4.1数列的概念（练习）解析版-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

.1数列的概念考点01：数列的概念及辨析1．数列的通项公式（1）一般地，如果数列的与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式.（2）数列可以看成一类特殊的函数，其定义域为.（3）数列的图象是.【答案】第项或散点图2．下列叙述正确的是（

）A．数列是递增数列B．数列的一个通项公式为C．数列是常数列D．数列与数列是相同的数列【答案】A【分析】分别应用递增数列、数列的通项公式、常数列、数列的概念进行判断即可.【详解】对于选项A，令，则，所以数列是递增数列.故选项A正确；对于选项B，，所以不是数列的一个通项公式.故选项B错误；对于选项C，常数列是每一项都是同一个常数的数列，显然数列不是常数列.故选项C错误；对于选项D，数列是按照一定顺序排列的一列数，与顺序有关系，数列与数列的数字相同，但是顺序不相同，所以是不同的数列，故选项D错误.故选：A.考点02：根据规律填写数列中的某项3．设数列满足，且，则．【答案】【分析】根据给定的递推公式，求出数列的周期即可计算作答.【详解】，，显然，否则，矛盾，则，于是，因此是周期为4的周期数列，所以.故答案为：4．观察下面数列的变化规律，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式．(1)（

），7，12，（

），22，27，…；(2)，，（

），，，，（

），…；(3)1，，（

），2，，（

），，…；(4)，，（

），，…．【答案】(1)2，17，(2)，，(3)，，(4)，【分析】（1）由，可知相邻两项的差相等，进而可得通项公式；（2）把写成，分析规律可得结果；（3）由，，分析规律即可得通项公式；（4）由，可得数列的通项公式.【详解】（1）因为，，原数列为2，7，12，17，22，27，…，相邻两项的差都是5，故.（2）由，原数列可化为，，，，，，，…，可得.（3）由，，原数列可化为，，，，，，，得.（4）因为原数列可化为，，，，…，所以.考点03：判断数列的增减性5．已知，则数列是（

）A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．不确定【答案】A【分析】根据递增数列的定义即可判断出答案.【详解】由题意可知，即从第二项起数列的每一项比它的前一项大，所以数列是递增数列；故选：A6．已知数列的通项公式为．(1)数列从第几项起各项的数值逐渐增大？(2)数列的哪些项为正数？(3)数列中是否存在数值与首项相同的项？【答案】(1)(2)及其时，.(3)存在，【分析】（1），利用二次函数的单调性即可得出答案；（2）令，解得即可得出答案；（3）令，解得.【详解】（1），数列从第项起各项的数值逐渐增大.（2）令，解得：或，因此及其时，.（3），令，解得：或，因此数列中存在数值与首项相同的项，.考点04：确定数列中的最大(小)项7．已知数列的通项公式为，判断该数列是否有最大项．若有，指出第几项最大；若没有，试说明理由．【答案】有最大项，第8项和第9项最大【分析】利用作差法分析得的增减情况，从而得解.【详解】因为，所以，所以当时，，当时，，即；当时，．所以数列有最大项，第8项和第9项最大．8．已知数列的通项公式为，试判断数列的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项．【答案】详见解析【分析】由判断判断单调性后即可得最值.【详解】解：，当时，，即，当时，，即，当时，，即，所以在时单调递增，在时单调递减；所以数列的最大项为，又，当，，所以数列的最小项为.考点05：有穷数列和无穷数列9．已知函数，设，则下列说法中错误的是（

）A．是无穷数列 B．是递增数列C．不是常数列 D．中有最大项【答案】D【分析】根据无穷数列的概念可知A正确；由恒成立可知B正确；根据常数列的概念可知C正确；根据数列的单调性可知D错误.【详解】对于A，显然是无穷数列，故A正确；对于B，因为，即，即是递增数列，故B正确；对于C，因为，，，故不是常数列，故C正确；对于D，由B知，是递增数列，当趋近于无穷大时，也趋近于无穷大，所以中无最大项，故D错误.故选：D10．下列结论中，正确的是（

