一种新的粒子群优化模型

一种新的粒子群优化模型

关于粒子群优化问题的研究干预颗粒组优化算法（pso）由两位科学家开发，该算法是基于团队智能的全球优化方法。该方法通过团队中的合作与竞争中的集体智能指导来优化搜索。PSO的优势在于简单、容易实现，同时又有深刻的智能背景；既适合科学研究，又特别适合工程应用。国内外许多学者对粒子群优化的理论和应用做了广泛研究。文分析了粒子间连接方式对优化性能的影响。文给出了多个粒子群相互协作分别对整个解向量不同部分进行优化的方法，很好的改善了粒子群优化的性能。文将最初笛卡尔坐标系下的PSO推广到极坐标系。为了改善PSO的搜索性能，文提出了将自适应PSO与变异算子相结合的混合算法，并应用于交通控制中。文提出了把PSO与混沌搜索相结合的方法，很好地提高了搜索效果，但该方法只是将PSO与混沌搜索以一定方式交替使用。文与文给出了如何更好地把PSO应用于电网规划中。文把PSO应用于多模型自适应动态矩阵控制中，很好地改善了控制效果。文给出了如何把PSO用于具有约束的广义预测控制器，在提高控制性能的基础上扩大了广义预测控制器的应用范围。以往的粒子群优化算法都是求助于随机系数以实现对最优解的搜索，从而很难对系统的性能进行分析。本文提出了一种新的粒子模型，不同于以往的粒子群算法包含随机参数，而是一个确定性的简单混沌粒子群。文中通过对粒子群的分析得到了两个收敛性结论；最后给出数值仿真，通过与基本PSO的对比说明了文中所提出方法的优越性及其有效性。1解空间的动态方程PSO算法其思想源于模拟鸟群和鱼群觅食过程，粒子群中每个粒子代表优化问题解空间内的一个解。在下一时刻每个粒子位置通过个体本身的经验和整个群体的经验调整位置变化。每个粒子对解空间的搜索过程可以由位置和速度两个元素构成，一般可以由下面两个动态方程表示。其中Vi=[vi1,vi2,,vin]称为粒子i的速度，代表从当前时刻到下一刻的变化值；Xi=[xi1,xi2,,xin]称为粒子i的位置，它经历过的最好位置记为Pi，群体中所有粒子经历过的最好位置为Pg;2为加速度因子，代表将每个微粒推向Pi和Pg位置的统计加速项的权重，rand1(·)和rand2(·)为两个相互独立在范围里变化的随机函数，可以理解为“大脑中存在混沌现象”。2混合颗粒群优化2.1基于社会网络的模拟仿真因为每个粒子可以看成是单个鱼或鸟的思考决定下一个位置的模型，因此粒子可以由具有“随机”的神经网络来模拟。根据粒子的模型(1)-(2)，粒子i的位置可以看成如图1所示神经网络的输出。由图1可以看出，该神经网络（也就是粒子模型）有以下三个特点：(1)类似于Hopfield神经网络，具有反馈输入；(2)类似于反向传播神经网络，具有外部输入；(3)类似于混沌神经网络，具有随机现象。由于PSO是模拟简化的群体模型行为而得到的，因此新建的模型也应该具有群体模型的特点。生物社会学家Wilsin认为：在觅食过程中，群体中的各个成员可以从整个群体已获得的信息受益；尤其当食物分布在未知区域时，这种合作带来的好处将远远超过由于为小部分食物而进行竞争所带来的负面影响。这说明同种群内部个体间信息共享是非常重要的。因此，在基于社会群体的优化算法中，已获得的较好经验起到非常重要的作用。许多种连接方式反应种群中的个体间的影响。为了简单起见，只选取种群中最好的经验对个体有影响。除了种群的整体因素对个体有影响外，每个个体已有的经验对自身也有影响。由上面的描述得出，单个粒子的模型至少反映两方面的内容：整个种群或所有粒子发现的最好位置；单个粒子发现的最好位置。人工神经网络是模拟生物大脑的模型。其中Hopfield神经网络具有随着神经元状态的更新，能量函数单调减小最终整个网络达到稳定的特点。利用Hopfield网络的特点，可以把需要优化问题的评价函数映射到Hopfield网络的能量函数，通过网络状态更新解决优化问题。因此，可以用Hopfield网络模拟单个粒子的行为。根据前面的分析或图1可知神经网络模型两个外部输入为ipj(ipj由内部和外部共同决定的所以看成外部输入）和pgj；模型的输出为ixj。在没有约束的情况下粒子i的第j个元素的能量函数可以选为：其中A,B和C为正常数；(xij-pgj)2反映了当前状态趋向于整个群体已获得的最优值；(xjip-pij)2和(xij-xjip)2反映了当前位置趋向个体已经获得的最好值。为了保证能量函数单调收敛性，可以采用文所提出的状态更新方法：根据原始的PSO算法知道鸟或鱼在觅食的过程存在随机或混沌特性，而(4)—(7)是不存在这种特性。为此，通过在(4)或(6)，或者在两个式子中同时添加状态自回归项就有可能产生混沌现象，此时动态方程(4)和(6)就可以变为：为了使得状态随着时间推移状态退出混沌，从而增加了一个参数方程：其中0<β<1。