矢量分析：旋度、散度、梯度

§1.1

矢量表示法和运算§1.2

通量与散度,散度定理

§1.3

环量与旋度,斯托克斯定理

§1.4

方向导数与梯度,格林定理

§1.5

曲面坐标系

§1.6

亥姆霍兹定理第一章矢量分析Chapter1VectorAnalysis2023/10/201基本要求掌握矢量在正交坐标系中的表示方法掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义掌握矢量积、标量积的计算了解矢量场散度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌握散度定理的内容，并能熟练运用。了解矢量场旋度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。2023/10/202了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义正确理解标量格林定理和矢量格林定理的内容，并学会应用了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换了解曲面坐标系中散度、旋度的表示线元、面积元、体积元的表示正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。2023/10/203物理量的表示矢量：大写黑体斜体字母

A

大写斜体字母加表示矢量的符号标量：小写斜体字母

u单位矢量：小写上加倒勾ex2023/10/204

若一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知,这个矢量就确定了。例如在直角坐标系中,矢量A的三个分量模值分别是Ax,Ay,Az,则矢量的模Magnitudeofvector§1.1矢量表示法及其运算1.1.1矢量表示法及其和差2023/10/205A的单位矢量Unitvector和或差:Vectoradditionorsubtraction则

2023/10/206图1-2矢量的相加和相减

2023/10/207

矢量的相乘有两种定义:标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。它符合交换律:

1.1.2标量积和矢量积定义：标量积A·B是一标量,其大小等于两个矢量模值相乘,再乘以它们夹角αAB(取小角,即αAB≤π)的余弦:一、标量积Dotproduction

特点：1、2023/10/208|B|cos

AB是矢量B在矢量A上的投影，|A|cos

AB是矢量A在矢量B上的投影。B矢量在A矢量上的投影（或者说矢量B在A上的分量）等于A•B/|A|2、2023/10/209并有互相垂直的两个矢量的点积为03、4、2023/10/2010

定义：矢量积A×B是一个矢量,其大小等于两个矢量的模值相乘,再乘以它们夹角αAB(≤π)的正弦,其方向与A,B成右手螺旋关系,为A,B所在平面的右手法向:

1、它不符合交换律。由定义知,二、矢量积Crossproduction

特点：2023/10/20112、2023/10/2012A×B各分量的下标次序具有规律性。例如,分量第一项是y→z,其第二项下标则次序对调:z→y,依次类推。并有2023/10/2013图1-3矢量乘积的说明2023/10/2014矢量的三连乘也有两种。标量三重积:Scalartripleproduction

矢量三重积:Vectortripleproduction

公式右边为“BAC-CAB”,故称为“Back-Cab”法则,以便记忆。

1.1.3三重积

ABC2023/10/2015解：AB在C上的分量为：例：，求

给定两矢量

和上的分量。

在2023/10/2016如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，，p和P已知，试求X

解：由P=AX，有A

P＝A

(A

X)=(A·X)A-(A·A)X=pA-

(A·A)X例2023/10/2017作业P311-11-32023/10/2018§1.2通量与散度,散度定理

Flux,divergenceofavectorfield,divergencetheorem§1.2.1

矢量场的通量矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述

矢量场的通量

定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则为矢量A沿有向曲面S的通量。

若S为闭合曲面

物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。

在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量；在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。

2023/10/2019通过闭合面S的通量的物理意义：在直角坐标系中，通量可以写成a)若，穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量，闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电场中的正电荷就是发出电力线的正源；

b)若，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通量，闭合面内有吸收矢量线的负源；静电场中的负电荷就是接受电力线的负源；

c)若，闭合面无源。2023/10/20201.2.2散度Divergenceofavectorfield2、散度的物理意义1)矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；2)矢量场的散度是一个标量；3)矢量场的散度是空间坐标的函数；1、定义：当闭合面

