2022年河南省洛阳市中考数学一模试卷

第1页（共1页）2022年河南省洛阳市中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1．（3分）﹣2022的绝对值等于（）A．2022 B．﹣2022 C． D．2．（3分）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．据了解，河南省“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”2014—2018年项目规划总投资268.1亿元，将数据268.1亿用科学记数法表示应为（）A．0.2681×101 B．2.681×1011 C．2.681×1010 D．26.81×1093．（3分）如图所示的六角螺栓，其俯视图是（）A． B． C． D．4．（3分）如图，直线DE∥BF，Rt△ABC的顶点B在BF上，若∠CBF＝20°，则∠ADE＝（）A．70° B．60° C．75° D．80°5．（3分）下列运算正确的是（）A．a3﹣a2＝a B．a7÷a3＝a4 C．（﹣3a）2＝﹣6a2 D．（a+1）2＝a2+16．（3分）一元二次方程（x+2）（x﹣3）＝﹣7的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根7．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（）A． B． C． D．8．（3分）为了响应国家“双减”政策，某校在课后延时服务时段开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．现学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，则恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率是（）A． B． C． D．9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A（1，﹣1），D（3，﹣1），规定把正方形ABCD“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2022次变换后，正方形ABCD的中心的坐标为（）A．（﹣2，﹣2021） B．（2，﹣2022） C．（﹣2，﹣2023） D．（2，﹣2024）10．（3分）如图1，Rt△ABC绕点A逆时针旋转180°，在此过程中A、B、C的对应点依次为A、B'、C'，连接B'C，设旋转角为x°，y＝B'C2，y与x之间的函数关系图象如图2，当x＝150°时，y的值为（）A． B．3 C．4 D．13二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式．12．（3分）不等式组的解集是．13．（3分）甲、乙两位同学在10次定点投篮训练中（每次训练投8个）．各次训练成绩（投中个数）的折线统计图如图所示，则甲、乙两位同学成绩更稳定的是（选填甲或乙）14．（3分）有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝6，上面有一个以AD为直径的半圆，如图甲，E为AB边上一点，将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图乙，这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是．15．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，∠B＝60°，点E在线段BC上运动（含B、C两点）．连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60°得到AF，连接DF，则线段DF长度的最小值为．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）（1）计算：；（2）化简：．17．（9分）某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下：收集数据：从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：甲7886748175768770759075798170748086698377乙9373888172819483778380817081737882807046整理、描述数据：按如下分数段整理、描述这两组样本数据：成绩x人数部门40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100甲0011171乙1007102（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70﹣79分为生产技能良好，60﹣69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：部门平均数中位数众数甲78.377.575乙78.3mn根据以上信息，回答下列问题：（1）表中m＝，n＝；（2）估计乙部门生产技能优秀的员工人数为；（3）请你利用上面数据推断出哪个部门员工的生产技能水平较高，并说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．18．（9分）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于A（a，3），B两点．（1）求k的值及点B的坐标；（2）请直接写出不等式的解集；（3）已知AD∥x轴，以AB、AD为边作菱形ABCD，求菱形ABCD的面积．19．（9分）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小明利用无人机来测量广场B，C两点之间的距离．