2022年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题（学生版+解析版 word版含解析）

2022年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）己知集合P={0,1,2),e={l,2,3),则png=({0)B.{0,3)C.{1,2}D.(0,I,2,3)2.函数的定义域是A.{x\x<2]B.(x|x>2)C.RD.{x\x^2}.函数=Tx的图象大致是（己知aWR,则cos(.Tt-a)=(A.sinaB.-sinaC.cosaD.-cosa5.己知圆M的方程为（x+l）2+。一2）2=4,则圆心M的坐标是（A.(一1,2)B.(1,2)C.(1,-2)D.(-1,-2)6.某几何体的三视图如图所示，则这个儿何体可能是（A棱柱B.圆柱C.圆台D.球7.巳知函数y=2ax3（«>0）,则此函数是（）偶函数且（-8,+8）上单调递减C,奇函数且在（・8,w）上单调递减8-不等式x2-4xvO的解集是（）（0,4） B.（T,0）偶函数且在（-8,MD）上单调递增I）.奇函数旦在（・8,ho）上单调递增（-00,4） D.（-oo,0）U（4,+oo）9.设A,8是平面上距离为4的两个定点，若该平面上的动点P满足\\PA\-\PB\\=3,则P点的轨迹是（A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线10.不等式组丿x-2y+5>0x+y+2<0表示的平面区域是（10.不等式组丿x-2y+5>0x+y+2<0表示的平面区域是（A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件为了得到函数y=cosl ）的图象，可以将函数y=cosx的图象（）A.向左平移;个单位长度A.向左平移;个单位长度B.向右平移:个单位长度c.向左平移c.向左平移g个单位长度d.向右平移&个单位长度己知函数f（x）=x1-2ax+b在区间（-co,1］是减函数，则实数。的取值范围是（A.[1,+8)(-co,I][-1A.[1,+8)(-co,I][-1,+8)(-co,-I]己知向量厲满足同=4,料=6,卞+牛8,贝iJp-Z?|=()A.2 B.2面 C.8 D.4面如图，正方体ABCD-^B^D,中，N是棱DQ的中点，则直线CN与平面DBBQ】所成角的正弦值等于（）B.Vio5c.匝B.Vio5c.匝5D.匝516.若log2（2'-l）-xvlog2（/l2+3/l）对任意xg（O,-w）恒成立，则人的取值范围是（16.A.17.B.（0,；）A.17.B.（0,；） C.（!，+8）—•. "•I 1 —• *己知单位向量不共线，且向量。满足kl=--若|。一人弓+（/1-1）/12嘉对任意实数人都成立，则D.向量乌,。2夹角的最大值是（n 卜2預 八3兀A— B.— C.—2 3 4通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2,3之间插入2与3的积6,得到数列2,6,3；第2次,在2,6,3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2,12,6,18,3；类似地，第3次操作后，得到数列：2,24,12,72,6,108,18,54,3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为｛%｝,则《。25的值是A.6 B.12 C.18 D.108二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）若数列｛%｝通项公式为劣=2〃，记前〃项和为S,,,则角二 ;S,= .在MBC中，角人，8,C所对的边分别为b,c.若a=2,A=45。，8=60。，则际 .

设椭圆W+g=W>人>0)左、右焦点分别为鸟上.己知点狄(0,半。)，线段M用交椭圆于点P，。为坐标原点.若”。|+|辫|=2“，则该椭圆的离心率为 .如图，E,F分别是三棱锥V-ABC两条棱AB,VC上的动点，且满足EF=2xAV+yBC(x>0,y>0)则?+y 求P的值；的最小值为 求P的值；三、解答题(本大题共3小题，共31分)己知函数/(%)=3sin(2x+—),xeR.6(|)求7*(0)的值；(2)求f(x)的最小正周期.如图，己知抛物线C：y 设过焦点F的直线I与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点，记 设过焦点F的直线I与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点，记AAW的面积为S,当|网|囹=6S时,求直线/的方程.己知函数f(x)=\x-a\--+a,aeR.若/(I)=2,求。的值；若存在两个不相等的正实数也,易，满足fW=f(x2),证明：①2vm+工2v2“；@—<a2+12022年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.己知集合P={0,2),Q={\,2,3),则1.己知集合P={0,A.{0)B.{0,3)C.{1,2)A.{0)B.{0,3)C.{1,2)D.{0,1,2,3|【FC【解析】【分析】根据题设,结合集合交集的概念，可得答案.【详解】p={0,1,2),Q={\,2,3)故选：C.2|;函数/(x)=己的定义域是A.{x\x<2}B.{x\x>2)C.RD.{x\x^2]【答案】【分析】由x—2/O,即可得出定义域.【分析】由x—2/O,即可得出定义域.【详解】・.*2/0即函数S=M的定义域为ES}故选：D【点睛】本题主要考查了求具体函数的定义域，属于基础题.函数y=2~x的图象大致是（）