S

向某点无限收缩时，矢量

A通过该闭合面S的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场

A

在该点的散度，以

divA表示，即2023/10/20213、直角坐标系中散度的表示散度可用算符哈密顿

表示为哈密顿

拉普拉斯

22023/10/2022正源负源无源2023/10/2023

散度的基本运算公式

C为常矢量k为常数u为标量2023/10/2024上式称为散度定理,也称为高斯公式。1.2.3散度定理The

divergencetheorem既然矢量的散度代表的是其通量的体密度,因此直观地可知,矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量,即从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域

V中的场和包围区域

V

的闭合面

S上的场之间的关系。如果已知区域

V中的场，根据高斯定理即可求出边界

S上的场，反之亦然。散度定理：散度定理的物理意义：2023/10/2025点电荷q在离其r处产生的电通量密度为求任意点处电通量密度的散度▽·D，并求穿出r为半径的球面的电通量[解]例2023/10/20262023/10/2027可见，除点电荷所在源点（r=0）外，空间各点的电通量密度散度均为零。这证明在此球面上所穿过的电通量的源正是点电荷q。2023/10/2028球面S上任意点的位置矢量为试利用散度定理计算解：例：2023/10/2029

矢量A沿某封闭曲线的线积分,定义为A沿该曲线的环量(或旋涡量),记为§1.3环量与旋度,斯托克斯定理

Curl,circulation,TheStokes’stheorem1.3.1

环量Curlofavectorfield2023/10/2030为反映给定点附近的环量情况,我们把封闭曲线收小,使它包围的面积ΔS趋近于零,取极限这个极限的意义就是环量的面密度,或称环量强度。由于面元是有方向的,它与封闭曲线l的绕行方向成右手螺旋关系,因此在给定点处,上述极限值对于不同的面元是不同的。为此,引入旋度(curl或rotation):1.3.2旋度的定义和运算1、定义：2023/10/20312、旋度的物理意义矢量A的旋度是一个矢量,其大小是矢量A在给定点处的最大环量面密度,其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时,该面元矢量的方向。它描述A在该点处的旋涡源强度。若某区域中各点curlA=0,称A为无旋场或保守场。2023/10/2032矢量A的旋度可表示为密勒算子

与A的矢量积,即

计算▽×A时,先按矢量积规则展开,然后再作微分运算,得

3、旋度的计算2023/10/2033第一章矢量分析即

2023/10/20344、旋度运算规则:

在直角坐标系中有

2023/10/2035任一矢量场A的旋度的散度一定等于零

。任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度。任何旋度场一定是无散场2023/10/2036一个矢量场的旋度是一个矢量函数，而一个矢量场的散度是一个标量函数；旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系；如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这种场中不可能存在旋涡源，因而称之为无旋场（或保守场）；如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为无源场（或管形场）；在旋度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对与其垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方向上的变化规律；在散度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对x、y、z求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。4、旋度与散度的区别：2023/10/2037因为旋度代表单位面积的环量,因此矢量场在闭曲线l上的环量就等于l所包围的曲面S上的旋度之总和,即此式称为斯托克斯(Stokes)定理或斯托克斯公式。

它可将矢量旋度的面积分变换为该矢量的线积分,或反之。1.3.3斯托克斯定理TheStokes’stheorem2023/10/2038自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为

求任意点处(r≠0)电场强度的旋度▽×E。

例2023/10/2039解：2023/10/2040可见,向分量为零;同样,向和向分量也都为零。故

这说明点电荷产生的电场是无旋场。

因2023/10/2041证明下述矢量斯托克斯定理：式中S为包围体积V的封闭面。

[证]设C为一任意常矢，则从而有（1-37）例1.42023/10/2042根据散度定理，上式左边等于于是得由于上式中常矢C是任意的，故式（1-37）必成立。2023/10/2043§1.4方向导数与梯度,格林定理标量场φ(x,y,z)在某点沿l方向的变化率称为φ沿该方向的方向导数。它的值与所选取的方向有关,设

方向导数一、方向导数与梯度2023/10/2044梯度gradient是一个矢量

的模就是

在给定点的最大方向导数方向就是该具有最大方向导数的方向,亦即

的变化率最大的方向。2023/10/2045梯度运算规则:

