第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小高组A卷）

第1页（共1页）第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组A卷）一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.）1．（10分）现在从甲、乙、丙、丁四个人中选出两个人参加一项活动．规定：如果甲去，那么乙也去；如果丙不去，那么乙也不去；如果丙去；那么丁不去．最后去参加活动的两个人是（）A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．乙、丁2．（10分）以平面上任意4个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有（）个．A．5 B．2 C．4 D．33．（10分）桌上有1～20的20张卡片，小明每次取出2张卡片，要求一张卡片的编号是另一张卡片的2倍多2，则小明最多取出（）张卡片．A．12 B．14 C．16 D．184．（10分）足球友谊比赛的票价是50元，赛前一小时还有余票，于是决定降价，结果售出的票增加了三分之一，而票房收入增加了四分之一，那么每张票售价降了（）元．A．10 B． C． D．255．（10分）一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间66分．那么，这只旧钟的24小时比标准时间的24小时（）A．快12分 B．快6分 C．慢6分 D．慢12分6．（10分）在右图的6×6方格内，每个方格中只能填A，B，C，D，E，F中的某个字母，要求每行、每列、每个标有粗线的2×3长方形的六个字母均不能重复．那么，第四行除了首尾两个方格外，中间四个方格填入的字母从左到右的顺序是（）A．E，C，D，F B．E，D，C，F C．D，F，C，E D．D，C，F，E二、填空题（每小题10分，共40分）7．（10分）计算：481+265+904﹣184﹣160﹣703＝．8．（10分）过正三角形ABC内一点P，向三边作垂线，垂足依次为D，E，F，连接AP，BP，CP．如果正三角形ABC的面积是2028平方厘米，三角形PAD和三角形PBE的面积都是192平方厘米，则三角形PCF的面积为平方厘米．9．（10分）自然数2015最多可以表示成个连续奇数的和．10．（10分）由单位正方形拼成的15×15网格，以网格的格点为顶点作边长为整数的正方形，则边长大于5的正方形有个．

第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组A卷）参考答案与试题解析一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.）1．（10分）现在从甲、乙、丙、丁四个人中选出两个人参加一项活动．规定：如果甲去，那么乙也去；如果丙不去，那么乙也不去；如果丙去；那么丁不去．最后去参加活动的两个人是（）A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．乙、丁【分析】①根据如果甲去，那么乙也去，可得甲在，乙必然也在；②又根据如果丙不去，那么乙也不去，可得如果乙去了，丙也一定去了，同时满足①②的条件和“如果丙去；那么丁不去”只能是乙、丙参加了活动，据此解答即可．【解答】解：根据如果甲去，那么乙也去，可得甲在，乙必然也在，又根据如果丙不去，那么乙也不去，可得如果乙去了，丙也一定去了，如果丙去；那么丁不去，可得：如果丙不去；那么丁去，同时乙也不去，则根据“甲去，那么乙也去”可得甲也不去，这样只有丁去，这与两个人参加一项活动相矛盾．同时满足条件只能是乙、丙参加了活动．故选：B．2．（10分）以平面上任意4个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有（）个．A．5 B．2 C．4 D．3【分析】根据题意，平面上任意4点中，其中3个点构成一个钝角三角形，另外1个点在三角形的中间时，和其余的3个点依次连接，可以构成3个钝角三角形，据此求出钝角三角形最多有多少个即可．【解答】解：如图，平面上任意4点构成了4个钝角三角形：△ABC、△ABD、△ACD、△BCD，所以以平面上任意4个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有4个．故选：C．3．（10分）桌上有1～20的20张卡片，小明每次取出2张卡片，要求一张卡片的编号是另一张卡片的2倍多2，则小明最多取出（）张卡片．A．12 B．14 C．16 D．18【分析】因为每次取出2张卡片，要求一张卡片的编号是另一张卡片的2倍多2，也就是取出的卡号数字大的不能超过20，那么设另一张卡号是x，则2x+2≤20，且x≥1，据此解答即可．【解答】解：设另一张卡号是x，则：2x+2≤202x+1﹣2≤20﹣22x≤182x÷2≤18÷2x≤9又因为x≥19×2＝18（张）∵4、6、8即可以做为一倍量的数，也可以作为2倍量多2的数，∴即总共可以取出：18﹣3×2＝12张；答：小明最多可以取出12张卡片．