中文教材-卡诺图

7.3.3逻辑函数的卡诺图化简法卡诺图是按一定规则画出来的方框图，也是逻辑函数的一种表示方法。它可以直观而方便地化简逻辑函数。

1.逻辑函数最小项的概念

1）最小项的定义在逻辑函数中，设有n个逻辑变量，由这n个逻辑变量所组成的乘积项（与项）中的每个变量只是以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，那么我们把这个乘积项称为n个变量的一个最小项。对于三个变量A、B、C来讲，由它们组成的八个乘积项都符合最小项的定义，因此我们把这八个乘积项称为三个变量A、B、C的最小项。除此之外

等项就不是最小项。

n变量的逻辑函数，有2n个最小项。若n=2,2n=4,二变量的逻辑函数就有4个最小项，若n=4,24=16,四变量的逻辑函数就有16个最小项……依此类推。

2）最小项的性质为了分析最小项的性质，列出三变量所有最小项的真值表,如表7.12所示。由表7.12可知，最小项具有下列性质：

(1)对于任意一个最小项，有且仅有一组变量的取值使它的值等于1；

(2)任意两个不同最小项的乘积恒为0；

(3)n变量的所有最小项之和恒为1。

ABC0001000000000101000000010001000000110001000010000001000101000001001100000001011100000001

表7.12三变量最小项真值表

3）最小项编号

n个变量有2n个最小项。为了叙述和书写方便，通常对最小项进行编号。最小项用“mi”表示，并按如下方法确定下标“i”的值：把最小项取值为1所对应的那一组变量取值的组合当成二进制数，与其相应的十进制数就是i的值。例如，三变量A、B、C相应的最小项C，使其值为1的变量ABC取值为001，对应的十进制数为1，则它的最小项的编号记作“m1”。同理，AB的编号为“m6”。2.逻辑函数的标准式——最小项表达式任何一个逻辑函数都可以表示成若干个最小项之和的形式，这样的表达式就是最小项表达式。而且这种形式是唯一的。从任何一个逻辑函数表达式转化为最小项表达式的方法如下：

1）由真值表求得最小项表达式例如，已知Y的真值表如表7.13所示。由真值表写出最小项表达式的方法是：使函数Y=1的变量取值组合有001、010、110三项，与其对应的最小项是

,则逻辑函数Y的最小项表达式为

表7.13真值表

ABCY00000011010101101000101011011110

2）由一般逻辑函数式求得最小项表达式首先利用公式将表达式变换成一般与或式，再采用配项法，将每个乘积项（与项）都变为最小项。3.卡诺图

1）卡诺图的组成及特点卡诺图是逻辑函数的一种表示方式，是根据真值表按一定的规则画出来的一种方块图。此规则就是使逻辑相邻的关系表现为几何位置上的相邻,利用卡诺图使化简工作变得直观。

所谓逻辑相邻，是指两个最小项中除了一个变量取值不同外，其余的都相同，那么这两个最小项具有逻辑上的相邻性。例如，m3=BC和m7=ABC是逻辑相邻。又如,m3和m1=C、m2=也是逻辑相邻。所谓几何相邻，是指在卡诺图中排列位置相邻的那些最小项。要把逻辑相邻用几何相邻实现，在排列卡诺图上输入变量的取值顺序时，就不要按自然二进制顺序排列，而应对排列顺序进行适当调整。对行或列是两个变量的情况，自变量取值按00，01，11，10排列；对行或列是三个变量的情况，自变量取值按000，001，011，010，110，111，101，100排列。

n个变量的逻辑函数，具有2n个最小项，对应的卡诺图也应有2n个小方块。二变量的最小项有22=4个，其对应的二变量卡诺图由4个小方块组成,并对应表示4个最小项m0~m3。如图7.14所示。

图7.14二变量卡诺图

三变量的最小项有23=8个，对应的三变量卡诺图由8个小方块组成,并对应表示8个最小项，如图7.15所示。四变量最小项的个数为24=16个，对应的四变量卡诺图由16个小方块组成,并相应表示16个最小项,如图7.16所示。