如图所示，小明站在广场的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是21.7m，此时从无人机测得广场C处的俯角为63°，若小明的身高BE＝1.7m，EA＝25m（点A，E，B，C在同一平面内）．求B，C两点之间的距离（结果精确到0.1m）．（sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96）20．（9分）已知点C是△ABD的边AB上一点，且，AC为⊙O的直径，BD切⊙O于点D，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．（1）求证：∠BAD＝∠ABD；（2）若⊙O的半径为1，求线段EM的长．21．（9分）某学习小组在数学活动课上设计了一个问题情境．已知林茂的家、体育场、文具店在同一条直线上，林茂从家匀速跑步15min到体育场，在体育场锻炼了一阵后又匀速走到文具店买笔，然后再匀速走回家．给出的图象反映了这个过程中林茂离家的距离ykm与离开家的时间xmin之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（1）填空：①体育场到文具店的距离为km；②林茂从文具店到家的行进速度为km/min；③当林茂离家的距离为2km时，他离开家的时间为min；（2）当15≤x≤45时，请求出y关于x的函数解析式．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）与y轴交于点A，将点A向左平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）抛物线的对称轴是：直线x＝；（2）若M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两点，满足x1+x2＜﹣2，x1＜x2，当a＞0时，判定y1与y2的大小关系，请直接写出结果；（3）已知点D的横坐标为1，且点D在直线y＝（4a+3）x﹣a+1上．点C的坐标为，若抛物线与线段CD恰有一个公共点，请结合函数图象，求a的取值范围．23．（10分）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师组织同学们以“矩形”为主题开展数学活动．已知矩形ABCD（AD＞AB）的一条对称轴分别交边AB、CD于点E、F，如图①，奋进小组进行了如下的操作：以点B为圆心，BA的长为半径作弧，交边BC于点Q，已知点A'在弧AQ上运动（含A、Q两点），连接BA′，再分别以点A、A'为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点G，作射线BG交AD于点H．提出问题：（1）如图②，当点A'运动到EF上时，求∠ABH的度数；拓展应用：（2）如图③，勤奋小组在图②的基础上进行如下操作：连接HA'并延长交BC于点P，请判断△HBP的形状，并说明理由；解决问题：（3）创新小组在图③的基础上进行如下操作：延长BA'交边AD于点M，当△MPC是直角三角形时，请直接写出矩形的边BC和AB之间的数量关系．

2022年河南省洛阳市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1．（3分）﹣2022的绝对值等于（）A．2022 B．﹣2022 C． D．【解答】解：﹣2022的绝对值等于2022，故选：A．2．（3分）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．据了解，河南省“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”2014—2018年项目规划总投资268.1亿元，将数据268.1亿用科学记数法表示应为（）A．0.2681×101 B．2.681×1011 C．2.681×1010 D．26.81×109【解答】解：268.1亿＝26810000000＝2.681×1010．故选：C．3．（3分）如图所示的六角螺栓，其俯视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从上边看，是一个正六边形，六边形内部是一个圆，故选：A．4．（3分）如图，直线DE∥BF，Rt△ABC的顶点B在BF上，若∠CBF＝20°，则∠ADE＝（）A．70° B．60° C．75° D．80°【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠CBF＝20°，∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝70°，∵DE∥BF，∴∠ADE＝∠ABF＝70°，故选：A．5．（3分）下列运算正确的是（）A．a3﹣a2＝a B．a7÷a3＝a4 C．（﹣3a）2＝﹣6a2 D．（a+1）2＝a2+1【解答】解：A．a3与a2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；B．a7÷a3＝a4，原计算正确，故此选项符合题意；C．（﹣3a）2＝9a2，原计算错误，故此选项不符合题意；D．（a+1）2＝a2+2a+1，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．6．（3分）一元二次方程（x+2）（x﹣3）＝﹣7的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根【解答】解：方程整理得：x2﹣x+1＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，∴此方程没有实数根．故选：D．7．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（）A． B． C． D．【解答】解：设共有x人，y辆车，依题意得：．故选：C．