第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小中组B卷）

第1页（共1页）第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组B卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：2016×2016﹣2015×2016＝．2．（10分）计算：1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19+20＝．3．（10分）如图，用一条线段把一个周长是30cm的长方形分割成一个正方形和一个小的长方形．如果小长方形的周长是16cm，则原来长方形的面积是cm2．4．（10分）某月里，星期五、星期六和星期日各有5天，那么该月的第1日是星期．5．（10分）从1、3、5、7、9这5个数中选出4个不同的数填入下面4个方格中，使式子成立：□+□＞□×□．两种填法，如果应用加法交换律和乘法交换律后，式子相同，则认为是相同填法，则共有种不同的填法．6．（10分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向匀速行进，在距A地60千米处相遇．相遇后，两车继续行进，分别到达B，A后，立即原路返回，在距B地50千米处再次相遇．则A，B两地的路程是千米．7．（10分）黑板上先写下一串数：1，2，3，…，50，每次都擦去最前面的4个，并在这串数的最后再写上擦去的4个数的和，得到新的一串数，再做同样的操作，直到黑板上剩下的数不足4个．问：（1）最后黑板上剩下的这些数的和是；（2）最后1个所写的数是．8．（10分）一个整数有2016位，将这个整数的各位数字相加，再将得到的整数的各位数字相加，则最后的这个和数可能的最大值是．二、简答题（每小题5分，共20分，要求写出简要过程）9．（5分）某商店搞了一次钢笔促销活动，促销办法是：顾客买的钢笔中，每2支送1只小熊玩具，不足2支不送．卖出1支钢笔的利润是7元，1只小熊玩具的进价是2元，这次促销活动共赚了2011元，该商店此次促销共卖出多少支钢笔？10．（5分）如图是一个三角形纸片折叠后的平面图形，折痕为DE，已知：∠B＝74°，∠A＝70°，∠CEB＝20°，那么∠ADC等于多少度？11．（5分）将自然数1，2，3，4，从小到大无间隔地排列起来，得到：1234567891011121314，这串数码中，当偶数数码首次连续出现5个时，其中的第一个（偶）数码所在位置从左数是第多少位？12．（5分）从1到200这200个自然数中任意选数，至少要选出多少个才能确保其中必有2个数的和是5的倍数？

第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组B卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：2016×2016﹣2015×2016＝2016．【分析】加法左右两边的算式中都有相同的因数2016，可以根据乘法分配律简算．【解答】解：2016×2016﹣2015×2016＝2016×（2016﹣2015）＝2016×1＝2016故答案为：2016．2．（10分）计算：1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19+20＝144．【分析】通过观察发现，运用加法交换律与结合律把前后两数组合可以得出整21，共7对，即（1+20）+（2+19）+（4+17）+（5+16）+（7+14）+（8+13）+（10+11），计算即可．【解答】解：1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19+20＝（1+20）+（2+19）+（4+17）+（5+16）+（7+14）+（8+13）+（10+11），＝21×7＝147故答案为：147．3．（10分）如图，用一条线段把一个周长是30cm的长方形分割成一个正方形和一个小的长方形．如果小长方形的周长是16cm，则原来长方形的面积是56cm2．