）A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数B．数列的项数一定是无限的C．数列的通项公式的形式是唯一的D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式【答案】A【分析】利用数列的定义判断A；举例说明判断BC；写出数列通项公式判断D作答.【详解】对于A，由数列定义知，A正确；对于B，数列只有5项，该数列项数有限，B错误；对于C，数列的通项公式可以为，也可以为，该数列通项公式不唯一，C错误；对于D，该数列的通项公式可以为，D错误.故选：A考点06：判断或写出数列中的项13．在数列中，，，通项公式，其中p，q为常数，．(1)求的通项公式；(2)88是否是数列中的项？【答案】(1)(2)88不是数列中的项【分析】（1）将，代入到通项公式中，联立成方程组，求解出参数p，q，从而得出通项公式；（2）令，解出的值，若为正整数，则是数列中的项；若不是正整数，则不是数列中的项.【详解】（1）解：因为，，通项公式，所以，解得，，所以；（2）令，解得，因为，所以88不是数列中的项.14．已知无穷数列，，，…，，…．(1)求这个数列的第10项和第31项．(2)是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？(3)证明：不是这个数列中的项．【答案】(1)，(2)是这个数列中的第项(3)证明见解析【分析】（1）由数列的定义得到该数列的通项公式，从而求得其第10项和第31项；（2）将代入该数列的通项公式，从而得解；（3）将代入该数列的通项公式，从而得证.【详解】（1）因为无穷数列，，，…，，…，所以该数列的通项公式为，则，.（2）因为，将代入，得，解得或（舍去），所以是这个数列中的第项.（3）因为，将代入，得，即，解得（负值舍去），又，故也不满足题意，所以不是这个数列中的项.考点07：累加法求数列通项13．在数列中，，且，求数列的通项公式．【答案】【分析】根据已知，利用累加法求数列的通项公式．【详解】由题设，所以且，显然满足上式，所以14．已知数列满足（），且，求数列的通项公式．【答案】（）．【分析】利用累加法以及裂项相消法求解通项公式.【详解】由题意得（），即，，，，所以个式子累加得，因为，所以（），因为，所以（），又当时，，所以（）．考点08：根据数列递推公式写出数列的项15．若数列是常数列，且满足，则．【答案】2【详解】根据常数列的性质易知，则或0．又，故．故答案为：2.16．设数列中，，（且），则（

）A．-1 B． C．2 D．【答案】C【分析】通过递推式求出数列的周期，然后利用周期性求值即可.【详解】因为，（且），所以，，，，，，所以数列是周期为3数列，所以.故选：C.考点09：由递推关系式求通项公式17．已知为数列的前n项积，且，则．【答案】【分析】分和两种情况，结合的定义运算求解.【详解】当时，则；当时，则；注意到也符合上式，所以.故答案为：.18．已知无穷数列满足，则首项的取值范围是．【答案】【分析】就、分类讨论讨论可得的取值范围.【详解】情形一，则，符合题意，情形二，则．根据题意，，于是，因此，于是．综上所述，的取值范围是．故答案为：．考点10：由递推数列研究数列的有关性质19．数列满足，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题设递推式可得数列具有周期性，周期为4，进而求解即可.【详解】由，因为，所以，，，，，所以数列具有周期性，周期为4，所以．故选：C.20．（多选）已知数列满足，，记数列的前n项和为，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由递推公式一一列举可推出A项，并推出数列的周期性，从而可判定B项、C项，对递推公式变形化简可判定D项.【详解】由，，得，，故A正确；又，所以数列是以3为周期的周期数列，所以，故B正确；，故C错误；因为，，所以，故D正确．故选：ABD．考点11：求递推关系式21．若（是正整数），则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，求得，确定两者之间相关联的项，即可得所求.【详解】解：.故选：C.22．2500多年前的古希腊毕达哥拉斯学派在研究数时，喜欢把数描述成沙滩上的小石子．他们发现1，3，6，10，15，…这些数量的石子，都可以排成三角形（如图），并称这样的数为“三角形数”，记图中小圆的个数依次构成数列，试写出数列的一个递推关系．