8．（3分）为了响应国家“双减”政策，某校在课后延时服务时段开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．现学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，则恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果，其中抽到“器乐”和“戏曲”类的结果数为2，所以恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率＝＝．故选：A．9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A（1，﹣1），D（3，﹣1），规定把正方形ABCD“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2022次变换后，正方形ABCD的中心的坐标为（）A．（﹣2，﹣2021） B．（2，﹣2022） C．（﹣2，﹣2023） D．（2，﹣2024）【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，A（1，﹣1），D（3，﹣1），∴中心坐标为（2，﹣2），∵先沿y轴翻折，再向下平移1个单位为一次变换，∴进行一次变换后，中心坐标为（﹣2，﹣3），∴第二次变换后中心坐标为（2，﹣4），∴第n次变换后，中心坐标为（（﹣1）n×2，﹣n﹣2），当n＝2022时，中心坐标为（2，﹣2024），故选：D．10．（3分）如图1，Rt△ABC绕点A逆时针旋转180°，在此过程中A、B、C的对应点依次为A、B'、C'，连接B'C，设旋转角为x°，y＝B'C2，y与x之间的函数关系图象如图2，当x＝150°时，y的值为（）A． B．3 C．4 D．13【解答】解：如图，过点B′作B′H⊥AC于H，由题意BC＝，AC＝AB+1，设AB＝a，则AD＝a+1，∴a2+（a+1）2＝（）2，∴a2+a﹣2＝0，∴a＝1或﹣2（舍弃），∴AB＝1，AD＝2，当∠B′AB＝150°时，∵∠CAB＝90°，∴∠B′AH＝60°，∴B′H＝AB′•sin60°＝，AH＝AB′•cos60°＝，∴HC＝AC﹣AH＝2﹣＝，∴CB′＝＝＝，∴y＝CB′2＝3，故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式y＝x2+2，答案不唯一．．【解答】解：∵抛物线对称轴为y轴，即直线x＝0，只要解析式一般式缺少一次项即可，如y＝x2+2，答案不唯一．12．（3分）不等式组的解集是﹣2＜x≤2．【解答】解：由1+x＞﹣1，得：x＞﹣2，由4﹣2x≥0，得：x≤2，则不等式组的解集为﹣2＜x≤2，故答案为：﹣2＜x≤2．13．（3分）甲、乙两位同学在10次定点投篮训练中（每次训练投8个）．各次训练成绩（投中个数）的折线统计图如图所示，则甲、乙两位同学成绩更稳定的是甲（选填甲或乙）【解答】解：由图表明乙这10次成绩偏离平均数大，即波动大，而甲这10次成绩，分布比较集中，各数据偏离平均小，方差小，则S甲2＜S乙2，即两人的成绩更加稳定的是甲．故答案为：甲．14．（3分）有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝6，上面有一个以AD为直径的半圆，如图甲，E为AB边上一点，将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图乙，这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是3π﹣．【解答】解：设阴影部分所在的圆心为O，AD与半圆弧交于点F，如图，连接OF，过点O作OM⊥DF交DF于点M，∵AD＝6，CD＝AB＝3，∴∠DAC＝30°，∵OD∥BC，OD＝OF＝3，∴∠ODF＝∠OFD＝∠DAC＝30°，∴∠DOF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，在Rt△DOM中，OM＝OD•sin30°＝3×＝，DM＝OD•cos30°＝3×＝，∴DF＝2DM＝3，∴S阴影部分＝S扇形DOF﹣S△ODF＝﹣×3×＝3π﹣．故答案为：3π﹣．15．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，∠B＝60°，点E在线段BC上运动（含B、C两点）．连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60°得到AF，连接DF，则线段DF长度的最小值为2．【解答】解：在BC上取点P，使BP＝AB，作射线PF交AD于点M，过点D作DH⊥PF于H，如图：∵AB＝BP，∠B＝60°，∴△ABP是等边三角形，∴AB＝AP，∠BAP＝60°，∵线段AE逆时针旋转60°得到AF，∴∠EAF＝60°，AE＝AF，∴∠BAE＝∠PAF，在△BAE和△PAF中，，∴△BAE≌△PAF（SAS），∴∠ABE＝∠APF＝60°，∴∠BPM＝∠APB+∠APF＝120°，∵AM∥BP，∴∠AMP＝180°﹣120°＝60°，∴△APM是等边三角形，∴AM＝AP，∵AB＝AP＝6，∴AM＝6，∴点F在射线PM上运动，∵BC＝10，∴DM＝AD﹣AM＝BC﹣AM＝4，∵DH⊥PM，∠DMH＝∠AMP＝60°，∴DH＝DM•sin60°＝4×＝2，根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，DF的值最小，最小值为2，故答案为：2．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）（1）计算：；（2）化简：．【解答】解：（1）＝1+3﹣4+2×＝1+3﹣4+＝；（2）＝•＝．17．