导数中恒成立问题

导数中恒成立问题1.已知函数，其中为实数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在实数，使得对任意，恒成立?若不存在，请说明理由，若存在，求出的值并加以证明．（1）时，，，，又所以切线方程为（2）1°当时，，则令，，再令，当时，∴在上递减，∴当时，，∴，所以在上递增，，所以2°时，，则由1°知当时，在上递增当时，，所以在上递增，∴∴；由1°及2°得：2.已知函数（1）求曲线处的切线方程；（2）当a<0时，求函数的单调区间；（3）当a>0时，若不等式恒成立，求a的取值范围。解：（1）∴曲线处的切线方程为即（2）令当令上为减函数，在上增函数。当在R上恒成立。上为减函数。当令在上为增函数。综上，当时，单调递减区间为。当当单调递减区间为（），（）（3）a>0时，列表得：1（1，+）+0－0+↗极大值↘极小值↗又从而，当由题意，不等式恒成立，所以得从而a的取值范围为3.已知函数，（1）当时，判断在定义域上的单调性；（2）若在上的最小值为，求的值；（3）若在上恒成立，求的取值范围解：（1）由题意：的定义域为，且．，故在上是单调递增函数．（2）由（1）可知：①若，则，即在上恒成立，此时在上为增函数，（舍去）． ②若，则，即在上恒成立，此时在上为减函数，（舍去）． ③若，令得， 当时，在上为减函数， 当时，在上为增函数，综上可知：．（3）．又 令， 在上是减函数，，即，在上也是减函数，．令得，∴当在恒成立时，4.已知函数．（１）求的单调区间；（２）若不等式恒成立，求实数的取值组成的集合．解：（１）由已知得．因为，所以当．故区间为的单调递减区间，区间为的单调递增区间．（２）①当时，．令，则．由（１）知当时，有，所以，即得在上为增函数，所以，所以．②当时，．由①可知，当时，为增函数，所以，所以．综合以上得．故实数的取值组成的集合为5.已知函数（I）若函数的值；（II）设的取值范围解：（I）处的切线互相平行 （II） 令 当是单调增函数。 恒成立， 值满足下列不等式组①，或② 不等式组①的解集为空集，解不等式组②得综上所述，满足条件的6.函数其中为常数，且函数和的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．（1）求函数的解析式；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围解：（1），的图像与坐标轴的交点为，的图像与坐标轴的交点为由题意得即，又（2）由题意当时，令令当时，单调递增。由在上恒成立，得当时，可得单调递增。由在上恒成立，得综上，可知7.设函数f(x)=x3+ax2－a2x+m(a>0).（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在x∈[－1，1]内没有极值点，求a的取值范围；（3）若对任意的a∈[3,6]，不等式f(x)≤1在x∈[－2,2]上恒成立，求m取值范围解：（1）∵f′(x)=3x2+2ax－a2=3(x－)(x+a),又a>0，∴当x<－a或x>时f′(x)>0；当－a<x<时，f′(x)<0.∴函数f(x)的单调递增区间为（－∞，－a），(，+∞)，单调递减区间为(－a，).（2）由题设可知，方程f′(x)=3x2+2ax－a2=0在[－1，1]上没有实根∴，解得a>3.（3）∵a∈[3,6]，∴由（Ⅰ）知∈[1，2]，－a≤－3又x∈[－2,2]∴f(x)max=max{f(－2),f(2)}而f(2)－f(－2)=16－4a2<0∴f(x)max=f(－2)=－8+4a+2a2+m又∵f(x)≤1在[－2，2]上恒成立∴f(x)max≤1即－8+4a+2a2+m≤1即m≤9－4a－2a2,在a∈[3，6]上恒成立∵9－4a－2a2的最小值为－87∴m≤－87.8．已知函数（1）求函数的最大值；（2）设，求在上的最大值；(3)试证明：对，不等式恒成立．解：（１）∵令得显然是上方程的解令，，则∴函数在上单调∴是方程的唯一解∵当时，当时∴函数在上单调递增，在上单调递减∴当时函数有最大值（２）由（１）知函数在上单调递增，在上单调递减故①当即时在上单调递增∴＝②当时在上单调递减∴＝③当，即时（３）由（１）知当时，∴在上恒有，当且仅当时“＝”成立∴对任意的恒有∵∴即对，不等式恒成立．9．已知函数为大于零的常数。（1）若函数内调递增，求a的取值范围；（2）求函数在区间[1，2]上的最小值。（3）求证：对于任意的成立解：（1）由已知，得上恒成立，即上恒成立 又当（2）当时，在（1，2）上恒成立，这时在[1，2]上为