【分析】由大长方形到小长方形周长减少了：30﹣16＝14（厘米），相当于减少了两条正方形的边长，所以正方形的边长是：14÷2＝7（厘米），也就是原来长方形的宽是7厘米；那么原来长方形的长为：16÷2﹣7+7＝8（厘米），面积是：8×7＝56cm2．【解答】解：根据分析可得，30﹣16＝14（厘米），正方形的边长：14÷2＝7（厘米），原来长方形长：16÷2﹣7+7＝8（厘米），面积：8×7＝56（平方厘米）；答：原来长方形的面积是56cm2．故答案为：56．4．（10分）某月里，星期五、星期六和星期日各有5天，那么该月的第1日是星期五．【分析】首先根据1个月最多有31天，可得：1个月最多有4个星期零3天；然后根据该月星期五、星期六和星期日各有5天，可得：该月的第1日是星期五，据此解答即可．【解答】解：因为31÷7＝4（个）…3（天），所以1个月最多有4个星期零3天，因为该月星期五、星期六和星期日各有5天，所以该月的第1日是星期五．答：该月的第1日是星期五．故答案为：五．5．（10分）从1、3、5、7、9这5个数中选出4个不同的数填入下面4个方格中，使式子成立：□+□＞□×□．两种填法，如果应用加法交换律和乘法交换律后，式子相同，则认为是相同填法，则共有12种不同的填法．【分析】按题意，可以分类讨论，两个数的和大于两个数的乘积，而两个数的和最大为7+9＝16，可从7+9开始分类讨论，最后算得总的填法．【解答】解：根据分析，两个数的和大于两个数的乘积，而两个数的和最大为7+9＝16，①两数之和为7+9时，则不等式右边有1×3、1×5、3×5三种填法；②两数之和为5+9时，则不等式右边有1×3、1×7两种填法；③两数之和为3+9时，则不等式右边有1×5、1×7两种填法；④两数之和为1+9时，则不等式右边有0种填法；⑤两数之和为5+7时，则不等式右边有1×3、1×9两种填法；⑥两数之和为3+7时，则不等式右边有1×5、1×9两种填法；⑦两数之和为1+7时，则不等式右边有0种填法；⑧两数之和为3+5时，则不等式右边有1×7一种填法；⑨两数之和为1+5时，则不等式右边有0种填法；⑩两数之和为1+3时，则不等式右边有0种填法；综上，共有：3+2+2+0+2+2+0+1+0+0＝12．故答案是：12．6．（10分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向匀速行进，在距A地60千米处相遇．相遇后，两车继续行进，分别到达B，A后，立即原路返回，在距B地50千米处再次相遇．则A，B两地的路程是130千米．【分析】可以利用相遇时距离之比等于速度之比，列出关系式，可设AB两地间的距离为S，第一次相遇时，甲走了60千米，而乙走了S﹣60千米，第二次相遇，甲又走了S﹣60+50千米，乙又走了60+S﹣50千米，从而可以求出S的值．【解答】解：根据分析，设AB两地间的距离为S，第一次相遇时，甲走了60千米，而乙走了S﹣60千米，第二次相遇，甲又走了S﹣60+50千米，乙又走了60+S﹣50千米，则：，解得：S＝130．故答案是：130．7．（10分）黑板上先写下一串数：1，2，3，…，50，每次都擦去最前面的4个，并在这串数的最后再写上擦去的4个数的和，得到新的一串数，再做同样的操作，直到黑板上剩下的数不足4个．问：（1）最后黑板上剩下的这些数的和是1275；（2）最后1个所写的数是755．【分析】按题意，每次擦去的4个数之和都写在后面，擦到最后只剩下49和50，但后面均为四个数的和，个数为12个，加上49和50两个数，共14个数，再继续循环，这次首先擦掉的是49和50及1+2+3+4的和，及5+6+7+8的和，依此继续下去，最后只剩下，4组数的和，即：25+26+27+28，29+30+31+32，33+34+35+36，37+38+39+40，此时这一组数的和为一个数，故最后剩下的数为这4组数的和，即：25+26+27+28+29+30+31+32+33+34+35+36+37+38+39+40＝520，而最后一个写的数，可通过总数算得．