【解析】【解析】【分析】根据函数的解析式可得函数_y=2-（是以3为底数的指数函数，再根据指数函数的图像即可得出答案.【详解】解：由y=2~x=-,得函数_v=2-'是以言为底数的指数函数,、2丿旦函数为减函数，故D选项符合题意.故选：D.已知aWR,则cos=(A.sin«B.-sinaC.cosaD.-cosaA.sin«B.-sinaC.cosaD.-cosa【分析】利用诱导公式可以直接求出结果.【详解】因为COsS-Q）=-COSQ,则圆心M的坐标是（则圆心M的坐标是（己知圆M的方程为（X+1）2+（）」2沪=4,A.(-1,2)B.(1,2)A.(-1,2)B.(1,2)C.(1,-2)D.(-1,-2)【’幻A【解析】【分析】根据圆的标准式，即可得到圆心的坐标.【详解】•.•（工-"）2+（），-人）2=产的圆心坐标为（d,b）;a(x+l)2+(y-2)2=4的圆心坐标为(-1,2)；故选：A.某几何体的三视图如图所示，则这个儿何体可能是（

侧视图侧视图A.棱柱 B.圆柱 C.圆台 D.球【答案】C【解析】【分析】根据几何体的特征可以直接求出結果.【详解】由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，则该几何体可以是圆台.故选：C.已知函数y=2ax3(G>0),则此函数是()A.偶函数且在(-00,+00)上单调递减 B.偶函数且在(-8,+00)上单调递增C.奇函数且在(-8,+co)上单调递减 D.奇函数且在(-8,+00)上单调递增【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义和幕函数的单调性可得选项.【详解】解：令y=f(x)=2ax},则函数y=f(x)=2axi的定义域为R,且f(-x)=2«(—x)3=—2ax3=—/(x),所以函数y=f(x)=2ax3是奇函数，又因为">0,所以函数y=f(x)=2axi在(-a+口)上单调递增，故选：D.不等式x2-4x<。的解集是()A.(0,4) B.(-4,0) C.(f,4) D.(-<o,0)u(4,+oo)【解析】【分析】根据一元二次不等式求解的方法计算求解.【详解】x2-4x<0=>x（x-4）<0,解得0vx<4,所以解集为（0,4）,故选：A设A,8是平面上距离为4的两个定点，若该平面上的动点P满足||/^|-|PB||=3,则P点的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义即可得出答案.【详解】解：因为网-网|=3v4,所以P点的轨迹是双曲线.故选：C.x-2y+5>0不等式组〈 c八表示的平面区域是（）x+y+2<0【答案】B【解析】【分析】画出直线x-2>-+5=0与x+y+2=0,再代入（0,0）点判断不等式是否成立，从而判断出x-2y+5>0与x+y+2v0的平面区域.【详解】画出直线工一2>+5=0,经过一、二、三象限，对应图中的实线，代入（0,0）可得5>0成立，所

以x-2y+5>0表示的区域为直线x-2y+5=0及直线右下方；画出直线x+y+2=0,经过二、三、四象限，对应图中的虚线，代入（0,0）可得2v0不成立，所以x+y+2v0表示的区域为直线x+y+2=0及直线左下方，所以对应的平面区域为B.故选：B己知空间中两条不重合的直线"则密与b没有公共点:是的（B.必要不充分条件充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.C.充要条件【答案】B【解析】【分析】由直线〃与8没有公共点表示两条直线。/妨或者。与b是异面直线，再根据充分必要性判断.【详解】"直线。与b没有公共点''表示两条直线。//D或者。与。是异面直线，所以“0与b没有公共点''是“。//。”的必要不充分条件.故选：B为了得到函数y=cospT为了得到函数y=cospT的图象，可以将函数y=cosx的图象（A.向左平移;个单位长度A.向左平移;个单位长度向右平移:个单位长度向左平移三个单位长度【答案】向左平移三个单位长度【答案】DD.向右平移§个单位长度【解析】【分析】函数v=cosx中的x替换为工-石，可得到函数y=cosX--.根据“左加右减”平移法则可得到图象的平移变换方法.【详解】函数y=cosx中的x替换为T，可得到函数y=cos"T因此对应的图象向右平移移!个单位长度，可以将函数尸cosx的图象变为函数y=cos^-|j的图象,故选：D己知函数f（x）=x1-2ax+b在区间（g1］是减函数，则实数。的取值范围是（）

