中考数学最值问题的解题思路与策略

探讨中考数学最值问题的解题思路与策略本文以一道中考题为例，与各位共同探讨最值问题的解题思路与策略.一、注重分析，讲究方法最值问题是初中数学中的难点之一我们在分析解答时要特别注重分析已知条件，紧扣已有的知识经验，力求做到思路清晰，水到渠成.【试题呈现】已知点与点，，是一平行四边形的四个顶点，则长的最小值为【分析】1、由动点定直线.(“点动成线”)感悟1:动点定直线.感悟2:动点定直线2、由定直线定角度.(一次函数系数为士1时，可能出现特殊角)感悟3:由定直线定角度或.3、已知两个顶点如何作平行四边形?情形一:如图1，两顶点的连线段作为平行四边形的边，使点落在直线上的点处，点落在点处，连结，易得，所以.情形二:如图2，两顶点的连线段作为平行四边形的对角线，在直线上，取点.如何确定点?方法一是平移线段，使点与点重合，得线段;方法二是连结线段，取线段中点;连结并延长一倍至点，连结、.【解答】方法一如图3，要使得的长最小，只要长最小.点是定点，点是直线上的动点，所以，当直线时，长最短.作直线于点，易得，则，所以长的最小值为.方法二如图4，作直线于点.设直线的解析式为，把代入，得到直线的解析式为，与直线的交点坐标为.又因为点的坐标为(4,3)，所以，所以长的最小值为.方法三如图5，平移线段，使点与点重合，得线段;设点的坐标为，根据坐标平移的规律，得到点的坐标为.所以，所以长的最小值为.方法四如图6，作直线于点;作直线于点.由梯形的中位线定理，得到，而，所以，所以长的最小值为.二、最值问题的其它几种方法（一）“作对称”转化最值如图7，在直线上确定点使得最短;〔拓展〕①图8，在射线上确定点，射线上确定点，使得最短;②如图9,，点是上的定点,，在边上分别确定点，使得最短，求这个最短距离;③如图10，，点是上的定点，，在边上确定点，在上确定点，使得最短，求这个最短距离.例1如图4，矩形中，=2,=3，以为圆心，1为半径画圆，是⊙上一动点，是上的一动点，则的最小值是.图4分析类比上述问题，不难将动点转化到定点，构建铺水管最短问题模型.故作关于直线的对称点，连结与的交点即为点.解析作点关于直线的对称点，连结与的交点即为点.在中，,=4,=3，则=5，的最小值为－1=4.评注本题是以矩形为素材的线段和最小值问题，考查了动点转化成定点，利用作对称图化归为铺水管最短问题，培养了学生的建模思想，突出考查学生的几何综合能力.

（二）科用函数性质求最值例2如图5是一种带有黑白双色，边长是20的正方形装饰瓷砖，用这样的四块瓷砖可以拼成如图6的图案.已知制作图5这样的瓷砖，其黑、白两部分所用材料的成本分别为0.02元/和0.0l元/，那么制作这样一块瓷砖所用黑白材料的最低成本是元.(取3.14,结果精确到0.0l元)图5图6解析设图5中扇形的半径为，则正方形边上的另一段线段长为，一块瓷砖的成本为元，则.当时，的最小值为6.73元.评注本题是以正方形为载体的成本最值问题，它是一种难度较大的综合问题.求解的关键是:1、抓住题目中成本单价的单位联系的含义—面积联想构成瓷砖的图形面积;2,借助问题的最低成本，建立函数模型求解最小值.本题将几何问题代数化，突出考查了学生几何、代数知识转化技能及函数思想方法.

（三）取中点转化最值如图11,，矩形的顶点分别在边上.当点在边上运动时，点随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，运动过程中，点到点的最大距离为.〔分析解答〕取线段的中点，连结，这样就将线段最短问题转化成了三角形三边关系的应用，可得，当时，线段的长度最大也即当点在一直线上时点到点的距离最大，最大值等于.〔拓展〕如图12，已知是边长为4的等边三角形，分别是轴上的动点，点在第一象限内，在的运动过程中，则线段的最大值为.

（四）利用特殊位置求最值例3(2010年无锡模拟)如图7，在中，,,,⊙为的外接圆，为上任一点，则四边形的周长的最大值是.图7分析本题四边形的周长中、是半径为定值，是定值5，故周长要想最大，则需要的值最大，其位置应在点处，即可求得的长为的最大值.解析过点作于点,连结.当点在点的位置时，四边形的周长最大为:评注本题是以质点运动为背景的几何图形周长最值问题.解决此类动点问题的关键是分析题意，找到不变的量和变化的量，利用几何图形中的特殊位置确定变量的最值来确定周长的最值.本题突出考查学生的几何识图能力，圆中特殊元素的特征，灵活构建特殊图形模型的意义建构能力.

