B.

-

=5C.

+5=

D.

-

=5答案

A原计划每天植树x万棵,则实际每天植树(1+20%)x万棵,根据“实际比原计划提前5天完成”可列方程:

-

=5,故选A.3.(2016河北,12,2分)在求3x的倒数的值时,嘉淇同学误将3x看成了8x,她求得的值比正确答案小

5.依上述情形,所列关系式成立的是

()A.

=

-5

B.

=

+5C.

=8x-5

D.

=8x+5答案

B3x的倒数是

,而嘉淇同学求的是

,因为她求得的值比

小5,所以可得

+5=

.4.(2018贵州贵阳,19,10分)某青春党支部在精准扶贫活动中,给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、

乙两种树苗让其栽种.已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元,用480元购买乙种树苗的棵数

恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同.(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元;(2)在实际帮扶中,他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵.此时,甲种树苗的售价比第一次

购买时降低了10%,乙种树苗的售价保持不变.如果此次购买两种树苗的总费用不超过1500

元,那么他们最多可购买多少棵乙种树苗?解析

(1)设甲种树苗每棵的价格是x元,则乙种树苗每棵的价格是(x+10)元.根据题意,得

=

,解得x=30.经检验,x=30是原方程的解且符合题意,当x=30时,x+10=40.答:甲、乙两种树苗每棵的价格分别是30元、40元.(2)设他们再次购买乙种树苗y棵,则购买甲种树苗(50-y)棵.由题意得30×(1-10%)(50-y)+40y≤1500,解得y≤

.∵y是整数,∴他们最多可以购买11棵乙种树苗.5.(2018吉林,19,7分)下图是学习分式方程应用时,老师板书的问题和两名同学所列的方程.15.3分式方程甲、乙两个工程队,甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等,乙队每天比甲队多修20米,求甲队每天修路的长度.冰冰:

=

庆庆:

-

=20根据以上信息,解答下列问题.(1)冰冰同学所列方程中的x表示

,庆庆同学所列方程中的y表示

;(2)两个方程中任选一个,并写出它的等量关系;(3)解(2)中你所选择的方程,并回答老师提出的问题.解析(1)甲队每天修路的长度;

(1分)甲队修路400米所用的天数(乙队修路600米所用的天数).

(2分)(2)选冰冰所列的方程(选第一个方程),甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等.

(3分)选庆庆所列的方程(选第二个方程),乙队每天修路长度与甲队每天修路长度的差等于20米.

(3分)(3)选第一个方程

=

.解方程,得x=40.

(5分)经检验:x=40是原分式方程的解,且符合题意.

(6分)∴x=40.答:甲队每天修路的长度为40米.

(7分)选第二个方程

-

=20.解方程,得y=10.

(5分)经检验:y=10是原分式方程的解,且符合题意.

(6分)∴

=40.答:甲队每天修路的长度为40米.

(7分)评分说明:1.第(2)题,如果选第二个方程,那么答乙队每天比甲队每天多修路20米给分;2.第(3)题,解答正确,独立给分.6.(2018内蒙古包头,23,10分)某商店以固定进价一次性购进一种商品,3月份按一定售价销售,

销售额为2400元,为扩大销量,减少库存,4月份在3月份售价基础上打9折销售,结果销售量增加

30件,销售额增加840元.(1)求该商店3月份这种商品的售价是多少元;(2)如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元,那么该商店4月份销售这种商品的利润是

多少元?解析(1)设该商店3月份这种商品的售价为x元.根据题意,得

=

-30,解得x=40.

(5分)经检验,x=40是所得方程的解,且符合题意.答:该商店3月份这种商品的售价为40元.

(6分)(2)设该商品的进价为a元.根据题意,得(40-a)×

=900,解得a=25.4月份的售价:40×0.9=36(元),4月份的销售数量:

=90(件).4月份的利润:(36-25)×90=990(元).答:该商店4月份销售这种商品的利润是990元.

(10分)7.(2016广西南宁,24,10分)在南宁市地铁1号线某段工程建设中,甲队单独完成这项工程需要15

0天,甲队单独施工30天后增加乙队,两队又共同工作了15天,共完成总工程的

.(1)求乙队单独完成这项工程需要多少天;(2)为了加快工程进度,甲、乙两队各自提高工作效率,提高后乙队的工作效率是

,甲队的工作效率是乙队的m倍(1≤m≤2),若两队合作40天完成剩余的工程,请写出a关于m的函数关系式,

并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍.解析

(1)设乙队单独完成这项工程需要x天,根据题意得:

×30+

×15=

,

(2分)整理得

+

+

=

,两边同时乘30x得6x+3x+450=10x,解得x=450.

(4分)检验:当x=450时,30x≠0,故x=450是原分式方程的解.