图7.15三变量卡诺图

图7.15三变量卡诺图

图7.15三变量卡诺图

图7.16四变量卡诺图

由卡诺图的组成可知，卡诺图具有如下特点：

(1)n变量的卡诺图具有2n个小方块，分别表示2n个最小项。每个原变量和反变量总是各占整个卡诺图区域的一半。

(2)在卡诺图中，任意相邻小方块所表示的最小项都仅有一个变量不同，即这两个最小项具有“相邻性”。相邻的小方块数等于变量个数n。2)用卡诺图表示逻辑函数一个逻辑函数Y不仅可以用逻辑表达式、真值表、逻辑图来表示，而且还可以用卡诺图表示。其基本方法是：根据给定逻辑函数画出对应的卡诺图框，按构成逻辑函数最小项的下标在相应的方格中填写“1”，其余的方格填写“0”，便得到相应逻辑函数的卡诺图。

由已知逻辑函数画卡诺图时，通常有下列三种情况：（1）给出的是逻辑函数的真值表。具体画法是先画与给定函数变量数相同的卡诺图，然后根据真值表来填写每一个方块的值，也就是在相应的变量取值组合的每一小方格中，函数值为1的填上“1”，为0的填上“0”，就可以得到函数的卡诺图。[例7.11]

已知逻辑函数Y的真值表如表7.14所示，画出Y的卡诺图。

解先画出A、B、C三变量的卡诺图，然后按每一小方块所代表的变量取值，将真值表相同变量取值时的对应函数值填入小方块中，即得函数Y的卡诺图，如图7.17所示。

表7.14真值表

ABCY00000011010101111000101011001111

图7.17例7.11的卡诺图

（2）给出的是逻辑函数最小项表达式。把逻辑函数的最小项填入相应变量的卡诺图中，也就是将表达式中所包含的最小项在对应的小方格中填入“1”，其它的小方格填入“0”，这样所得到的图形就是逻辑函数的卡诺图。

[例7.12]试画出函数Y(A，B，C，D)=∑m（0,1,3,5,6,8,10,11,15）的卡诺图。

解：先画出四变量卡诺图，然后在对应于m0、m1、m3、m5、m6、m8、m10、m11、m15的小方格中填入“1”，其它的小方格填入“0”,如图7.18所示。

图7.18例7.12的卡诺图（3）给出的是一般逻辑函数表达式。先将一般逻辑函数表达式变换为与或表达式，然后再变换为最小项表达式,则可得到相应的卡诺图。实际上，我们在根据一般逻辑表达式画卡诺图时，常常可以从一般与或式直接画卡诺图。其方法是：把每一个乘积项所包含的那些最小项所对应的小方格都填上“1”，其余的填“0”，就可以直接得到函数的卡诺图。[例7.13]

画出Y（A，B，C）=AB+B+的卡诺图。

解：

AB这个乘积项包含了A=1，B=1的所有最小项，即AB和ABC。B这个乘积项包含了B=1，C=0的所有最小项,即AB和B。这个乘积项包含了A=0，C=0的所有最小项，即B和。最后画出卡诺图如图7.19所示。需要指出的是:①在填写“1”时,有些小方格出现重复,根据1+1=1的原则,只保留一个“1”即可；②在卡诺图中，只要填入函数值为“1”的小方格,函数值为“0”的可以不填；③上面画的是函数Y的卡诺图。若要画的卡诺图是Y的反，则要将Y中的各个最小项用“0”填写，其余填写“1”。

图7.19例7.13的卡诺图

4.利用卡诺图化简逻辑函数

1）合并最小项的规律利用卡诺图合并最小项，实质上就是反复运用公式AB+A=A，消去相异的变量，从而得到最简的“与或”式：（1）当2个（21）相邻小方格的最小项合并时，消去1个互反变量；（2）当4个（22）相邻小方格的最小项合并时，消去2个互反变量；（3）当8个（23）相邻小方格的最小项合并时，消去3个互反变量；（4）当2n个相邻小方格的最小项合并时，消去n个互反变量。n为正整数。