（五）添辅助圆转化最值1、同一端点出发的等长线段例1如图1，在直角梯形中，，点是线段上一动点，将沿翻折到，连结.当点在上运动时，分别求的最小值.解析如图1，当点在点时，与重合;当点在点时，设点在点处，由翻折可知.所以，点在以为圆心，为半径的圆上，运动轨迹为弧.如图2，点在⊙内，延长交⊙于点.当点在点时最小，最小值为.点在⊙外，设交⊙于点，当点在点时最小，最小值为.设与⊙交点为，当点在点时最小，最小值为.点评当条件中有同一端点出发的等长线段时，根据圆的定义，以该端点为圆心，等长为半径构造圆，将原问题转化为定点与圆上点的距离问题.模型1如图3，点在⊙外，到⊙上各点连线段中最短；如图4，点在⊙内，到⊙上各点连线段中最短.证明在⊙上任取一点，不与点重合，连结，如图3.,得证.如图4,，得证.2、动点对定线段所张的角为定值模型2如图5,为定线段，点为外一动点，为定值，则点形成的轨迹是弧、弧(不含点).证明设⊙为的外接圆，在上方任取三点，点分别在⊙外、⊙上、⊙内.,当为定值时，点形成的轨迹是弧、弧(不含点).=1\*GB3①动点时定线段所张的角为直角例2如图6，正方形边长为2，点是正方形内一动点，，连结，求的最小值.解析为定线段，由模型2可知，点在以为直径的圆上.连交⊙于点，由模型1，当在点处时最短，最小值是.点评当动点对定线段所张的角为直角时，根据直径所对圆周角为直角，以定线段为直径构造圆.

=2\*GB3②.动点时定线段所张的角为锐角例3如图7,，一把直角三角形尺的两个顶点分别在上移动，，求点到距离的最大值.解析如图8,⊙为的外接圆，由模型2知，点的运动轨迹是弧(两点除外).过点作的垂线，垂足为点,交弧于点，当点在点处时，到的距离最大，即为长..,.故到距离的最大值为.点评本题是定长，为定值，利用模型2，找到点的运动轨迹是一段弧，这段弧所在的圆是一个定圆，于是原问题转化为圆上一点到弦的距离问题.模型3如图9,是⊙的一条弦，点是⊙上一动点(不与重合)，过点作，垂足为，交⊙于点在两侧).当点在点处时，点到的距离最大，即为长.证明如图9，作垂足为点,，得证.

=3\*GB3③动点对定线段所张的角为钝角例4如图10，正三角形边长为2，射线，点是射线上一动点(不与点重合)，外接圆交于点，求的最小值.解析如图10,.为定长，点的运动轨迹是弧(不与重合).过点作垂足为，交弧于点，当点在点时最小，最小值为.点评本题将动点转化到动点，且因为,为定长，由模型2可知，点的运动轨迹是弧，这段弧所在的圆是一个定圆.于是，的最小值问题转化为圆外一点到圆上一点的最小值问题，由模型1即可求解.3、动点对定线段所张的角的最值例5如图11，四边形中，均有.在边上，是否存在一点，使得的值最小?若存在，求出此时的值;若不存在，请说明理由.解析当为锐角时，随的增大而减小，求的值最小值，只要求最大值.于是，作中垂线交于点.设三点确定⊙，则⊙切于点.此时上的点(除点)都在⊙外，，所以当点在点处时最大.由题意，可知.设⊙半径为,则，解得，,所以最小值为.点评求动点对定线段所张角的最大值时，以定线段为弦所作的圆与动点所在的直线相切，由同弧所对的圆周角大于圆外角知，动点运动至切点处时所张角最大.

（六）三角函数值转化最值如图14，点在半径为3的⊙内，为⊙上一点，当取最大值时，的长等于.〔分析解答〕过点作于点，则.因为正弦的函数值随锐角角度的增大而增大，所以，由是定值，得知:要使得最大，只需最大.因为点是⊙上的动点，所以，当与重合时，最大，此时，.关于几何类的最值问题，还有如立体图形展开最短路径问题、直线运动求面积的最值问题等等，解题时化动为静，将变化的量通过定量的形式呈现出来，是解决几何类最值问题的常用策略.我们要善于总结规律，就能从根本上提高解题能力.（七）利用几何公理求最值例5如图8(1)，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2,、分别是两底面的直径,、是母线.若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是.(结果保留根号)图8分析本题的难点是考查立体图形中的最短路线，解决的关键是将其转化为平面图形求线段的长度.因此，将圆柱的侧面展开，由于小虫从点出发，从侧面爬行到点只走过了圆柱的半个侧面，故只需处理半侧面上的线段长度计算.解析如图8(2)展开圆柱的侧面成矩形，则最短路线为线段.，又，故在中.答案.评注本题是以空间立休图形为背景的路线最值间题.解决的关键是将立体图形转化为平面图形，利用几何知识中的两点之间线段最短公理，借助直角三角形的勾股定理解决.考查了学生的空间思维能力，以及立体图形与平面图形的转化能力.

（八）利用圆中直径最长求最位例6如图9,是⊙的直径，=4,点在⊙上，,是⊙上一动点，是的中点，连结，则的最小值为.图9分析本题的突破口在于由最⊙的直径联想圆周角，又是