第十五届中环杯小学数学五年级决赛详解

第15届中环杯决赛试题解析（五年级）一、填空题A（本大题共8小题，每题6分，共48分）：13731649113151.计算：________.201511715【【答案】2解答】1164373911315201511715313131993151720151157117311130553133115171231212.老师布置了一些数学回家作业。由于小明基础不好，所以小明收到的题目数量比小王收到的题目数量多20道。若两人收到的题目数量之比为4:3，则小明回家需要完成________道题目。【答案】80【解答】设小明收到了道题目，则小王收到了x道题目，根据题意4x4x3xx，所以小明需要完成4x4道题目。3.如图，正八边形的边长为1，将其进行下图的切割，切割后灰色部分面积与斜线部分面积之差为________（大减小）。14【【答案】解答】如下图，,B与C,D抵消，剩下的中间的正方形可以切割为四个等腰直角1三角形，其中三个与灰色部分抵消，留下的一个面积就是4【说明】考察等腰直角三角形用斜边表示的面积公式ACBD4.在一组英文字母串中，第一个字母串aA、第二个字母串aB，之后每个字母串123都是由an1后面跟着的反转构成的。比如（我们用表示的32aann2aiain1反转，就是从右往左读这个字母串得到的结果，比如、），，，。那么，这组字母串的前aaaaaaaaa432543654个中，有________个是回文字母串（所谓的回文字母串，就是指从左往右读与从右往左读相同，比如、）【【答案】6解答】通过尝试，我们发现只有a、a、a、、a999不是回文字母串，别的369都是，那么可以直接得到答案：一共只有个非回文字母串，剩下的个都是回文字母串。接下来严格证明一下（考场上没有时间的话，这部分可以忽略）：假设nP，n1Q，那么，。由于在两边与可以保证其n2QPn3QPQQ回文特性，最后n3是否为回文字母串就取决于的情况。如果aP为回文字母Pn串，那么n3Q也是回文字母串；如果nP不是回文字母串，那么n3Q也不是回文字母串。考虑到a、a都是回文字母串，所以a,a,,a与a,a,,a9981247100058都是回文字母串。而aBA不是回文字母串，所以a,a,,a不是回文字母串。至369999此，已经证明了前面的猜测。5.如下左图，七个字母放置在圆中，每次将包含中心圆的三个圆（这三个圆的圆心构成等边三角形）顺时针旋转，这样称为一次操作。比如可以将,B,D进行旋转，从而B出现在原D的位置（用BD表示这个旋转），DA，AB。也可以将D,E,F进行旋转（DE，EF，FD），但是不能将,D,G或者C,B,E进行旋转。经过若干次操作后，得到下右图。那么，最少需要操作________次。EFCEABCAFDBDGG【【答案】3解答】由于除了G以外，外围的5个圆中的字母位置都变了，而每次操作只能改变外围2个圆中的字母位置，所以至少需要3次。如下图，第一次旋转F,D,E，第二次旋转,B,F，第三次旋转E,C,BCEACDACDFEFFDBEFBEBABCAGGGDG6.我们用Sk表示一个首项为k，公差为k2的等差数列，比如S3为3、12、、。如果______。是Sk中的一项，满足条件的k之和为_3【答案】【解答】由于Sk的首项为k，公差为k2，所以其中的某一项可以表示为k2k1。如果是Sk中的一项，则k1306k|306。由于322，满足条件的k1、2、17、（注意，当k时，k1；当k时，m0），所以这些数之和为127.下图的三角形网格中，有________条直线能正好经过其中的两个点【【答案】60解答】首先，这里一共有19个点，所以会产生1条直线。然后我们将其中29171通过超过2个点的直线数量减去，就得到最后的答案了。（1）通过3个点的直线有15条，如下图所示，一共导致15C条直线不满足要求23（2）通过4个点的直线有6条，如下图所示，一共导致6C条直线不满足要求24（3）通过5个点的直线有3条，如下图所示，一共导致3C条直线不满足要求25综上所述，本题的答案为17115C6C3C171453630602324258.