第十五届中环杯小学数学四年级决赛详解

第15届中环杯决赛试题解析（四年级）一、填空题A（本大题共8小题，每题6分，共48分）：1.计算：9________.6【【答案】690解答】694.616.2232334.616.2232313.816.223306902.将长、宽、高分别为3厘米、4厘米、5厘米的长方体积木，叠成最小的正方体，最少要积木______块【答案】3600【解答】容易知道正方体的边长至少为4,560厘米，所以需要积木63453600块060603.在5、8、15、18、25、28、、2008、2015中，有________个数的数码之和为偶数138的数码之和为138）（【答案】202【解答】每两个数一对：8、、、2005,2008，每对里面有且仅有一个数的数码之和为偶数，一共有20088101201对，而最后一个数的数码之和为0158，为偶数，所以答案就是214.如图，在长方形中，与都是等腰直角三角形，2。则长方形的面积为________.BAEFDC【答案】8【解答】可以如下图进行切割，由于2，整个长方形的面积是小正方形面积的8倍。由于一个小正方形的面积为1，所以长方形的面积为8BAGEFDC5.一个等差数列的首项为9，第8项为12，那么这个数列的前项中，有________项是3的倍数。【答案】2【解答】根据已知条件，容易推出这个等差数列的通项公式为20n203n603nn1d。为了使得其为3的倍数，只要使得为整数na177720101即可。容易知道，当n1、8、15、、项满足要求。时满足要求，一共有128876.老师将一些数填入下图的圆圈内（每个圆圈内能且只能填一个数），左右两个闭合回路的三个数之和均为30，上下两个闭合回路的四个数之和均为40。若圆圈X内填的数为9，则圆圈Y内填的数为.【答案】11abcd40XYcb40【解答】如下图所示，abcdXYcb80，abX30abcdXY60，我们推出cb。将cb代入cdY30XYcbXY。由于X9，所以Y11。7.如图，一只蚂蚁在网格上爬行，每爬一步就是指从一个点爬到其相邻的点（由一条虚线段连接的两个点称为相邻的点）。这只蚂蚁一共要爬四步，如果它从点A开始爬，不同的爬行路线有m种；如果它从点B开始爬，不同的爬行路线有n种。则nm________.AB【【答案】3解答】我们发现，无论从点A出发还是从点B出发，接下来都是走到形如C点的位置（下图中的六个红点），根据对称性，每个红点所对应的走法是相同的。点A走到红点有两种方法，点B走到红点有六种方法，所以nm623。【说明】对称计数ACB8.小明看到一辆拖拉机拉着一条绳子在路上缓慢地行驶着，小明准备去测量一下绳子的长度。如果小明沿着拖拉机开的方向行走，从绳子的一端走到另一端，一共走了步；如果小明行走的方向与拖拉机开的方向相反，从绳子的一端走到另一端，一共走了步。拖拉机与小明的速度保持恒定，小明每步可以走1米。那么绳子的长度为米。【答案】【解答】由于第一次走了步、第二次走了步，所以第一次花的时间是第二次花的时间的倍，所以这个过程中拖拉机开的路程也是倍关系。设第一次拖拉机77开了米，第二次拖拉机开了S米，并且设绳子的长度为x米，得到方程组7Sx7S140x35。S20xS15二、填空题B（本大题共4小题，每题8分，共32分）：9.一个园艺匠准备种植一排共棵树，一共有两种树可供选择：枫树或者梧桐树。任两棵枫树之间（不包括这两棵枫树）的树的数量不能等于3。那么这棵树中，枫树最多有棵。【答案】12【解答】在任意连续的八棵树中，一旦种下一棵枫树，那么相当于另一个位置只能种梧桐树。我们用下图进行说明，用●表示枫树，用表示梧桐树，一旦第二个位置种了枫树，那么位置A必须种植梧桐树。无论枫树出现在哪个位置，总有一个位置与其对应，只能种植梧桐树，所以八棵连续的树中最多只有四棵枫树●A根据前面的推导，棵树中的前16棵树里最多包含了8棵枫树，所以枫树总数最多，我们可以如下进行种植：8412●●●●●●●●●●●●10.如图，为等腰直角三角形，E为，边上一点，满足F三点在ABC一条直线上。设中BE边上高的长度为h，中边上高的长度为h，我们12有hh3厘米。