故选：A．4．（10分）足球友谊比赛的票价是50元，赛前一小时还有余票，于是决定降价，结果售出的票增加了三分之一，而票房收入增加了四分之一，那么每张票售价降了（）元．A．10 B． C． D．25【分析】设原来卖出的票数为1，由题意可知，增加的钱数是50×＝，就是增加了三分之一的票的总钱数，所以再除以可得降价部分的票的单价，然后再用50减去它就是每张票售价降低的钱数．【解答】解：设原来卖出的票数为1，50﹣50×÷＝50﹣＝（元）答：每张票售价降了元．故选：B．5．（10分）一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间66分．那么，这只旧钟的24小时比标准时间的24小时（）A．快12分 B．快6分 C．慢6分 D．慢12分【分析】分针与时针除12时（包括24时或0时）外，每小时重合1次，因此，24小时重合22次，旧钟每隔标准时间66分钟重合1次，因此，旧钟24小时是标准时间22×66＝1452（分钟），而标准钟24小时是60×24＝1440（分钟），两者之差就是这只旧钟慢的时间．【解答】解：66×（24﹣2）＝66×22＝1452（分钟）60×24＝1440（分钟）1452﹣1440＝12（分钟）即这只旧钟的24小时比标准时间的24小时慢12分钟．故选：D．6．（10分）在右图的6×6方格内，每个方格中只能填A，B，C，D，E，F中的某个字母，要求每行、每列、每个标有粗线的2×3长方形的六个字母均不能重复．那么，第四行除了首尾两个方格外，中间四个方格填入的字母从左到右的顺序是（）A．E，C，D，F B．E，D，C，F C．D，F，C，E D．D，C，F，E【分析】首先根据排除法和唯一法进行分析，首先根据幻方规律排除法确定第一行第二列的数字是A，跟着这个思路全部填写出来即可．【解答】解：依题意可知：首先根据排除法看第一宫格，第一列不能有A，第二行不能有A．那么A只能在第一行第二列．幻方规律排除法确定第三行第四列也是A；第四行第四列的数字是C；接着第五行第四列就是F；那么第二行的第四列是B；继续推理得：故选：C．二、填空题（每小题10分，共40分）7．（10分）计算：481+265+904﹣184﹣160﹣703＝600．【分析】先把算式变形为481+265+904﹣185+﹣161+﹣704+，再根据加法的交换律与结合律以及分数的拆项公式＝﹣简算即可．【解答】解：481+265+904﹣184﹣160﹣703＝481+265+904﹣185+﹣161+﹣704+＝（481﹣161）+（265﹣185）+（904﹣704）+（+++++）＝320+80+200+（﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝600+﹣＝600．故答案为：600．8．（10分）过正三角形ABC内一点P，向三边作垂线，垂足依次为D，E，F，连接AP，BP，CP．如果正三角形ABC的面积是2028平方厘米，三角形PAD和三角形PBE的面积都是192平方厘米，则三角形PCF的面积为630平方厘米．【分析】过P点分别作三条边的平行线，这样就分成了三个平行四边形，▱AGPH，▱BKPJ，▱CMPL，阴影部分的面积占各自的；同理，得到的三个三角形△HJP，△LPK，△MPG，阴影部分的面积也占各自的；所以S△PAD+S△PBE+S△PCF＝S△ABC，据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，S△PAD+S△PBE+S△PCF＝S△ABC，又因为正三角形ABC的面积是2028平方厘米，三角形PAD和三角形PBE的面积都是192平方厘米，所以，S△PCF＝2028×﹣192×2＝1014﹣384＝630（平方厘米）答：三角形PCF的面积为630平方厘米．故答案为：630．9．（10分）自然数2015最多可以表示成31个连续奇数的和．【分析】先把2015分解质因数，2015＝5×13×31，连续多个奇数的和是正中间一个数的倍数；如果把5、13、31作为中间一个数的话，无法满足条件；只有当把5×13＝65作为正中间一个数的话，从35、37、39…95，正好31个数，且和是2015；因此2015最多可以表示成31个连续奇数的和．【解答】解：2015＝5×13×31；连续多个奇数的和是正中间一个数的倍数；如果把5、13、31作为中间一个数的话，无法满足条件；只有当把5×13＝65作为正中间一个数的话，从35、37、39…95，正好31个数，且和是2015；因此2015最多可以表示成31个连续奇数的和．故答案为：31．10．（10分）由单位正方形拼成的15×15网格，以网格的格点为顶点作边长为整数的正方形，则边长大于5的正方形有393个．【分析】分别数出边长为6的正方形个数，边长为7的正方形个数，边长为8的正方形个数，边长为9的正方形个数，边长为10的正方形个数，边长为11的正方形个数，边长为12的正方形个数，边长为13的正方形个数，边长为14的正方形个数，以及斜