如图，直角中，4，点HI都在长方形上，且都是正方形。则的面积为________。JIDHAEMCGBKFL【【答案】解答】如下图，进行切割后，得到弦图，所以得到四个相同的三角形：1、、、，面积均为346，然后三个正方形的面积之和2为9，三个矩形的面积均为34，所以总面积为4650123245036110JIDHOAEMCGBKNFL二、填空题B（本大题共4小题，每题8分，共32分）：9.计算：4_____.94847424141029258257296295213421332【答案】761510210910910210219102104949292929284748272827287878272158272【解答】由于2414221222122121221232212所以1049847424410292582572962952134213241910292158272322121029258272962521342321722121722122010292222172221201011211756761510.甲、乙两人分别从B两地同时出发（甲从A出发），相向而行，在两地之间不停地往返行走，甲的速度是乙的4倍。已知B之间相距S千米，其中S为正整数，并且S有8个因数。第一次两人在C处碰头（注意：这里的碰头可以指迎面相遇，也可以指背后追到），的长度是一个整数；第二次两人在D处碰头，的长度还是一个整数；第二次碰头后，乙感觉自己速度太慢，所以在D处附近的村子问老乡借摩托车。等他借到摩托车回到D处时，甲已经到达E处（甲还没有到过A地），AE的长度又是一个整数；最后，乙骑着摩托车去追甲，摩托车的速度是甲速度的14倍，两人同时达到A地。那么，B两地相距_____千米。【答案】105解答】由于甲的速度是乙的4倍，所以第一次碰头时，S。根据题意，445【S5为整数，所以5|S；还是由于甲的速度是乙的4倍，如果乙走了S千米，甲要走S千米，已经两个来回了，所以第二次碰头时，甲应该是追到乙。设乙走了x千米，则甲走了千米，得4xSS232到方程4xxSx，此时SS千米。根据题意，S为整数，所以333；3|S2接下来乙去借摩托车，甲继续走。考虑到摩托车的速度是甲速度的14倍，将S分3成14份，甲走了13份的时候，乙回到D处，然后两人可以同时到达A地。所以，2111我们推出AESS。根据题意，S为整数，所以。21|S314215|S5|S综上所述，3|S3|S。由于有8个因数，所以千米。SS35721|S7|S11.对任意正整数n，定义r,n为mn的余数（比如r3表示83的余数，所以）。那么满足方程的最小正整数解为r8,32rm,1rm,2rm,3rm,104_____.【答案】【解答】如果m12，那么m除以4、6、8、10的余数不可能为0，此时的余数之和超过4了，所以m02。由于余数之和为4，对于一个偶数来说，它除以8的余数只能是0、2或4（如果是6就超过4了）。（1）如果这个数除以8的余数为4，则它必须为3，5，7，9，10的公倍数，由于，为了满足除以8的余数为4，这个数至少为；3,5,7,9,106302（2）如果这个数除以8的余数为2，则它除以4的余数也为2（4个余数都用完了），所以它还是必须为3，5，7，9，10的公倍数，这个数至少为3；（3）如果这个数除以8的余数为0，则m02、m04、m0mod8。我们要进一步分析。如果m除以3的余数不是0，那么它除以6，9的余数也不会为。由于m为偶数，所以m除以6的余数至少为2。为了使得余数之和为4，则只能m130是m26，但是m26m23，矛盾，所以这个数一定是3的倍m19数。由于这是一个偶数，而且它又是3的倍数，所以必定是6的倍数，所以mm0mod3。至此，我们已经推出：m0mod1、m02、m03、06、、、、、mm04m?mod5m0mod6m?mod7m0mod8、（表示还不能确定的余数）。