与的面积之和为6平方厘米，则的面积为12________平方厘米。FADBEC【【答案】31解答】由于CEBC,CE。而4411SDBESFECBE1CE2212341214BC1BC221BCh218hh3141将代入，得。所以SABCBC216264平方厘米12SDBESFEC6411.已知一个四位数ABCD满足：ABCDCD是的倍数，则ABCD的最小值为.【答案】，从而推出【解答】ABCDCD100CDCDCD100100，所以、、、AB1CD100100mod11111CD1001211343312111211（1）当CD1001211时，此时112.11，所以CD100100，所以或10，但是这两个数显然不是的因数；（时2）当CD1002322时，考虑到23，所以，此1181729。CD100129接下来我们要证明已经是最小值了，假设它不是最小值，还存在，ABCD1729满足CD100k100，此时，所以10~161CD100161991003383。当k3时，此时k已经大于了，所以k2。而对于k2的情况，我们前面已经讨论过了，所以不存在。ABCD1729综上所述，本题要求的最小值就是。12.如下左图，甲要从A走到B，每次只能向上或者向右走一格；乙要从C走到D，每次也只能向上或者向右走一格。将两人走的路径标出来，如果两条路径不相交（没有公共点），那么就称这两个人走了“中环路”（下右图就是一条“中环路”）。那么，“中环路”一共有______种。BDBDACAC【答案】【解答】容易知道，从AB，一共有84种走法，同理，从CD，一共有8种走4法，所有两人走的路径一共有CC种。接下来我们只要将相交的情况减掉，剩下4488的就是答案了。如下图，两条路径的第一个交点为E，我们把这两条路径看为：AED与CEB（原先应该是与CED）。注意：如上右图，如果没有相AEB交，我们不能这样看待两条路径，只有产生相交点之后，才能这样看待这两条路径。反过来，对于AED与CEB的任意两条路径来说，它们必然会产生公共点。利用对应原理，我们将相交的两条路径与“AED与CEB的路径”对应起来了，所以相交的情况一共有CC种。44106BDEAC综上所述，最后的答案就是CCCC490031501750。484841046三、动手动脑题（本大题共2小题，每题10分，共20分）：13.如图，是一个梯形，其对角线的交点为O。延长至点E，满足。延长DB至点F，满足。若的面积为2015平方厘米，求：的面积。ADOBC?GFE【【答案】2015解答】由于是一个梯形，利用等积变换我们有SAOBSDOC。利用，我们推出SAOBSCBE。利用，我们推出SDOCSBCF。结合SAOBSDOC，我们有SCBESBCF，所以SCBESBCGSBCFSBCGSBFGSCGE，所以是2015。的面积也14.A、B、C三人到D老师家里玩，D老师给每人发了一顶帽子，并在每个人的帽子上写了一个四位数。已知这三个四位数都是完全平方数（比如422，2，都是某个数的平方，这样的数称为完全平方数），并且这三个四位数的十位数都是0，个位数都不是0。每个小朋友只能看见别人帽子上的数。这三个小朋友非常聪明而且诚实，发生了如下的对话：A说：“B、C帽子上数的个位数相同。”B、C同时说：“听了A的话，我知道自己的数是多少了。”A说：“听了B、C的话，我也知道自己的数是多少了，我的这个数的个位数是一个偶数。”求：A、B、C帽子上的数之和。【答案】【解答】假设cb0a210ef2100efa0f0，两边对取22余，从而推出，也就是说20eff的十位数部分为。显然20ef2f2a20的十位数部分肯定为偶数，所以f2的十位数也必须为偶数，满足条件的f1、2、3、5、、、。789（1）当f1、2、时，为了使20f的十位数部分为，则，此时这三个e5320数就是、、；222（2）当f5时，20f100e25，十位数部分不可能为；20（3）当时，20f140e49，为了使得十位数为，则e4或9，此时满足f720条件的数为2或2；9409（4）当时，20f160e64，为了使得十位数为，则e4或9，此时满足f820条件的数为或；22（5）当时，20f180e81，为了使得十位数为，则e4或9