高考数学第一轮复习4 第4讲　直线、平面平行的判定与性质

第4讲直线、平面平行的判定与性质课标要求考情分析1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.直线、平面平行的判定及性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．多出现在解答题的第(1)问，难度中等.核心素养：直观想象、逻辑推理1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)因为l∥a，a⊂α，l⊄α，所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)因为l∥α，l⊂β，α∩β＝b，所以l∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b常用结论1．三种平行关系的转化线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想．2．平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【小题自测】1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α.()(2)若直线l在平面α外，则l∥α.()(3)若直线l∥b，直线b⊂α，则l∥α.()(4)若直线l∥b，直线b⊂α，那么直线l就平行于平面α内的无数条直线．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是()A．直线a上有无数个点不在平面α内B．直线a与平面α内的所有直线平行C．直线a与平面α内无数条直线不相交D．直线a与平面α内的任意一条直线都不相交解析：选D.因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交．3.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．解析：连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案：平行4．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形．答案：平行四边形考点一与平行相关命题的判定(自主练透)1．(巧用结论1)已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理正确的是()A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥bB．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥βC．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥βD．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b解析：选D.选项A中，α∩β＝a，b⊂α，则a，b可能平行也可能相交，故A不正确；选项B中，α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或平面β内，故B不正确；选项C中，a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，根据面面平行的判定定理，再加上条件直线a与直线b相交，才能得出α∥β，故C不正确；选项D为面面平行性质定理的符号语言．2．平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：选D.若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.平行命题的判断(1)解决与平行相关命题的判断问题，以与平行相关的判定定理和性质定理为依据，注意定理中相关条件的检验，必须进行严密的逻辑推理．(2)如果判断某个命题错误，则往往利用正方体或其他几何体作为模型构造反例说明．考点二线面平行的判定与性质(多维探究)考向1线面平行的证明在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D.【证明】(1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，所以HD1∥MC1.又因为在平面BCC1B1中，BM綊FC1，所以四边形BMC1F为平行四边形，所以MC1∥BF，所以BF∥HD1.(2)取BD的中点O，连接EO，D1O，则OE∥DC且OE＝eq\f(1,2)DC，又D1G∥DC且D1G＝eq\f(1,2)DC，所以OE綊D1G，所以四边形OEGD1是平行四边形，所以GE∥D1O.又D1O⊂平面BB1D1D，GE⊄平面BB1D1D，所以EG∥平面BB1D1D.(1)线面平行的证明方法①定义法：一般用反证法；②判定定理法：关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程；③性质判定法：即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面．(2)构造平行直线的常用方法①构建三角形或梯形的中位线：可直接利用线段的中点、等腰三角形三线合一或利用平行四边形对角线的交点找中点，从而构建中位线；②构建平行四边形：可以利用已知的平行关系(如梯形的上下底边平行)或构建平行关系(如构造两条直线同时平行于已知直线)，从而构建平行四边形．考向2线面平行性质的应用如图，在四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，若E为PB的中点，F是PC上的点，且EF∥平面PAD.证明：F为PC的中点．【证明】因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.因为P∈平面PBC，P∈平面PAD，所以可设平面PBC∩平面PAD＝PM，又因为BC⊂平面PBC，所以BC∥PM.因为EF∥平面PAD，EF⊂平面PBC，所以EF∥PM，从而得EF∥BC.因为E为PB的中点，所以F为PC的中点．线面平行性质的应用证明线线平行，常常将线面平行转化为该线与过该线的一个平面和已知平面的交线平行．[注意]应用线面平行的判定定理和性质定理时，一定要注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤．【对点训练】1．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，E，F分别为AB，PC的中点．证明：EF∥平面PAD.证明：方法一：取PD的中点G，连接FG，AG，如图，因为F为PC的中点，所以FG∥CD，且FG＝eq\f(1,2)CD，又AE∥CD，且AE＝eq\f(1,2)CD，所以四边形AEFG为平行四边形，所以EF∥AG，又EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD.方法二：取CD的中点为M，连接FM，EM(图略)，于是EM∥AD，FM∥PD，则EM∥平面PAD，FM∥平面PAD，又EM∩FM＝M，所以平面EFM∥平面PAD，又EF⊂平面EFM，所以EF∥平面PAD.2．(2022·贵阳市适应性考试)如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，AD的中点，G为棱DD1上的动点．当G是DD1的中点时，判断直线BC1与平面EFG的位置关系，并加以证明．解：依题意可以判断，直线BC1与平面EFG平行，证明如下：连接AD1，如图，因为F，G分别是AD，DD1的中点，所以FG∥AD1，又AB∥D1C1，且AB＝D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，所以AD1∥BC1，所以FG∥BC1，又BC1⊄平面EFG，FG⊂平面EFG，所以BC1∥平面EFG.考点三面面平行的判定与性质(思维发散)如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.【证明】(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，所以A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点，连接MD，因为D为BC的中点，所以A1B∥DM.因为A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因为DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.【对点训练】1.如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________．