一般的实际问题可以抽象成下面的优化问题：其中f(X)是目标函数，也称为适应度函数；X是具有n个元素的优化向量；ia和ib分别为优化向量中相应元素变化范围的下界和上界。由(5)可以知道模型的输出状态ixj∈(0,1)，因此需要优化问题的变量的范围(11)应该根据下式归一化到(0,1)：为了得到实际问题的解时，可以用下式返回到原来的尺度：2.2最佳适应度由于混沌粒子群优化是一种基于迭代的优化算法,是通过初始化一组随机解,然后采用迭代搜索最优值。具有如下过程：第1步：种群及参数初始化；然后通过(13)式根据种群初始值得出实际变量值；计算出个体所对应的适应度作为个体以获得的最好位置的适应度，进而得到初始化种群中最佳适应度所对应的个体。第2步：对种群内的每一个个体根据(13)求出实际变量值，然后求出计算适应值；第3步：种群根据适应值进行位置信息更新；如果种群中最佳适应度发生变化则对参数z(t)进行重新初化；第4步：如果终止准则满足,则停止，并且通过(13)求出问题的实际解；否则转到第2步。3动态模型的建立根据(8)—(10)，当t→∞时z(t)以指数衰减到0；并且在实际应用中可以在z(t)非常小或模型状态退出混沌时直接设为0。因此，只需要分析z(t)=0时动态方程的收敛性就可以了。当粒子的神经网络模型的内部状态采用异步更新（或称为串行更新）时，有下面收敛性定理。定理1：当PSO采用(5)、(7)—(10)动态模型并且其状态采用异步更新时，网络的状态最终收敛到平衡点。证明：根据前面说明，只需要证明在z(t)=0时(8)和(9)收敛到平衡点就可以了。根据方程(8)和(9)可知由于这里的激活函数h()为sigmoid函数，是单调增函数，所以∆ui∆xi>0。当∆xi≠0时，能量函数J随着状态异步更新单调减小；直到状态达到稳定，此时对于该模型有在z(t)=0时，根据(15)和(8)—(9)可知，求出的解就为粒子i唯一的平衡点：证明完毕。定理2：当PSO采用(5)、(7)—(10)动态模型并且其状态采用异步更新时，粒子群中的各个粒子的输出状态最终收敛到以pg为球心，半径为的超球体中(如果是二维则是在圆内)。证明：根据定理1可以知道各个粒子状态最终收敛到的唯一平衡点(xie,xipe），根据(17)、(18)可以知道粒子i的输出状态由整个种群粒子发现的最好位置和单个粒子i发现的最好位置决定。粒子i最终输出状态到整个种群粒子发现的最好位置的欧氏长度为（其中为二范数运算），将(17)代入可以得到因此，粒子群中的各个粒子的输出状态最终收敛到以pg为球心，半径的超球体中。证明完毕。根据(20)可以看出，当A>>B,A>>C或者AB+AC>>BC时，粒子群中的各个粒子最终收敛到pg的一个非常小的临域，即xij≈xjie。下面分析随着z(t)的衰减模型的动态性能变化情况。为了简单起见，这里只分析只有一个粒子，并且粒子向量中只有一个变量的情况。(3)和(8)—(10)中的参数分别设置为所有参数都固定，图2显示了状态ix(t)，z(t)以及最大Lyapunov指数随时间的变化情况；图中横坐标为运行步数。其中在求Lyapunov指数时，首先需要把(8)和(9)状态的同步跟新形式转化成异步更新形式，然后采用下面式子的定义形式：由(17)可知最终网络输出趋向于xie=0.2，这一点，在图2(a)中也得到了验证。虽然图2(c)直接反映了最大Lyapunov指数随时间的变化，但是在求解过程中实际上是根据在不同的时间点选取不同的参数z进行求解，从而图2(c)间接反映了参数z在一定范围内所对应的最大Lyapunov指数谱。根据图2可以直观的看出，其搜索轨道展现了从混沌到周期分岔再到汇的逆周期分岔演化过程。初始混沌式搜索模式展宽了搜索范围，拟周期分岔演化过程决定了搜索的稳定性和收敛性。从而达到优化的目的。4混沌神经网络群的优化为了给出该模型在优化中的有效性，这里选择一个著名基准优化问题Rastrigin函数。当变量个数n=2时，函数的表达式为其中-1≤xi≤1,i=1,2.该函数有大约50个局部最小点，其中全局最小点为在(x1,x2)=(0,0)处取得的-2。采用混沌神经网络群优化算法时，种群中粒子个数设置为20，并且初始化模型的参数为：各个粒子的初始化采用在变量的变化范围内相互独立取随机数。根据混沌粒子群优化迭代过程，被优化函数值随时间的变化情况如图3所示。最终，粒子群中最好的值为在(x1,x2)=(0,0)处取得的-2。由图3可以看出混沌神经网络群优化具有很好的优化效果。由于需要优化的变量有两个，从而种群中所有个体在二维平面中最终收敛情况如图4所示。其中图4中，圆心为(0,0)，半径是由(20)决定。当采用基本的粒子群算法时，种群中粒子个数设置为20，各个粒子的初始化采用在变量的变化范围内相互独立取随机数。最终，粒子群中最好的值也是为在(x1,x2)=(0,0)处取得的-2。但是种群中粒子分散无规律，各个粒子的最终状态