2018年第二十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（汇编）

2018年第二十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组）一、选择题（共6小题，每小题10分，满分60分）1．（10分）两袋面粉同样重，第一袋用去，第二袋用去千克，剩下的面粉（）A．第一袋重 B．第二袋重 C．两袋同样重 D．无法确定哪袋重2．（10分）如图，一个3×3的正方形网格，如果小正方形边长是1，那么阴影部分的面积是（）A．5 B．4 C．3 D．23．（10分）在6×6的方格表中，摆放写有的长方形，每个长方形恰好盖住2个方格，如果任意两个长方形之间没有公共边（可以有公共顶点），那么棋盘中摆放的长方形的方格内所有数之和最大是（）A．266 B．304 C．342 D．3804．（10分）在如图的三角形ABC中，EB＝ED，FC＝FD，∠EDF＝72°，则∠AED+∠AFD＝（）A．200° B．216° C．224° D．240°5．（10分）从1﹣20这20个整数中任意取11个数，其中必有两个数的和等于（）A．19 B．20 C．21 D．226．（10分）小王将一些同样大小的正三角形纸片摆放在桌上．第一次放1张纸片；第二次在这个小正三角形纸片四周再放三张纸片；第三次在第二次摆好的图形四周再摆放纸片；…摆放要求是：每次摆放的每张纸片必须和上一次摆放的纸片至少有一条边重合，且纸片之间除边之外，无重合（见图）．第20次摆放后，该图形共用了正三角形纸片（）张．A．571 B．572 C．573 D．574二、填空题（共4小题，每小题10分，满分40分）7．（10分）磊磊买了一本新书，非常喜欢．第一天读了这本书的还多12页，第二天读了剩余的还多15页，第三天读了剩余的还多18页，这时还剩42页未读．那么这本书的页数是．8．（10分）某五号码牌由英文字母和数字组成，前四位有且只有两位为英文字母（字母I、O不可用），最后一位必须为数字．小李喜欢18这个数，希望自己的号码牌中存在相邻两位为1和8，且1在8的前面，那么小李的号码牌有种不同的选择方式．（英文共有26个字母）9．（10分）在一个自然数的所有因数中，能被3整除的因数比奇因数多5个，那么这个自然数最小是．10．（10分）一只蚂蚁从正方体某个面的中心出发，每次都走到相邻面的中心，每个中心恰好经过一次，最终回到出发点．所有经过的中心排出的序列共有种．（两条序列不同指沿着行走方向经过的中心点顺序不一样）

2018年第二十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组）参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题10分，满分60分）1．（10分）两袋面粉同样重，第一袋用去，第二袋用去千克，剩下的面粉（）A．第一袋重 B．第二袋重 C．两袋同样重 D．无法确定哪袋重【分析】要看实际情况，与原来的重有关．分类讨论，大于1千克；等于1千克；小于1千克，即可得出结论．【解答】解：要看实际情况，与原来的重有关．大于1千克时，第一袋用去的大于千克，所以第二袋剩下的重，等于1千克时，剩下的一样重，小于1千克时，第一袋用去的小于千克，所以第一袋剩下的重，故选：D．2．（10分）如图，一个3×3的正方形网格，如果小正方形边长是1，那么阴影部分的面积是（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】通过观察可知，阴影部分的面积＝长是3宽是1的长方形的面积﹣中间边长是1的正方形的面积．【解答】通过观察可知，阴影部分的面积＝长是3宽是1的长方形的面积﹣中间边长是1的正方形的面积．3×1﹣1×1＝2故选：D．3．（10分）在6×6的方格表中，摆放写有的长方形，每个长方形恰好盖住2个方格，如果任意两个长方形之间没有公共边（可以有公共顶点），那么棋盘中摆放的长方形的方格内所有数之和最大是（）A．