(5分)答:乙队单独完成这项工程需要450天.

(6分)(2)根据题意得:

×40=

,

(7分)∴a关于m的函数关系式为a=60m+60(1≤m≤2).

(8分)∵k=60>0,∴a随m的增大而增大,∵1≤m≤2,∴当m=1时,a取最小值,且最小值为120.此时,乙队的最大工作效率是

=

.

(9分)

÷

=

.答:乙队的最大工作效率是原来的

倍.

(10分)C组教师专用题组考点一分式方程及其解法1.(2018四川成都,8,3分)分式方程

+

=1的解是

()A.x=1

B.x=-1

C.x=3

D.x=-3答案

A

+

=1,(x+1)(x-2)+x=x(x-2),x2-x-2+x=x2-2x,x=1,检验,当x=1时,x(x-2)≠0.所以x=1是原分式方程的解.故选A.2.(2017四川成都,9,3分)已知x=3是分式方程

-

=2的解,那么实数k的值为

()A.-1

B.0

C.1

D.2答案

D把x=3代入分式方程得

-

=2,解得k=2.故选D.3.(2017重庆A卷,12,4分)若数a使关于x的分式方程

+

=4的解为正数,且使关于y的不等式组

的解集为y<-2,则符合条件的所有整数a的和为

()A.10

B.12

C.14

D.16答案

A解分式方程

+

=4得x=

.∵分式方程的解为正数,∴

>0且

≠1.∴a<6且a≠2.

解不等式①,得y<-2.解不等式②,得y≤a.∵不等式组的解集为y<-2,∴a≥-2.∴-2≤a<6且a≠2.∵a为整数,∴a=-2,-1,0,1,3,4,5,∴符合条件的所有整数a的和为10.故选A.考点二分式方程的应用1.(2016四川南充,6,3分)某次列车平均提速20km/h.用相同的时间,列车提速前行驶400km,提

速后比提速前多行驶100km.设提速前列车的平均速度为xkm/h,下列方程正确的是

()A.

=

B.

=

C.

=

D.

=

答案

A提速前列车的平均速度为xkm/h,则提速后列车的平均速度为(x+20)km/h,提速前行

驶400km需要

h,提速后行驶(400+100)km需要

h,根据时间相等可得

=

,故选A.评析

本题考查分式方程的应用,根据题意正确找出等量关系是关键.2.(2018云南,18,6分)某社区积极响应正在开展的“创文活动”,组织甲、乙两个志愿工程队对

社区的一些区域进行绿化改造.已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能

完成的绿化面积的2倍,并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的

绿化面积少用3小时.乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积?解析设乙工程队每小时能完成的绿化面积为xm2,则甲工程队每小时能完成的绿化面积为2

xm2,根据题意得

-

=3.(3分)由

-

=3得

=1,解得x=50.经检验,x=50是

-

=3的解,且符合题意.所以,乙工程队每小时能完成的绿化面积为50m2.

(6分)3.(2018乌鲁木齐,19,10分)某校组织学生去9km外的郊区游玩,一部分学生骑自行车先走,半小

时后,其他学生乘公共汽车出发,结果他们同时到达.已知公共汽车的速度是自行车速度的3倍,

求自行车的速度和公共汽车的速度分别是多少.解析

设自行车的速度为xkm/h,则公共汽车的速度为3xkm/h.依题意,得

-

=

.

(6分)解得x=12,经检验,x=12是原方程的解且符合题意,∴3x=36.答:自行车的速度是12km/h,公共汽车的速度是36km/h.

(10分)思路分析

设出自行车的速度,根据骑自行车与乘公共汽车的时间差列出分式方程,解之即可.4.(2018山西,20,7分)2018年1月20日,山西迎来了“复兴号”列车,与“和谐号”相比,“复兴

号”列车时速更快,安全性更好.已知“太原南—北京西”全程大约500千米,“复兴号”G92

次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米,其行驶时间是该列“和谐号”列车

行驶时间的

(两列车中途停留时间均除外).经查询,“复兴号”G92次列车从太原南到北京西,中途只有石家庄一站,停留10分钟.求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多

少时间.

解析解法一:设乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要x小时,

(1分)由题意,得

=

+40.

(4分)解得x=

.

(5分)经检验,x=

是原方程的根,且符合题意.

(6分)答:乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要

小时.

(7分)解法二:设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间为x小时,

(1分)由题意,得

=

+40.

(3分)解得x=

.

(4分)经检验,x=

是原方程的根,且符合题意.

(5分)

+

=

(小时).

(6分)答:乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要

小时.