2023/10/20462、梯度的物理意义1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。任一标量场

的梯度的旋度一定等于零。任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度任何梯度场一定是无旋场。梯度的重要性质2023/10/2047将散度定理中矢量A表示为某标量函数的梯度ψ与另一标量函数φ的乘积,则有取上式在体积V内的积分,并应用散度定理,得二、格林定理TheGreen’stheorem(1)沿n方向的方向导数格林(G.Green)第一恒等式

Green’sfirstidentity

2023/10/2048S是包围体积V的封闭面,是封闭面S的外法线方向单位矢量。适用于在体积V内具有连续二阶偏导数的标量函数φ和ψ(2)说明：把式中的φ与ψ交换位置,有格林第二恒等式

Green’sfirstidentity

2023/10/2049(1)(2)两式相减得设矢量函数P和Q在封闭面S所包围的体积V内有连续的二阶偏导数,则有矢量格林定理2023/10/2050矢量格林第二定理:利用上述格林定理,可以将体积V中场的求解问题变换为边界S上场的求解问题。如果已知其中一个场的分布特性,便可利用格林定理求解另一场的分布特性。2023/10/2051参看图1,场点P(x,y,z)与源点P′(x′,y,′z′)间的距离为|R|,试证这里▽′表示对带撇坐标(x′,y′,z′)作微分运算(将P取为定点,P′为动点):例：2023/10/2052［证］

2023/10/2053即同理可得

2023/10/2054例:求P点的电位梯度▽φ。解

：在点电荷q的静电场中,P(x,y,z)点的电位为2023/10/2055图1-8柱坐标系

§1.5曲面坐标系1.5.1圆柱坐标系Cylindricalcoordinatesystem三个单位矢量：矢量P三个坐标分量各物理量的变化范围：一、坐标系2023/10/2056么么么么方面Sds绝对是假的么么么么方面Sds绝对是假的2023/10/2058

矢量A在柱坐标系中的表示为：

以坐标原点为起点,指向P点的矢量r,称为P点的位置矢量或矢径。在柱坐标系中P点的位置矢量是

对任意的增量dρ,dφ,dz,P点位置沿,,方向的长度增量(长度元)分别为三者总保持正交关系,并遵循右手螺旋法则:

位置矢量二、矢量表示及相关物理量的表示长度增量(长度元)2023/10/2059每个坐标长度增量同各自坐标增量之比,称为度量系数,又称拉梅(G.Lame)系数,分别为与三个单位矢量相垂直的三个面积元和体积元分别是度量系数(拉梅系数)：面积元和体积元：2023/10/2060图1-9球面坐标系1.5.2球面坐标系Sphericalcoordinatesystem三个单位矢量：矢量P三个坐标分量各物理量的变化范围：一、坐标系2023/10/2061遵循右旋法则:

矢量A在球坐标系中的表示

：二、矢量表示及相关物理量的表示长度增量(长度元)度量系数：

2023/10/2062面积元和体积元：

2023/10/2063图1-10三种坐标间的变换

1.5.3三种坐标的变换及场论表示式2023/10/2064直角坐标－柱坐标2023/10/2065直角坐标－球坐标2023/10/2066

在柱坐标中三个长度元分别为dρ,ρdφ和dz,因而其算子相应地换为球坐标长度元为dr,rdθ和rsinθdφ,故其▽算子为

算子

2023/10/2067柱坐标中矢量A的散度和旋度

为了对矢量函数求导,一个常用的公式是2023/10/2068球坐标中矢量A的散度和旋度2023/10/2069在一对相距为l的点电荷+q和-q(电偶极子)的静电场中,距离r>>l处的电位为求其电场强度E(r,θ,φ)。解

：例1.72023/10/2070亥姆霍兹定理的简化表述如下:若矢量场F在无限空间中处处单值,且其导数连续有界,而源分布在有限区域中,则矢量场由其散度和旋度唯一地确定。并且,它可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和,即§1.6亥姆霍兹定理2023/10/2071二.矢量场的分类根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：1)调和场

