工程流体力学答案(陈卓如)第三章

［陈书3-8］已知流体运动的速度场为vx=2yt+at\vv=2xt,v.=0,式中d为常数。试求：/=1时过(0上)点的流线方程。解：流线满足的微分方程为：--匕人冬将vx=2yt+at3,vy=2xt,v.=0,代入上式,得：clx(x-y平面内的二维运动)2yt+at52xt'移向得:2xtdx=(2yt+at5)dy两边同时积分：j2xtdx=j(2yt+af)dy(其中t为参数)积分结果：x2t=y2t+aye+C(此即流线方程，其中C为积分常数)将t=l,x=0,y=b代入上式，得：0=b2-^-ab+C・••积分常数C=-b2-ab时刻,过(0,b)点的流线方程为：x2=y2+ay-(b2+ab)整理得：x2-y2-ay+(b2+ab)=0陈书3-10已知二元不可压缩流体流动的流线方程如下，问哪一个是无旋的？2Ary=C；Ax+By=C；A1ii(a}'2)=C,其中儿B,C均为常数。

［解法一］根据流线方程2Axy=C=>2Aydx+2Axdy=0当“。时，有宁*令u=xf(x.y)9v=-yf^y)根据流体的不可压缩性，从而色+色=/+寸；-/-#；=#；-#；=0dx•再把流线方程2Ag=C对x求导得到2Ay+2Axy'=0=>y=-—x所以豈+盒=对；_戎=矿;y-yf'y=-2yf'y=°y是任意的，得到/>0du勿无旋根据流线方程Ax^By=C=>Adx+Bdy=0令u=Bf(x,y),v=-Af(x9y)根据流体的不可压缩性，从而—+—=Bf；-v；=odx勿再把流线方程Ax+By=C对x求导得到AA+Bv=0=>y'=-—］r8所以$+?=於;—24/>0dxdy当A=0时，y=0无旋dudv当4h0时，f'y=0dudv|_^=<+AZ=B-^/；=0无旋^>A"1T10—-y^ax+—-Ixydy=Af1z2,)—dx^—dy<・YT丿U)‘)=0(3)根据流线方程Ah^2)=C

dx_dy2xy令”=2#(x,y)‘v=-}/(x,y)再把流线方程2A°uC对x求导得到\<12•|=A-+/)')J1「1c•A—r+—根据流体的不可压缩性,+?=2/+2MH=/+2戍—班=/—2班=0。/->\=2或+皿=2—?/；,不恒为0I2AJ有旋［解法二］由题意知:流函数屮(^x,y)=xy得到即u==-Xdy和V=—=V从幢•dudv勿dx无旋同上流函数屮(X,y)=Av+Bydudv勿dx无旋同上流函数屮(x,y)=xy2u=-2xy,v=y2色—空一2“0勿dx有旋［陈书3-11］设有两个流动，速度分量为：(1)vx=-ay,vy=ax,v.=0；⑵匕二-戶“二J"冬=0式中d,C为常数。试问：这两个流动中哪个是有旋的？哪个是无旋的？哪个有角变形？哪个无角变形？解：两个流动中均有冬=0,即均为平面二维流动状态，因此旋转角速度分量cox=coy=0,角变形速度分量yx=yy=0□・••当ghO时此流动有旋，无角变形；当口=0时此流动无旋，无角变形。:2dx62(x2+r)2(x2+r)2(亍+尸)‘・••当chO时此流动无旋，有角变形；当c=0时此流动无旋，无角变形。［陈书3-13］设空间不可压缩流体的两个分速为：vv-ax1+by~+czr,vv=-dxy-eyz-fzx；（4（4）vv=Invv=sin其中°,b,c,d,匕/均为常数。试求第三个分速度冬。己知当2=0时=0O不可压缩流体的连续性方程为：坐+翌+21=0,dxdydz则：坐一殂—坐dzdxdy坐一坐一坐=_2姒+如氏dzdxdy将上式积分得：匕=J譽衣=-2axz+dxz+扌氏'+f(x,y)利用条件Z=0时冬=0得到/(x,y)=0•:v.=-2axz+dxz+—ez2・2坐一坐一殂=0dzdxdy将上式积分得：V.=f^-dz=g(x,刃Jdz利用条件Z=0时冬=0得到g(x,y)=0v.=0［陈书3-30］如图所示水平放置水的分支管路，己知D=100mm9qv=lSl/s9dY=d2=25tmn,=50/nw?,qVi=,匕=4w?/s。求,qV2,qvz,匕，匕。解：根据质量守恒定理有：qv=qvl+qV2+qVi(1)其中^=^K=1.96/