(7分)5.(2016宁夏,22,6分)某种型号油电混合动力汽车,从A地到B地燃油行驶纯燃油费用为76元,从A

地到B地用电行驶纯用电费用为26元.已知每行驶1千米,纯燃油费用比纯用电费用多0.5元.(1)求每行驶1千米纯用电的费用;(2)若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元,则至少用电行驶多少

千米?解析(1)设纯用电每行驶1千米所需要的费用为x元,则纯燃油每行驶1千米所需要的费用为(x

+0.5)元,根据题意,得

=

,

(2分)解得x=0.26,经检验x=0.26是原方程的根.所以,每行驶1千米纯用电的费用为0.26元.

(3分)(2)纯燃油每行驶1千米所需要的费用为0.5+0.26=0.76(元),从A到B的距离为26÷0.26=100(千

米),设用电行驶y千米,则燃油行驶(100-y)千米.根据题意,得0.26y+0.76(100-y)≤39,

(5分)解得y≥74,即至少用电行驶74千米.

(6分)评析

本题考查分式方程、一元一次不等式的应用.应注意检验分式方程的解.属易错题.6.(2016黑龙江哈尔滨,25,10分)早晨,小明步行到离家900米的学校去上学,到学校时发现眼镜

忘在家中,于是他立即按原路步行回家,拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校.已知小明步

行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟,小明骑自行车速度

是步行速度的3倍.(1)求小明步行速度(单位:米/分)是多少;(2)下午放学后,小明骑自行车回到家,然后步行去图书馆,如果小明骑自行车和步行的速度不

变,小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍,那么小明家与图书

馆之间的路程最多是多少米?解析

(1)设小明步行的速度为x米/分,根据题意,得

-

=10,

(2分)解得x=60,

(3分)经检验,x=60是原方程的解.

(4分)∴小明步行速度为60米/分.

(5分)(2)设小明家与图书馆之间的路程为a米,根据题意,得

≤

×2,

(8分)解得a≤600.

(9分)∴小明家与图书馆之间的路程最多是600米.

(10分)评析

本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用.解题的关键是理解题意,找出题

目中的数量关系,列出方程和不等式.注意分式方程要检验.7.(2016内蒙古呼和浩特,22,7分)某一公路的道路维修工程,准备从甲、乙两个工程队中选一个

队单独完成.根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知,若由两队合做此项维修工程,

6天可以完成,共需工程费用385200元,若单独完成此项维修工程,甲队比乙队少用5天,每天的

工程费用甲队比乙队多4000元.从节省资金的角度考虑,应该选择哪个工程队?解析设甲队单独完成此项维修工程需x天.

(1分)依据题意可列方程:

+

=

.

(3分)解得x1=10,x2=-3(舍去),经检验,x=10是原方程的解.

(4分)设甲队每天的工程费用为y元.依据题意可列方程:6y+6(y-4000)=385200,解得y=34100.

(5分)∴甲队完成此项维修工程的费用为34100×10=341000(元),乙队完成此项维修工程的费用为30100×15=451500(元).

(6分)答:从节省资金的角度考虑,应该选择甲工程队.

(7分)8.(2016新疆乌鲁木齐,19,10分)某商场用24000元购入一批空调,然后以每台3000元的价格销

售,因天气炎热,空调很快售完;商场又以52000元的价格再次购入该种型号的空调,数量是第一

次购入的2倍,但购入的单价上调了200元,每台的售价也上调了200元.(1)商场第一次购入的空调每台进价是多少元?(2)商场既要尽快售完第二次购入的空调,又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于22%,

打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售,最多可将多少台空调打折出售?解析(1)设第一次购入的空调每台进价是x元,依题意,得

=2×

,解得x=2400,经检验,x=2400是原方程的解.答:第一次购入的空调每台进价为2400元.(2)第一次购进空调的数量为24000÷2400=10台,总收入为3000×10=30000元,第二次购进空调的数量为52000÷(2400+200)=20台,不妨设打折售出y台空调,则第二次总收入为(3000+200)·(20-y)+(3000+200)·0.95y=(64000-160y)元.两次空调销售的总利润为[30000+(64000-160y)]-(24000+52000)=(18000-160y)元,依题意,得18000-160y≥(24000+52000)×22%,解得y≤8.答:最多可将8台空调打折销售.9.(2016广东,20,7分)某工程队修建一条长1200m的道路,采用新的施工方式,工效提升了50%,

结果提前4天完成任务.(1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米;(2)在这项工程中,如果要求工程队提前2天完成任务,那么实际平均每天修建道路的工效比原

计划增加百分之几?解析(1)设原计划每天修建道路xm,则实际平均每天修建道路为(1+50%)xm.

(1分)由题意得,

-

=4.

(2分)解得x=100.经检验,x=100是原方程的解.

(3分)答:这个工程队原计划每天修建道路100米.

(4分)(2)设实际平均每天修建道路的工效比原计划增加y,由题意得,100(1+y)

=1200.解得y=0.2,即y=20%.