266 B．304 C．342 D．380【分析】本题考察最大与最小．【解答】解：因为任意两个长方形之间没有公共边，所以每个长方形盖住的数字都是20和18，平均数为19，则所有数字之和是36÷2×19＝342，．故选：C．4．（10分）在如图的三角形ABC中，EB＝ED，FC＝FD，∠EDF＝72°，则∠AED+∠AFD＝（）A．200° B．216° C．224° D．240°【分析】由题意，∠B＝∠EDB，∠C＝∠FDC，再利用内角和，即可得出结论．【解答】解：由题意，∠B＝∠EDB，∠C＝∠FDC，∴∠AED+∠AFD＝360°﹣（∠A+∠EDF）＝360°﹣（∠A+∠EDF）＝360°﹣（180°﹣∠B﹣∠C+∠EDF）＝180°+∠B+∠C﹣∠EDF＝180°+∠EDB+∠FDC﹣∠EDF＝180°+180°﹣∠EDF﹣∠EDF＝360°﹣2×72°＝216°，故选：B．5．（10分）从1﹣20这20个整数中任意取11个数，其中必有两个数的和等于（）A．19 B．20 C．21 D．22【分析】构造抽屉，把这20个数分组，看成10个抽屉：{1，20}，{2，19}，…，{10，11}．从这10个数组的20个数中任取11个数，根据抽屉原理可得结论．【解答】解：构造抽屉，把这20个数分组，看成10个抽屉：{1，20}，{2，19}，…，{10，11}．从这10个数组的20个数中任取11个数，根据抽屉原理可得，其中必有两个数的和等于21，故选：C．6．（10分）小王将一些同样大小的正三角形纸片摆放在桌上．第一次放1张纸片；第二次在这个小正三角形纸片四周再放三张纸片；第三次在第二次摆好的图形四周再摆放纸片；…摆放要求是：每次摆放的每张纸片必须和上一次摆放的纸片至少有一条边重合，且纸片之间除边之外，无重合（见图）．第20次摆放后，该图形共用了正三角形纸片（）张．A．571 B．572 C．573 D．574【分析】先找规律，第一次放1张纸片；后面每一次增加3（n﹣1）个三角形，所以第二次放1+3张纸片；第三次放1+3+6张纸片；第四次放1+3+6+9张纸片；据此规律解答即可．【解答】解：根据分析可得，第20次摆放后，该图形共用：1+3+6+9+…+3×（20﹣1）＝1+3+6+9+…+57＝（3+57）×（20﹣1）÷2+1＝570+1＝571（个）答：第20次摆放后，该图形共用了正三角形纸片571张．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题10分，满分40分）7．（10分）磊磊买了一本新书，非常喜欢．第一天读了这本书的还多12页，第二天读了剩余的还多15页，第三天读了剩余的还多18页，这时还剩42页未读．那么这本书的页数是190．【分析】利用倒推法，即可得出结论．【解答】解：第二天剩余（42+18）÷＝90（页），第一天剩余（90+15）÷＝140（页），这本书的页数（140+12）÷＝190（页），故答案为190．8．（10分）某五号码牌由英文字母和数字组成，前四位有且只有两位为英文字母（字母I、O不可用），最后一位必须为数字．小李喜欢18这个数，希望自己的号码牌中存在相邻两位为1和8，且1在8的前面，那么小李的号码牌有34560种不同的选择方式．（英文共有26个字母）【分析】本题考察排列组合．【解答】解：除掉18剩余的三个位置有10×24×24＝5760（种），所以18在一二位有5760种；18在二三位有5760种；18在三四位有5760种；18在四五位有5760×3＝17280种；综上，共有5760×6＝34560（种），故填34560．9．（10分）在一个自然数的所有因数中，能被3整除的因数比奇因数多5个，那么这个自然数最小是72．【分析】考虑对这个自然数做质因数分解，分析其质因数及其个数，进而计算出这个自然数．