A.[1,+co) B.(-00,1] C.[-1,+co) D.(-co,-1]【答案】A【解析】【分析】由对称轴与1比大小，确定实数"的取值范围.【详解】/(工)=尸一2設+b对称轴为工=。，开口向上，要想在区间(-8,1]是减函数，所以。故选：A己知向量5满足同=4,时=6,|。+』=8,则p-b|=()A.2 B.2面 C.8 D.4而【答案】B【解析】【分析】利用向量的数量积运算和模的运算法则可得]；-«+&+«=2何+2冃2,由此根据己知条件可求得答案.【详解】•.•&-«+$+«=(甘_2師尔附+仰+2豳+旳=2何+2狀,又・.・"|=4,伍|=6,|成+5|=8*+64=2x16+2x36=104,/.|a-i|2=40,.・.&-；=2而，故选：B.如图，正方体ABCD-A^C^r|«,N是棱Q0的中点，则直线C7V与平面DBB.D.所成角的正弦值等于()玖 C；C而玖 C；C而 C应 D2应— •1- •5【答案】B【解析】【分析】通过连接AC、交于。的辅助线，确定CN与平面DBB\R所成的角，再设正方体棱长为2,根据CN与CO长度的关系，即可得出所求角的正弦值；【详解】连接AC、剧9交于0,由正方形的性质可得CO丄又BB］丄平面ABCD,COu平面ABCD,..BB］丄CO,又・.・8月与BQ在平面DBB、D\内相交，所以CO丄平面D明以/CNO是CN与平面DBBq所成的角，设正方体的棱长为2,则cn=bco=e•coV2Vio

