3.3 幂函数（解析版）-高中数学人教A版（2019）必修第一册

3.3《幂函数》分层练习考查题型一幂函数的概念1．现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【详解】由于幂函数的一般表达式为：；逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个.(多选题)2.下列说法正确的是（

）A．若幂函数过点，则B．函数表示幂函数C．若表示递增的幂函数，则D．幂函数的图像都过点，【答案】AC【详解】对于A，设，则，即，解得，，A正确；对于B，函数不是幂函数，B错误；对于C，是幂函数，则，解得或，当时，在上单调递减，不符合题意，当时，是R上的增函数，符合题意，因此，C正确；对于D，幂函数不过点，D错误.故选：AC3.若是幂函数，则＝.【答案】/0.25【详解】由题意得，解得，故，所以故答案为：4．已知幂函数在为增函数，则实数a的值为.【答案】4【详解】因为为幂函数，所以，解得或，又在为增函数，所以；故答案为：4.考查题型二幂函数的图象及应用1.右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（

）

A．，，1，2 B．2，1，，C．，，2， D．2，，，【答案】B【详解】函数在第一象限内单调递减，对应的图象为；对应的图象为一条过原点的直线，对应的图象为；对应的图象为抛物线，对应的图象应为；在第一象限内的图象是；所以与曲线对应的n依次为2，1，，.故选：B2．若幂函数的图象经过第三象限，则a的值可以是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【详解】当时，为偶函数，图象在第一和第二象限，不经过第三象限，A不合题意；当时，为偶函数，图象过原点分布在第一和第二象限，图象不经过第三象限，B不合题意；当时，，图象过原点分布在第一象限，不经过第三象限，C不合题意；当时，为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，D符合题意，故选：D3．当时，幂函数的图象不可能经过第象限.【答案】四【详解】因为的图象经过第一、三象限，的图象经过第一象限，的图象经过第一、二象限，所以幂函数，的图象不可能经过第四象限，故答案为：四4.图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（

）A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3【答案】D【详解】由题图知：，，，所以，，依次可以是，，3．故选：D考查题型三利用幂函数的单调性比较大小1．设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，，，又，在上单调递增，所以．综上，．故选：A．2．已知，，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题得，，，，因为函数在上单调递增，所以．又因为指数函数在上单调递增，所以．故选:D．3.判断大小：.(填“”或“”)【答案】【详解】由在上递减，又，所以.故答案为：4．已知幂函数的图象过点，则与的大小关系是．【答案】【详解】设幂函数为，因为幂函数的图象过点，可得，解得，所以幂函数为，此时函数的偶函数，且当时，函数是减函数，则，所以.故答案为：.考查题型四幂函数性质的综合应用1．以下函数中，在上单调递减且是奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】A选项，在R上单调递减，且，故是奇函数，满足要求，A正确；B选项，定义域为R，且，故为偶函数，B错误；C选项，定义域为R，且，故为偶函数，C错误；D选项，在上单调递增，D错误.故选：A2.幂函数的图像过点，则它在上的最大值为（

）A． B．－1 C．1 D．－3【答案】C【详解】设幂函数，将代入，得：，解得：，故，它在上单调递减，故当时，取得最大值，.故选：C3.已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设幂函数，其图象过点，所以，解得，所以.因为，所以为奇函数，且在上单调递增，所以可化为，可得，解得，所以的取值范围为.故选:C.4.请写出一个满足条件①和②的幂函数，条件：①是偶函数；②为上的增函数．则．【答案】（答案不唯一）【详解】设，根据幂函数为偶函数，则为偶数，又为上的增函数，则为上单调递减，故，故可取，故答案为：（答案不唯一）5．若＜，则实数m的取值范围．【答案】【详解】因为幂函数的定义域是{x|}，且在(0,+∞)上单调递增，则原不等式等价于，解得，所以实数m的取值范围是.故答案为：.6.已知幂函数在上是减函数，.(1)求的解析式；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【详解】（1）由函数为幂函数得，解得或，又函数在上是减函数，则，即，所以，；（2）由（1）得，所以不等式为，设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，所以解得，所以实数的取值范围是.7．已知幂函数的图象经过点.(1)求的解析式:并判断它的奇偶性（不证明）；(2)若，求a的取值范围.【答案】(1)，非奇非偶函数；(2)【详解】（1）设幂函数，将代入可得，解得，故，此函数为非奇非偶函数，理由如下：因为定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；（2）在上单调递增，，故，解得，即的取值范围是.1．已知幂函数过点，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设，则，则，，由可得，解得，因此，不等式的解集为.故选：C.2．函数在上是（

）A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数【答案】A【详解】因为，令，因为关于原点对称，所以，所以是奇函数，又因为，所以在是增函数故选：A.3.已知函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是．【答案】【详解】由于在区间上是严格增函数，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：4．设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为．【答案】1【详解】由题意知，，设，则，因为，所以为奇函数，所以在区间上的最大值与最小值的和为0，故，所以．故答案为：1.5.已知幂函数在上单调递减.(1)求的解析式；(2)求不等式的解集