若矢量场F在某区域V内，处处有：

F=0和

F=0

则在该区域V内，场F为调和场。

注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。调和场，有源无旋场，无源有旋场，有源有旋场2023/10/2072如果，则称矢量场F为无旋场。无旋场F可以表示为另一个标量场的梯度，即函数u称为无旋场F的标量位函数，简称标量位。

无旋场F沿闭合路径C的环量等于零，即这一结论等价于无旋场的曲线积分与路径无关，只与起点P和终点Q有关。标量位u的积分表达式：2)有源无旋场

2023/10/2073由，有2023/10/2074函数A称为无源场F的矢量位函数，简称矢量位。无源场F通过任何闭合曲面S的通量等于零，即4)有源有旋场一般的情况下，如果在矢量场F的散度和旋度都不为零，即如果，则称矢量场F为无源场。无源场F可以表示为另一个矢量场的旋度，即3)无源有旋场2023/10/2075可将矢量场F表示为一个无源场Fs和无旋场Fi

的叠加，即其中Fs和Fi分别满足于是因而，可定义一个标量位函数u和矢量位函数A，使得2023/10/2076常用的矢量恒等式2023/10/20772023/10/2078矢量分析小结基本内容

矢量场的表示方法和代数运算和乘积运算矢量场的散度和旋度标量场的梯度曲面坐标系亥姆霍兹方程2023/10/2079基本要求掌握矢量在正交坐标系中的表示方法掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义掌握矢量积、标量积的计算了解矢量场散度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌握散度定理的内容，并能熟练运用。了解矢量场旋度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。2023/10/2080了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义正确理解标量格林定理和矢量格林定理的内容，并学会应用了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换了解曲面坐标系中散度、旋度的表示线元、面积元、体积元的表示正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。2023/10/2081本章重要公式2023/10/20822023/10/20832023/10/2084例利用直角坐标，证明

证明：2023/10/2085例：给定两矢量A=2ex+3ey-4ez和B=4ex-5ey+6ez

，求它们之间的夹角和A在B上的分量。解：A与B之间的夹角为

A在B上的分量为

2023/10/2086例：在的方向导数为求标量函数

＝x2yz的梯度及

在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量

定出；求点(2,3,1)的方向导数值解：2023/10/2087例：利用散度定理及斯托克斯定理证明：1）2）证明:对于任意闭合曲线为边界的任意曲面，由斯托克斯定理由于曲面S是任意的，故有2023/10/20882)对于以任意闭合曲面S为边界的体积V，由散度定理有

其中S1和S2如图1所示。由斯托克斯定理，有由题图1可知C1和C2是方向相反的同一回路，则有2023/10/2089图1S1S2C2C1n1n2所以得到

由于体积V是任意的，故有2023/10/2090习题及答案

已知,求：(b)(c)(d)（a）1-5解：(a)(b)(c)(d)2023/10/20911-8设为使，，且，的模B=1，试确定a、b的值。解：，则得，又因即得或2023/10/2092应用散度定理计算下述积分：S是和所围成的半球区域的外表面解：1-132023/10/20931-14，在r=1和r=2两个球面之间的区域存在矢量场计算：（a）（b）解：（a）2023/10/2094（b）可见散度定理成立。2023/10/20951-16，证明：证：设所以，2023/10/2096又所以，2023/10/20971-18，y的积分限为）。并验证斯托克设，试计算下述面积分：S为x-y平面第一象限内半径为3的四分之一圆（即x的积分限为斯定理。解：303xyz2023/10/2098所以2023/10/2099又，所以，斯托克斯定理成立。2023/10/201001-21在静电场中，电场强度。试求点（2，2，0）处的，设（a）；（b）解：（a）所以；2023/10/20101（b）所以，2023/10/201021-23求在点（2，3，1）处的梯度及沿方向的方向导数。解：所以，2023/10/20103习题及答案1.1

给定三个矢量、和如下：A=1ex+2ey-3ez，B=3ex+1ey+2ez，C=2ex-1ez求：(1)|A|，|B|，|C|；(2)ea，eb，ec；(