图7.20、图7.21、图7.22分别画出了相邻2个小方格的最小项、相邻4个小方格的最小项、相邻8个小方格的最小项合并的情况。

2)利用卡诺图化简逻辑函数一般按以下三个步骤进行：

(1)画出逻辑函数的卡诺图；

(2)按合并最小项的规律合并最小项,将可以合并的最小项分别用包围圈(复合圈)圈出来；

(3)将每个包围圈所得的乘积项相加,就可得到逻辑函数最简“与或”表达式。图7.202个最小项的合并

图7.202个最小项的合并

图7.202个最小项的合并

图7.214个最小项的合并

图7.214个最小项的合并

图7.214个最小项的合并

图7.228个最小项的合并

图7.228个最小项的合并

图7.228个最小项的合并

图7.228个最小项的合并

例7.14

用卡诺图化简逻辑函数

Y（A,B,C,D）=∑m（0,2,3,5,7,8,10,11,15）解第一步，画出Y的卡诺图,如图7.23所示；第二步，按合并最小项的规律画出相应的包围圈；第三步，将每个包围圈的结果相加，得

图7.23例7.14的卡诺图

例7.15化简

Y（A,B,C,D）=∑m(3,4,5,7,9,13,14,15)。

解首先画出Y的卡诺图，如图7.24所示。然后合并最小项。图7.24(a)、(b)是两种不同的圈法,图(a)是最简的；图(b)不是最简的,因为只注意对1画包围圈应尽可能大,但没注意复合圈的个数应尽可能少,实际上包含4个最小项的复合圈是多余的。

图7.24例7.15的卡诺图(a)最简；(b)非最简图7.24例7.15的卡诺图(a)最简；(b)非最简最后写出最简与或式为从上述例题可知，利用卡诺图化简逻辑函数，对最小项画包围圈是比较重要的。圈的最小项越多，消去的变量就越多；圈的数量越少，化简后所得到的乘积项就越少。综上所述，复合最小项应遵循的原则是：

①按合并最小项的规律，对函数所有的最小项画包围圈；

②包围圈的个数要最少，使得函数化简后的乘积项最少；

③一般情况下，应使每个包围圈尽可能大，则每个乘积项中变量的个数最少；

④最小项可以被重复使用，但每一个包围圈至少要有一个新的最小项（尚未被圈过）。

需要指出的是：用卡诺图化简逻辑函数时，由于对最小项画包围圈的方式不同，得到的最简与或式也往往不同。卡诺图法化简逻辑函数的优点是简单、直观，容易掌握，但不适用于五变量以上逻辑函数的化简。

5.具有“约束”的逻辑函数的化简

1）什么是“约束”在前面所讨论的逻辑函数中，我们认为逻辑变量的取值是独立的，不受其它变量取值的制约。但是，在某些实际问题的逻辑关系中，变量和变量之间存在一定的制约关系。这种相互“制约”的关系就是约束。

例如，在数字系统中，用A、B、C三个变量分别表示加、乘、除三种操作，而且规定在同一时间只能进行其中的一种操作。因此，A、B、C三个变量只可能出现000、001、010、100四种取值，而011、101、110、111四种取值是不允许出现的。这就说明三个变量A、B、C之间存在着“约束”的关系。我们称A、B、C是一组有约束的变量，而不允许出现的四组变量取值组合所对应的最小项称为“约束项”（或称为“任意项”、“禁止项”、“无关项”），由约束项相加起来的逻辑表达式叫做“约束条件”。在本例中，约束条件可写为要使表达式（7-19）成立,每个最小项的值必须恒为0。约束条件的性质：约束项的值永远不会为1。既然认定约束项对应的变量取值的组合不会出现，那么，谈论与它相对应的函数值是1还是0是没有意义的。也就是说，对应约束项的变量取值时，其函数值可以是任意的，既可以取0，也可以取1，这完全视需要而定，通常把相对应的函数值记作“×”或“”。

（7-19）

2)具有“约束”的逻辑函数的化简对于具有“约束”的逻辑函数，可以利用约束项进行化简，使得表达式简化。例7.16设输入A、B、C、D是十进制数X的二进制编码，当X≥5时，输入Y为1，否则为0，求Y的最简“与或”表达式。

解（1）根据题意列真值表，如表7.15所示。

表7.15真值表XABCDY000000100010200100300110401000501011601101701111

表7.15真值表（续）XABCDY