【答案】，为数列的一个递推关系．【分析】结合题意，观察图形找到规律，从而得解.【详解】依题意，可知，，，，，，而且，由图可知，在第个“三角形数”图案的下面添加个小圆，即得到第个“三角形数”图案，因此，为数列的一个递推关系．考点12：递推数列的实际应用23．“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法.例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为36，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，……，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推.现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列用来研究数据的变化，已知，则（

）A．324 B．297 C．256 D．168【答案】A【分析】根据“三分损益法”的规律可得出数列中各项的关系，代入计算即可.【详解】由损益规律可知，即，解得.故选：A24．唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说.《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事.诗云：今携一壶酒，游春郊外走.逢朋加一倍，入店饮半斗.注：古代一斗是10升.大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍（假定每次加酒不会溢出），再喝掉其中的5升酒.那么根据这个规则，若李白酒壶中原来有酒6升，将李白在第5家店饮酒后所剩酒量是（

）A．37升 B．21升 C．26升 D．32升【答案】A【分析】先根据题意将李白在每家店饮酒后所剩酒量构造成一个数列，进一步根据题意列出关于数列的递推公式，进一步计算出首项的值，然后根据递推公式逐项代入即可得到的值，即李白在第5家店饮酒后所剩酒量.【详解】由题意，可将李白在每家店饮酒后所剩酒量构造成一个数列，则李白在每家店饮酒后所剩酒量均为在前一家店饮酒后所剩酒量的2倍减去5，即，，，.故李白在第5家店饮酒后所剩酒量是37升.故选：A.考点13：累乘法求数列通项25．（多选）已知数列满足，，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】将代入可知A正确；利用递推公式可得当时满足，即B错误；利用累乘可得，即可知C错误，D正确.【详解】易知时，，所以A正确；根据可得，，两式相减可得，可得，即，所以B错误；累乘可得，即，又，所以可得，即C错误；所以数列的通项公式为，即D正确.故选：AD26．若数列中各项均不为零，则有成立．试根据这一结论求解：已知数列满足，，求通项公式．【答案】【分析】根据题意，由迭代法代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，当时，，即，且，所以，当时，也满足，所以.考点14：利用an与sn关系求通项或项27．已知数列的前项和为，则数列的通项公式.【答案】【分析】利用的关系可求通项公式.【详解】当时，；当时，；显然时也符合上式，所以.故答案为：28．已知数列的前项之积为，且．(1)求数列和的通项公式；(2)求的最大值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用退一作差法求得，由求得.（2）先判断的单调性，由此求得的最大值.【详解】（1）①，②，①-②可得也满足上式，③．数列的前项之积为当时，，代入③可得，．（2），，，，即单调递减，的最大值为．考点15：观察法求数列通项29．数列-4，7，-10，13，…的一个通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据数列中数据特征得到通项公式.【详解】由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该是，数值4，7，10，13，…满足，所以通项公式可以是．故选：B．30．写出下面数列的一个通项公式：(1)，，，，，…；(2)1，，，，，…；(3)6，66，666，6666，66666，…；(4)2，0，2，0，2，…．【详解】（1）该数列的分子成公差为2的等差数列，分母成公比为2的等比数列，则（2）该数列是正负交错的摆动数列，被开方次数依次递增，故（3）9，99，999…的一个通项公式为则6，66，666…的一个通项公式为（4）1，-1，1，-1，1，…．的一个通项公式为，则2，0，2，0，2，…．的一个通项公式为.考点16：定义法求数列通项31．已知数列中，，，通项是项数的一次函数，(1)求的通项公式，并求；(2)若是由组成，试归纳的一个通项公式．【详解】（1）设,则，解得，∴,.（2）∵为∴归纳的一个通项公式为.32．在数列中，已知，且.(1)求通项公式.(2)求证：是递增数列.【详解】（1）由，且可得，解得；因此.所以，数列的通项公式为（2）根据递增数列的定义可知，，即，故是递增数列.考点17：数列周期性的应用33．已知数列满足，若，则（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】从特殊到一般的思想方法，求出几项的值寻找规律.【详解】因为，，所以；所以的周期为3，所以.故选：A.34．已知在数列中，，，则数列的周期为

（

）A．3 B．6 C．9 D．15【答案】B【分析】构造数列，通过正切函数的周期性可得.【详解】由联想到两角和的正切公式，