【解答】解：根据分析，每次擦去的4个数之和都写在后面，擦到最后只剩下49和50，但后面均为四个数的和，个数为12个，加上49和50两个数，共14个数，再继续循环，这次首先擦掉的是49和50及1+2+3+4的和，及5+6+7+8的和，依此继续下去，最后只剩下，4组数的和，即：25+26+27+28＝106，29+30+31+32＝122，33+34+35+36＝138，37+38+39+40＝154，而四组数的和为：106+122+138+154＝520，当黑板上只剩下：41+42+43+44＝170；45+46+47+48＝186；49+50+1+2+3+4+5+6+7+8＝135；9+10+11+12+…+24＝264；25+26+27+28+…+40＝520；即按顺序排为：170、186、135、264、520五个数，此时最后写的数应是：170+186+135+264＝755．故最后只剩下两个数：520和755，最后黑板上剩下的这些数的和是；520+755＝1275，故答案是：1275；755．8．（10分）一个整数有2016位，将这个整数的各位数字相加，再将得到的整数的各位数字相加，则最后的这个和数可能的最大值是36．【分析】当这个2016位的整数的每个数字都为9时，这个数的数字和最大，为9×2016＝18144，所以任何2016位数的数字和都不大于18144，再分析这个不大于18144的数的数字和．【解答】解：2016位数的数字和最大的情况是：，最大数字和为：9×2016＝18144，问题变成分析一个小于等于18144的数的数字和的最大值，首先考虑17999，9999，可知：9999的数字和最大为36．故本题答案为：36．二、简答题（每小题5分，共20分，要求写出简要过程）9．（5分）某商店搞了一次钢笔促销活动，促销办法是：顾客买的钢笔中，每2支送1只小熊玩具，不足2支不送．卖出1支钢笔的利润是7元，1只小熊玩具的进价是2元，这次促销活动共赚了2011元，该商店此次促销共卖出多少支钢笔？【分析】按题意，卖出1支钢笔的利润是7元，1只小熊玩具的进价是2元，每2支送1只小熊玩具，利润为2×7﹣2＝12元，可设有x个人买了两支钢笔，则利润为12x，而促销活动赚了2011元，可知，除了买两支钢笔的顾客，还有只买一支钢笔的顾客，可设y人，可列关系式，分情况讨论求解．【解答】解：根据分析，每2支送1只小熊玩具，利润为2×7﹣2＝12元，设有x个人买了两支钢笔，则利润为12x，只买一支钢笔的顾客y人，利润为7y，故有：12x+7y＝2011，因x，y均为非负整数，解得：x＝167，y＝1，此时促销共卖出的钢笔总数为：2x+y＝2×167+1＝335（支）；故答案是：335支．10．（5分）如图是一个三角形纸片折叠后的平面图形，折痕为DE，已知：∠B＝74°，∠A＝70°，∠CEB＝20°，那么∠ADC等于多少度？【分析】可以利用三角形的外角和以及四边形的内角和，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣74°﹣70°＝36°，∠COE＝180°﹣∠C﹣∠CEO＝180°﹣36°﹣20°＝124°，又∵∠OED+∠ODE＝∠COE＝124°，根据四边形内角和得知：∠OED+∠ODE+∠CDA+∠A+∠B＝360°，最后求得∠ADC的度数．【解答】解：根据分析，如图，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣74°﹣70°＝36°，∠COE＝180°﹣∠C﹣∠CEO＝180°﹣36°﹣20°＝124°，又∵∠OED+∠ODE＝∠COE＝124°，根据四边形内角和得知：∠OED+∠ODE+∠CDA+∠A+∠B＝360°，∴∠CDA＝360°﹣∠COE﹣∠A﹣∠B＝360°﹣124°﹣74°﹣70＝92°故答案是：92°11．（5分）将自然数1，2，3，4，从小到大无间隔地排列起来，得到：1234567891011121314，这串数码中，当偶数数码首次连续出现5个时，其中的第一个（偶）数码所在位置从左数是第多少位？【分析】首先按照位数进行分析，可知2位数不满足题意三位数中100﹣199也是不满足题意的，继续推理即可．【解答】解：依题意可知：首先分析如果是2位数那么不能连续出现5个偶数，考虑三位数如果是100﹣200之间的数字每3位必须有1不符合题意．200201恰好为5个偶数连接．满足题意．1﹣9共9个数码；10﹣99共90个数共180个数码．100﹣199共100个数字300个数码．再来一个即是题意要求的数字．共9+180+300+1＝490．答：当偶数数码首次连续出现5个时，其中的第一个（偶）数码所在位置从左数是490个．12．（5分）从1到200这20