解析：因为平面α∥平面β，所以CD∥AB，则eq\f(PC,PA)＝eq\f(CD,AB)，所以AB＝eq\f(PA×CD,PC)＝eq\f(5×1,2)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)2．(2022·太原市模拟考试)如图，在三棱锥P­ABC中，△PAB是正三角形，G是△PAB的重心，D，E，H分别是PA，BC，PC的中点，点F在BC上，且BF＝3FC.求证：平面DFH∥平面PGE.证明：如图，连接BG，由题意得BG与GD共线，且BG＝2GD.因为E是BC的中点，BF＝3FC，所以F是CE的中点，所以eq\f(BG,GD)＝eq\f(BE,EF)＝2，所以GE∥DF，因为GE⊂平面PGE，DF⊄平面PGE，所以DF∥平面PGE.因为H是PC的中点，所以FH∥PE，因为FH⊄平面PGE，PE⊂平面PGE，所以FH∥平面PGE.因为DF∩FH＝F，所以平面DFH∥平面PGE.[A级基础练]1．下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α解析：选D.A中，a可能在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可能相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．2．(2022·河南安阳第三次联考)已知两条不同的直线l，m和平面α，m⊂α，则l∥α是l∥m的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：选D.若l∥α，不能说明直线l平行于平面α内的任意一条直线，所以不一定有l∥m，故充分性不成立；若l∥m且m⊂α，也不能说明l∥α，因为还有可能l⊂α，故必要性不成立．3．已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βC．若α∥β，a∥α，则a∥βD．若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，则b∥c解析：选D.若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A不正确；若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β或α与β相交，故B不正确；若α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β，故C不正确；如图，由a∥b可得b∥α，又b⊂γ，α∩γ＝c，所以b∥c，故D正确．4．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A．平行 B．相交C．在平面内 D．不能确定解析：选A.如图，由eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FB)得AC∥EF，又因为EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，所以AC∥平面DEF.5．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，eq\f(PF,FC)＝()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)解析：选D.连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(AG,GC).又AD∥BC，E为AD的中点，所以eq\f(AG,GC)＝eq\f(AE,BC)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(1,2).6．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度为________．解析：因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以F为DC的中点．故EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).答案：eq\r(2)7．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________．(填序号)解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③8.如图所示，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，FH∩HN＝H，DD1∩BD＝D，所以平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.答案：点M在线段FH上(或点M与点H重合)9.在如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A′B′C′D′.(1)要经过平面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线与平面ABCD是什么位置关系？并证明你的结论．解：(1)过点P作B′C′的平行线，交A′B′，C′D′于点E，F，连接BE，CF.作图如右：(2)EF∥平面ABCD.理由如下：因为BC∥平面A′B′C′D′，又因为平面B′C′CB∩平面A′B′C′D′＝B′C′，所以BC∥B′C′，因为EF∥B′C′，所以EF∥BC，又因为EF⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.10．(2022·河南六市3月联考)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝90°，P，Q分别为DE，AB的中点．(1)求证：PQ∥平面ACD；(2)求几何体B­ADE的体积．解：(1)证明：取BC的中点O，连接OQ，OP(图略)，因为Q为AB的中点，所以OQ是△ABC的中位线，所以OQ∥AC，因为AC⊂平面ACD，OQ⊄平面ACD，所以OQ∥平面ACD.因为EB∥DC，P是DE的中点，所以OP是梯形BCDE的中位线，所以OP∥CD，因为DC⊂平面ADC，OP⊄平面ADC，所以OP∥平面ACD.在平面POQ中有两条相交直线OQ，OP都和平面ACD平行，所以平面OPQ∥平面ACD，因为PQ⊂平面OPQ，所以PQ∥平面ACD.(2)由EB∥DC可得DC∥平面ABE，故D，C两点到平面ABE的距离相等，所以VB­ADE＝VD­ABE＝VC­ABE＝VE­ABC.由DC⊥平面ABC，DC∥EB可得EB⊥平面ABC.VE­ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AC·BC·BE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(4,3).所以几何体B­ADE的体积为eq\f(4,3).[B级综合练]11.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点．则下列叙述中正确的是()A．直线BQ∥平面EFGB．直线A1B∥平面EFGC．平面APC∥平面EFGD．平面A1BQ∥平面EFG解析：选B.过点E，F，G的截面如图所示(H，I分别为AA1，BC的中点)，则BQ和平面EFG相交于点Q，故A错误；因为A1B∥HE，A1B⊄平面EFG，HE⊂平面EFG，所以A1B∥平面EFG，故B正确；AP⊂平面ADD1A1，HG⊂平面ADD1A1，延长HG和AP必相交，故平面APC和平面EFG相交，故C错误；平面A1BQ与平面EFG有公共点Q，故平面A1BQ与平面EFG相交，故D错误．故选B.12．在正四面体S­ABC中，M，E，F分别是SA，AB，AC的中点，当点P在线段EF上运动时，直线MP与平面SBC的位置关系是________．解析：连接ME，MF(图略)，因为M，E，F分别是SA，AB，AC的中点，所以ME∥SB，MF∥SC，而ME∩MF＝M，SB∩SC＝S，ME，MF⊂平面MEF，SB，SC⊂平面SBC，所以平面MEF∥平面SBC，又点P在线段EF上，即MP在平面MEF内，所以由面面平行的性质定理可得MP∥平面SBC，故直线MP与平面SBC的位置关系是平行．答案：平行13．(2022·合肥市第一次质量检测)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，点E，F，G分别为PD，AB，AC的中点．(1)求证：平面EFG∥平面PBC；(2)若PA＝AD＝DC＝eq\f(1,2)BC＝2，求点F到平面AEG的距离．解：(1)证明：因为点F，G分别为AB，AC的中点，所以FG∥BC.因为FG⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以FG∥平面PBC.如图，延长FG交CD于点H，连接EH.因为GH∥BC，AD∥BC，所以GH∥AD.因为G是AC的中点，所以H是CD的中点．又E是PD的中点，所以EH∥P