接下来对除以9的余数?9m?mod10?m进行讨论：（3.1）如果m39，只剩下1个余数了。考虑到m15mor6mod10，所以剩下的余数应该给7，也就是说m05、m1mod10m1mod5、m39、m0mod10，此时m最小为120；m17mm08（3.2）如果m09，剩下4个余数。由于，此时m已经是098,9的倍数了。显然不满足我们的要求，而已经超过120了；2综上所述，m最小为12012.6个正整数,,,d,,f按字母顺序排成一排，构成一个数列，其中a1。如果某个正整数大于1，那么比这个正整数小1的数肯定出现在它的左边。比如d1，则a,b,c中必有一个值为d1。举例：1，1，2，1，3，2满足要求；1，2，3，1，4，1满足要求；1，2，2，4，3，2不满足要求。满足要求的不同排列有______【【答案】解答】我们用b表示满足题目要求的n个自然数构成的数列个数，显然b1，n1接下来计算2，这个数列由两个正整数构成。由于a1，那么b1或2，如果a1b1a1，那么这个数列中的数最大为1，这样的数列有1个；如果，那么这个b2数列中的数最大为2，这样的数列有1个。我们用下面的写法表示计数：11；21数列中的数最大为2接下来计算3，这个数列由三个正整数构成。（1）为了使得数列中的数最大为1，则前面的数只能都为1，所以只有1个。（2）为了使得数列中的数最大为2，有两种可能：前面的数都是1，最后一个数填2，这样的数列有1个，这个1就是前面2中的第一个数字；前面的数已经到达2了，那么最后一个数可以是1，可以是2，所以有12个。其中1就是2中的第二个数字，2表示最后一个数字有两种写法；（3）为了使得数列中的数最大为3，则前面两个数构成的数列必须到达最大为2的情况，这样的数列有1个，这个1就是前面2中的第二个数字。我们用下面的写法1112131数列中的数最大为23表示计数：；1311数列中的数最大为23利用相同的推导方法，我们得到下面的结果：3131132141数列中的数最大为23数列中的数最大为417611数列中的数最大为23数列中的数最大为451172763614111525101611152101511319065151203三、动手动脑题（本大题共2小题，每题10分，共20分）：13.用1，2，3，4，5，6，7，9这8个数码组成4个两位质数（每一个数码必须且只能用一次），这4个质数有多少种不同的可能？【【答案】4解答】容易知道2、4、5、6只能作为十位数，设这四个两位质数为、、2ab、。剩下的四个数字为1、3、7、9，简单分析一下得a1,7，b9，c1,7，6dca1,7c1,7d3,9。由于a,c只能取3、9，剩下的1、7要分给b,d，一共有224种a3c9a9b1b7d1可能（第1个2表示或者，第2个2表示或者）c3d714.如图，中，。在边上有一块奶酪，其位置在最靠近点C的四等分点上。在上有三个透视镜W、W、W，这三个透视镜将四等分。有一只疑心病很123重的老鼠在AB上爬行（从A爬往B），米。当老鼠，某个透镜，奶酪在一条直线上时，老鼠能观察到奶酪。由于老鼠的疑心病很重，它希望多次看到这块奶酪，这样就可以保证在它还没有爬到前，这块奶酪没有被别的老鼠吃掉。所以它第1分钟往前爬米，第2分钟往回退米，第3分钟往前爬米，第4分钟往回退米。，依次类推。当这只老鼠爬到点后，它直接沿着BC冲过去吃奶酪。问：老鼠B在AB段上一共可以看到多少次奶酪。AW1W2W3奶酪BDC【答案】5解答】本题的关键就是要求出哪几个点可以看到奶酪。设奶酪的位置为E（如下【图），由于34，所以3E//，从而推出33。由于米，所3AB4004以300米。本题的难点就在于如何求出,的长度。312A11223EC3BD我们先来求2，这里提供两种思路：思路一：如下图，延长2E与延长线交于点H。被2所截，所以ADC2CE11113。设a，则，所以aWD32a。而被GWH所截，所以222222B