smZ.CNO=——=—==,CN^5 5故选：B.A GA GC若log2(2'-l)-x<log2(/l-2v+32)对任意xg(O,4^>)恒成立，则；l的取值范围是()A.(*E【答案】AA.(*E【答案】AB.(0*)【解析】【分析】将不等式转化为log?<log2以2+3人）,根据y=log2x在（0,+8）上单调递增,可得2'一1〈（2、+3以，参变分离后令t=2x（t>\）,可转化为 在（1,*q）上恒成立，利用基本不等式求解布习的最大值，即可得人的取值范围•【详解】由10g2（2'-1）7vlog02+3/l）,可得10^（2*-1）-log22'<log2（2-2x+3/1）,所以log2^^-<log2（2-2x+32）,因为函数y=log2x在（0,+8）上单调递增，所以2A-12（_1<（2*+3）/1=>——<2在（0,+8）上恒成立，令t=2x（t>\）,则-^-<2在（1,用）上2・（2+3） /（/+j）r-1恒成立，令尸6=（一）+4.s,则尸厲当且仅当r-1 "1Vz-l，=3,即x=log23时，取等号，所以2>-,故选：A—•—• _ —•I —•—• —*I17.己知单位向量％2不共线，且向量。满足1^1=-.若|。-形+（人-1区2天对任意实数久都成立，则向量弓,?2夹角的最大值是（A.—2【答案】BB•夸【解析】一稻+S—1）勺|专两边平方化简可得|（人一1）公一/1个;，再平方化简整理得3（2-2cos022+（2cos6?-2）2+->0恒成立，然后由^它。可求出cos。的范围，从而可求出。的最大值4【分析】对|方【详解】设向量爲甘夹角为。，设向量分与（九一1）耳一人公的夹角为。，［（人—1）^,—人乌］_=（人—1）~—22（4—1）cos0+A~=2Z~—2人+1—2A（A—1）cos0,由"一万;+（人一1）公|2：,得4a+2a•［（人—Dq—人弓］+［（人一1）。，—人弓— ，所以^|(2-1)^-2^|COS6Z+[(人一1)。2一九乌]N0,所叫(2-1)^- >-^cosa,所以|(人一1)公一同2,!海。XL/max所以g_i)a-瞞|具，所以222-22+1-22(2-l)cos<9>-对任意实数；.都成立，4即(2—2cos〃)人2+(2cosQ—2)4+己20恒成立，4当2-2cosQ=0,即cos0=l,得0=0,上式恒成立，当2—2cos9>0时，即cosOvI,A=(2cos6^-2)2-3(2-2cos^)<0,(cos0-l)(2cos〃+l)<0,所以得一—<cos^<l,2因为。£[0,勿],所以0<。〈号综上，0<<—，3所以向量a，a夹角的最大值是专，故选：B通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2,3之间插入2与3的积6,得到数列2,6,3；第2次，在2,6,3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2,12,6,18,3；类似地，第3次操作后，得到数列：2,24,12,72,6,108,18,54,3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为{%},则％。小的值是()A.6 B.12 C.18 D.108【答案】A【解析】【分析】设数列经过第〃次拓展后的项数为如，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第〃+1次拓展后增加的项数为如T,从而可得bz=b“+b“_l=2b"T,从而可求出如=2”+1,从而可知经过11次拓展后在2与6之间增加的数为2J，由此可得出经过11次拓展后6所在的位置,即可得出答案.【详解】解：设数列经过第〃次拓展后的项数为。“，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第"+1次拓展后增加的项数为勿-1,所以如=如+勿-1=2如一1，b_1即妬_1=2（侃—1）,即爲？=2,所以数列｛如-1｝是以々=2为首项，2为公比的等比数列，是以如-1=2”,所以如=2”+1,则经过11次拓展后在2与6之间增加的数为2J，所以经过11次拓展后6所在的位置为第2,0-1+1+1=2|（,+1=1025，所以《025=6.故选：A.二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）若数列｛%｝通项公式为弓=2〃，记前〃项和为S,，则小= ;54= .【答案】 ①.4 ®.20【解析】【分析】根据数列的通项公式直接求出的即可，易得数列｛%｝是以2为首项2为公差的等差数列，再根据等差数列的前〃项公式即可得岀答案.【详解】解：因为％=2〃，所以向=4,又％1-％=2,苗=2,所以数列｛%｝是以2为首项2为公差的等差数列， 则S4=4Si；%）=2x（2+8）=20.故答案为：4：20.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为。，h,c.若o=2,A=45。，8=60。，则辰 .【答案】＞/6【解析】

分析】直接利用正弦定理即可得出答案.【详解】解：因为。=2,A=45°,B=60。，_9_=M_sinAsinB故答案为：\[6.2L设椭圆沁=1(〃>b>0)故答案为：\[6.2L设椭圆沁=1(〃>b>0)的左、右焦点分别为K.已知点M(0,。)，线段必入交椭圆于点p,。为坐标原点.若|pq+|p用=2“，则该椭圆的离心率为 .【答案】:##0.5【解析】【分析】由椭圆定义和题干中的|PO|+|PK|=2a可得到\PF21=|PO\,进而得出点P的坐标，代入椭圆方程化简可得到离心率.【详解】根据椭圆定义知|P^|+|P川=&，又・.・|Pq+|PK|=2〃，.•.|P0|=|PO|,f"1 1-=ln—7=—=e=—a24 2由三角形A/O%为直角三角形可得点P是M凡的中点,•.・E(c,0),「.P(§孚)，把点F代入椭圆方程中得故答案为：-22,如图，E,F分别是三棱锥V-ABC两条棱f"1 1-=ln—7=—=e=—a24 2则x2+y2的最小值为 E

E【答案】-##0.2【解析】【分析】根据EF=2xAV+y5C(x>0,y>0)nJ得京，而，就共面，作MF//AV交AC于点连接ME,则ME连接ME,则ME//BC，再根据EF=EM+MF可得EM~BC=y,些=2x