【解答】解，既然存在被3整除的因数，那么这个自然数里一定有3作为质因数，然后尝试枚举能被3整除的因数，考虑有质数2，从小到大依次是2×3＝6，3×3＝9，2×2×3＝12，2×3×3＝18，2×2×2×3＝24，2×2×3×3＝36，至此已满足条件，由此得到的自然数是2×2×2×3×3＝72，如果考虑到72也是其自己的因数，那么1也是72的因数，仍然满足能被3整除的因数比奇因数多5个的条件，问题得解．故答案为72．10．（10分）一只蚂蚁从正方体某个面的中心出发，每次都走到相邻面的中心，每个中心恰好经过一次，最终回到出发点．所有经过的中心排出的序列共有32种．（两条序列不同指沿着行走方向经过的中心点顺序不一样）【分析】本题考察排列组合．【解答】解：从一个面出发，第一次有4个不同的方向选择，这四个方向的情况数目是相同的，所以考虑一种即可，我们考虑从正面出发的情况，正→上→背→右→下→左→正正→上→背→左→下→右→正正→上→左→下→背→右→正正→上→左→背→右→下→正正→上→左→背→下→右→正正→上→右→下→背→左→正正→上→右→背→左→下→正正→上→右→背→下→左→正所以总共有4×8＝32（种）故填：32．

2018年第二十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小中组）一、选择题（共6小题，每小题10分，满分60分）1．（10分）A、B均为小于1的小数，算式A×B+0.1的结果（）A．大于1 B．小于1 C．等于1 D．无法确定和1的大小2．（10分）小明把6个数分别写在三张卡片的正面和反面，每个面上写一个数，每张卡片上的2个数的和相等，然后他将卡片放在桌子上，发现正面上写着28，40，49，反面上的数都只能被1和它自己整除．那么，反面上的三个数的平均数是（）A．11 B．12 C．39 D．403．（10分）连接正方形ABCD的对角线，并将四个顶点分别染成红色或黄色，将顶点颜色全相同的三角形称为同色三角形，则图中有同色三角形的染色方法共有（）A．12 B．17 C．22 D．104．（10分）在6×6网格的所有方格中放入围棋子，每个方格放1枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相等，每列中的白色棋子的数目都相等，那么这个6×6网格中共有（）枚黑色围棋子．A．18 B．14 C．12 D．105．（10分）数字和等于218的最小自然数是个n位数，则n＝（）A．22 B．23 C．24 D．256．（10分）Ⅰ型和Ⅱ型电子玩具车各一辆，沿相同的两个圆形轨道跑动，Ⅰ型每5分钟跑一圈，Ⅱ型每3分钟跑一圈．某一时刻，Ⅰ型和Ⅱ型恰好都开始跑第19圈，则Ⅰ型比Ⅱ型提前（）分钟开始跑动．A．32 B．36 C．38 D．54二、填空题（共4小题，每小题10分，满分40分）7．（10分）如图是某市未来10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100为优良．从图上看，连续两天优良的是、号．8．（10分）如图所示，一个正方形纸片ABCD沿对角线BD剪成两个三角形．第一步操作，将三角形ABD竖直向下平移3厘米至三角形EFG；第二步操作，将三角形EFG竖直向下再平移5厘米至三角形HIJ．第一步操作后两张纸片重叠的面积与第二步操作后两张纸片重叠的面积相等，那么这个正方形纸片ABCD的面积是平方厘米．9．（10分）有11个正方形方阵，每个都有相同数量的士兵组成，如果加上1名将军，就可以组成一个大的正方形方阵．原来的一个正方形方阵里最少要有名士兵．10．（10分）从四边形4个内角取2个求和，共有6个和数，则大于180°的和最多有个．