(6分)答:如果要求工程队提前2天完成任务,那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加20%.

(7分)评析

本题主要考查分式方程、一元一次方程的解法和应用,考查运用方程思想解决实际问

题的能力.10.(2015江苏连云港,23,10分)在某市组织的大型商业演出活动中,对团体购买门票实行优惠,

决定在原定票价基础上每张降价80元,这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数,现在只

花费了4800元.(1)求每张门票的原定票价;(2)根据实际情况,活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施,原定票价经过连续两次降

价后降为324元,求平均每次降价的百分率.解析(1)设每张门票的原定票价为x元.

(1分)由题意得

=

,解得x=400.经检验,x=400是原方程的解,且符合题意.答:每张门票的原定票价为400元.

(5分)(2)设平均每次降价的百分率为y.由题意得400(1-y)2=324.解得y1=0.1=10%,y2=1.9(不合题意,舍去).答:平均每次降价10%.

(10分)评析

本题考查了分式方程与一元二次方程,第(2)问正确理解“平均每次降价的百分率”是

解题关键.A组2016—2018年模拟·基础题组(时间:40分钟分值:55分)一、选择题(每小题3分,共9分)1.(2018漳州质检,5)如图,在解分式方程的4个步骤中,利用等式的基本性质的是

(

)解分式方程:

-

=1.解:x-(3-x)=x-2,①x-3+x=x-2,②x+x-x=-2+3,③x=1.④经检验:x=1是原方程的解.A.①②

B.②④C.①③

D.③④答案

C①利用等式的基本性质2;③利用等式的基本性质1.故选C.三年模拟2.(2018南平质检,8)某学校为绿化环境,计划植树220棵,实际劳动中每小时植树的数量比原计

划多10%,结果提前2小时完成任务.设原计划每小时植树x棵,依据题意,可列方程

()A.

=

+2

B.

=

-2C.

-

=2

D.

=

-2答案

B按原计划植树,需用时

小时,实际每小时植树(1+10%)x棵,用时

小时.根据“实际比原计划提前2小时完成任务”,可得方程

=

-2.3.(2016宁德质检,10)某市需要铺设一条长660米的管道,为了尽量减少施工对城市交通造成的

影响,实际施工时,每天铺设管道的长度比原计划增加10%,结果提前6天完成.求实际每天铺设

管道的长度与实际施工天数.小宇同学根据题意列出方程:

-

=6.则方程中未知数x所表示的量是

()A.实际每天铺设管道的长度B.实际施工的天数C.原计划每天铺设管道的长度D.原计划施工的天数答案

C由方程可以看出,本题以“原计划施工天数-实际施工天数=6”作为等量关系,故x

表示“原计划每天铺设管道的长度”.二、填空题(每小题3分,共6分)4.(2018厦门质检,14)A,B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多

搬运30kg.A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等.设B型机器

人每小时搬运xkg化工原料,依题意,可列方程

.答案

=

解析由B型机器人每小时搬运xkg化工原料,得A型机器人每小时搬运(x+30)kg化工原料,根

据“A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等”可得方程.5.(2016南平质检,13)分式方程

=

的解是

.答案

x=2解析去分母得2(x-1)=x,解得x=2.经检验,x=2是分式方程的解.三、解答题(共40分)6.(2018三明质检,18)解方程:

+

=1.解析去分母,得2-x-1=x-3,-x-x=-3-2+1,-2x=-4,x=2.经检验,x=2是原方程的解,所以原方程的解是x=2.7.(2017南平质检,19)解分式方程:

=

.解析方程两边同乘x(x-2),得3x=5(x-2),去括号,得3x=5x-10,移项,得3x-5x=-10,合并,得-2x=-10,系数化为1,得x=5,经检验,x=5是原方程的解,所以原方程的解是x=5.8.(2017莆田质检,18)解方程:

+

=2.解析去分母,得x-1-2=2(x-2),解得x=1,经检验x=1是原方程的解,所以原分式方程的解为x=1.9.(2017龙岩质检,23)某校为了丰富学生的校园生活,准备购进一批篮球和足球.其中足球的单

价比篮球的单价少20元,用900元购进的足球个数和用1200元购进的篮球个数相等.(1)篮球和足球的单价各是多少元?(2)该校打算用800元购买篮球和足球,且两种球都必须购买,请问恰好用完800元的购买方案有

几种?解析

(1)设足球单价为x元,则篮球单价为(x+20)元.依题意得

=

,解得x=60.经检验,x=60是原分式方程的解且符合题意,则x+20=80.答:足球和篮球的单价分别为60元和80元.(2)设恰好用完800元可购买篮球a个和足球b个.依题意得80a+60b=800,化简得a=10-

b.∵a、b都是正整数,∴①b=4时,a=7;②b=8时,a