AV再利用相似比可得CM=2xAC,AM=yAC,从而可得2x+y=\,再利用二次函数的性质即可的解.【详解】解：因为EF=2xAV+yBC(x>0,y>0).所以萨，而，无共而，作MF//AV交AC于点连接娅，则ME//BC，因为EF=EM+MF^—.―.—, —. EMMF所以EM=yBC,MF=2xAV,即——=y,—=2%,iSC*A.MFCM因为MF//AV^所以—=—=2x,则CM=2xAC,AVAC因为ME//BC，所以喋=吳=。,则AM=MC，dCAC又CM+AM=AC,所以2xAC+yAC=ACf所以2x+>=l,则y=i-2x,0<x<-,（2、21L1+-0<x<-15丿5< 2丿2故J+y2=丿+（］_2工）2=5x2-4x+1=5所以当x=-W，J+,2取得最小值为丄.5 5故答案为：-V三、解答题(本大题共3小题，共31分)己知函数/(x)=3sin(2x+—),xgR.6求/'(0)的值：求/。)的最小正周期.【答案】⑴|(2)Tt【解析】【分析】(1)根据函数的解析式和特殊角的三角函数值计算可得；(2)根据函数的解析式得3=2,利用周期公式T=—计算可得.(D【小问1详解】f(x)=3sin(2x+—),x^R,6/(0)=3sin—=—62【小问2详解】f(x)=3sin(2x+—),xeR, co=2,6A/(x)最小正周期T=—=nco如图，己知抛物线C：/=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为2.

求p的值；设过焦点F的直线/与抛物线C交于A,B两点，0为坐标原点，记△人。8的面积为S,当|E4||FB|=6S时，求直线/的方程.【答案】(1)2 (2)工-2而-1=0或x+2而-1=0【解析】【分析】(1)由抛物线的儿何性质可得焦点到准线间的距离为〃，根据已知即可得到〃的值；(2)根据题意可设直线/的方程为工=叫，+1,利用韦达定理可三角形面积公式得到S財庭关于，〃的表达式，利用抛物线的定义转化求得|例|四关于，〃的表达式，根据巳知得到关于，〃的方程，求解后即得直线/的方程.【小问1详解】抛物线C：r=2px(/?>())焦点为F(¥，o)，准线为l，.x=-％，:.焦点到准线间的距离为P,由己知得抛物线c：y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为2,・•・P=2；【小问2详解】由(】)可得抛物线方程为y2=4x,焦点F(LO),显然直线/的斜率不可能为零，故可设直线/的方程为x=my+\,代入抛物线方程整理得4/ny-4=0,设雄，凹)，研知力)，则，］+>2=4血泌二-4,S*b=!|°日|凹_力|=貝（4时'—4'（-4）=2>/矛+1,|冽|倒=（也+¥）（工2+¥）=3+1）（工2+1）=（，冷"2）（明+2）=m2y}y2+2m（）\+y2）+4=-4nr+8/w2+4=4〃/+4,由|H4||FB|=6S,得4〃[2+4=[2\Z〃F+1,解得m=+2>/2•.••直线/的方程为工-2而-1=0或工+2瓦-1=0.己知函数f（x）=\x-a\-—+a,aeR.X（1） 若/（I）=2,求"的值；（2） 若存在两个不相等的正实数与易，满足f^=f（x2）,证明：2v伺+易v2“；&vE+l.xi【答案】（1）2： （2）证明过程见解析.【解析】【分析】（1）代入/（1）=2即可求出。的值；（2）①分情况讨论，得到x<«时满足题意，根据函数单调性,不妨设0构造差函数，证明极值点偏移问题；②在第一问的基础上进行放缩即可证明..【小问1详解】由/（1）=|1-«|-1+6/=2,化简得：|1一口|=3—"，两边平方，解得：a=2.【小问2详解】不妨令M<x2,①当工>。时，f（x）=x-a--+a=x~-在（O,+s）上单调递增，故不能使得存在两个不相等的正实数•X X而，易，满足/U））=/U2）»舍去；当X=Cl时，f（x）=“—丄为定值，不合题意；a当x<a时，f（x）=2a-^x+^~,由对勾函数知识可知：当。<1时，.,（尤）=2。一（工+!）在（0,。）上单调递增,f（x）=x-^在（。,用）上单调递增，两个分段函数在工=。处函数值相同，故函数f3）在（0,+8）X

上单调递增，不能使得存在两个不相等的正实数心与，满足/(^)=/(^2),舍去；当。>1时，函数/'(X)在(0,1)上单调递增，在(1,。)上单调递减，在(«,+00)上单调递增，且f(a)=2a-^a+^=a