2018年第二十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小中组）参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题10分，满分60分）1．（10分）A、B均为小于1的小数，算式A×B+0.1的结果（）A．大于1 B．小于1 C．等于1 D．无法确定和1的大小【分析】根据题意与小数乘法的法则，可知A×B积应是大于0而小于1的数，则A×B+0.1的和就应是大于0.1而小于1.1的数，即0.1＜A×B+0.1＜1.1，这样答案就很出来了．【解答】解：∵A、B均为小于1的小数∴0＜A×B＜10+0.1＜A×B+0.1＜1+0.10.1＜A×B+0.1＜1.1A×B+0.1的和可能大于1、小于1或等于1，即无法确定和1的大小．故选：D．2．（10分）小明把6个数分别写在三张卡片的正面和反面，每个面上写一个数，每张卡片上的2个数的和相等，然后他将卡片放在桌子上，发现正面上写着28，40，49，反面上的数都只能被1和它自己整除．那么，反面上的三个数的平均数是（）A．11 B．12 C．39 D．40【分析】本题考察数的整除特征．【解答】解：因为28、40、49奇偶性不一样，根据卡片正反面上两个数字和相等，所以49的背面是2，和为49+2＝51，从而反面上的平均数是（51×3﹣28﹣40﹣49）÷3＝12．3．（10分）连接正方形ABCD的对角线，并将四个顶点分别染成红色或黄色，将顶点颜色全相同的三角形称为同色三角形，则图中有同色三角形的染色方法共有（）A．12 B．17 C．22 D．10【分析】本题考察染色问题．【解答】解：全部为红色或全部为黄色，2种；三红一黄或者三黄一红，4×2＝8种，所以有同色三角形的染色方法有2+8＝10（种），故选：D．4．（10分）在6×6网格的所有方格中放入围棋子，每个方格放1枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相等，每列中的白色棋子的数目都相等，那么这个6×6网格中共有（）枚黑色围棋子．A．18 B．14 C．12 D．10【分析】根据题意可知，每行的数目可以为0、1、2、3、4、5、6个，又由于每列都相等，所以总和一定是6的倍数，然后从这7个数中去掉一个数，是剩下的6个数的和是6的倍数即可解决问题，如下图（剩下的位置放黑色围棋子）．【解答】解：每行的数目可以为0～6个，每列都相等，所以一定是6的倍数，0+1+2+3+4+5+6＝21，如果去掉3，那么剩下的数：21﹣3＝18正好是6的倍数，所以，白棋子有18个，则，黑色围棋子有：6×6﹣18＝18（个）故选：A．5．（10分）数字和等于218的最小自然数是个n位数，则n＝（）A．22 B．23 C．24 D．25【分析】要使这个数最小，数的位数就要尽可能的少，每一个数位上的数尽量取数字9；据此解答即可．【解答】解：要使这个数最小，数的位数就要尽可能的少，所以，每一个数位上的数尽量取数字9，218＝9×24+2所以，这个数最小是2，所以，数字和等于218的最小自然数是个n位数，则n＝24+1＝25；故选：D．6．（10分）Ⅰ型和Ⅱ型电子玩具车各一辆，沿相同的两个圆形轨道跑动，Ⅰ型每5分钟跑一圈，Ⅱ型每3分钟跑一圈．某一时刻，Ⅰ型和Ⅱ型恰好都开始跑第19圈，则Ⅰ型比Ⅱ型提前（）分钟开始跑动．A．32 B．36 C．38 D．54【分析】由题意知：两类型的玩具车都刚跑完了18圈，我们又知道I型车比II型车每圈多用5﹣3＝2分钟，那可求18圈多用的时间是18×2＝36分钟，这里多用的时间就是I型比II型提前的时间，即36分钟．【解答】解：5﹣3＝2（分钟）18×2＝36（分钟）故选：B．二、填空题（共4小题，每小题10分，满分40分）7．（10分）如图是某市未来10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100为优良．从图上看，连续两天优良的是1﹣2、5﹣6号．【分析】根据空气质量指数小于100为优良，利用图形，即可得出结论．【解答】解：由图形可知，连续两天优良的是1﹣2，5﹣6，故答案为1﹣2，5﹣68．（10分）如图所示，一个正方形纸片ABCD沿对角线BD剪成两个三角形．第一步操作，将三角形ABD竖直向下平移3厘米至三角形EFG；第二步操作，将三角形EFG竖直向下再平移5厘米至三角形HIJ．第一步操作后两张纸片重叠的面积与第二步操作后两张纸片重叠的面积相等，那么这个正方形纸片ABCD的面积是121平