（9分）某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下：收集数据：从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：甲7886748175768770759075798170748086698377乙9373888172819483778380817081737882807046整理、描述数据：按如下分数段整理、描述这两组样本数据：成绩x人数部门40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100甲0011171乙1007102（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70﹣79分为生产技能良好，60﹣69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：部门平均数中位数众数甲78.377.575乙78.3mn根据以上信息，回答下列问题：（1）表中m＝80.5，n＝81；（2）估计乙部门生产技能优秀的员工人数为240；（3）请你利用上面数据推断出哪个部门员工的生产技能水平较高，并说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．【解答】解：（1）乙部门员工成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为80，81，故中位数m＝＝80.5，乙部门员工成绩出现次数最多的是81分，共有4人，因此众数是81分，即n＝81，故答案为：80.5，81；（2）400×＝240（人），即乙部门生产技能优秀的员工大约有240人；故答案为：240；（3）乙部门员工的成绩较好，理由为：乙部门员工成绩的中位数比甲部门员工成绩的中位数高；乙部门员工成绩的众数比甲部门员工出的众数高．18．（9分）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于A（a，3），B两点．（1）求k的值及点B的坐标；（2）请直接写出不等式的解集；（3）已知AD∥x轴，以AB、AD为边作菱形ABCD，求菱形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于A（a，3），∴﹣＝3，k＝3a，∴a＝﹣2，k＝﹣6，∵反比例函数图象是中心对称图形，∴点A与B关于原点O对称，∴B（2，﹣3），（2）由图象知，不等式的解集为﹣2＜x＜0或x＞2；（3）如图，作AE⊥BC于E，∵A（﹣2，3），B（2，﹣3），∴AE＝6，BE＝4，由勾股定理得，AB＝，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝2，∴菱形ABCD的面积为BC×AE＝2×6＝12．19．（9分）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小明利用无人机来测量广场B，C两点之间的距离．如图所示，小明站在广场的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是21.7m，此时从无人机测得广场C处的俯角为63°，若小明的身高BE＝1.7m，EA＝25m（点A，E，B，C在同一平面内）．求B，C两点之间的距离（结果精确到0.1m）．（sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96）【解答】解：过点A作AQ⊥BC于点Q，过点E作EH⊥AQ于点H，根据题意可得，AE＝25，AQ＝21.7，BE＝QH＝1.7，EH＝BQ，∠NAC＝63°，∴AH＝AQ﹣HQ＝21.7﹣1.7＝20（m），在Rt△AEH中，＝＝15（m），∴BQ＝15（m），在Rt△ACQ中，∠C＝∠NAV＝63°，tanC＝tan63°＝≈1.96，∴QC≈11.1（m），∴BC＝BQ+QC＝15+11.1＝26.1（m）．答：B，C两点之间的距离为26.1m．20．（9分）已知点C是△ABD的边AB上一点，且，AC为⊙O的直径，BD切⊙O于点D，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．（1）求证：∠BAD＝∠ABD；（2）若⊙O的半径为1，求线段EM的长．【解答】（1）证明：如图，连接CD，∵，AC为⊙O的直径，∴BC＝OC，∵BD切⊙O于点D，∴∠ODB＝90°，∴DC是Rt△OBD斜边上的中线，∴BC＝OC＝CD，∵OC＝OD，∴BC＝OC＝CD＝OD，∴△OCD是等边三角形，∴∠DOC＝∠OCD＝60°，∴∠CBD＝∠OAD＝30°，∴∠BAD＝∠ABD；（2）解：如图，连接DM，∵OD＝1，∴DE＝2，BD＝，∴BE＝＝，∵DE为⊙O的直径，∴∠DME＝90°，∴∠DMB＝90°，∵∠EDB＝90°，∴∠EDB＝∠DME，又∵∠DBM＝∠EBD，∴△BMD∽△BDE，∴＝，∴BM＝＝＝，∴EM＝BE﹣BM＝﹣＝．∴线段EM的长为．21．（9分）某学习小组在数学活动课上设计了一个问题情境．已知林茂的家、体育场、文具店在同一条直线上，林茂从家匀速跑步15min到体育场，在体育场锻炼了一阵后又匀速走到文具店买笔，然后再匀速走回家．给出的图象反映了这个过程中林茂离家的距离ykm与离开家的时间xmin之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（1）填空：①体育场到文具店的距离为1km；②林茂从文具店到家的行进速度为km/min；③当林茂离家的距离为2km时，他离开家的时间为12min或37.5min；（2）当15≤x≤45时，请求出y关于x的函数解析式．【解答】解：（1）由图象可得，①体育场到文具店的距离为：2.5﹣1.5＝1（km），故答案为：1；②林茂从文具店到家的行进速度为：1.5÷（90﹣65）＝（km/min），故答案为：；③当0＜x＜15时，林茂的速度为：2.5÷15＝（km/min），2÷＝12（min）；当30＜x＜45时，林茂的速度为：（2.5﹣1.5）÷（45﹣30）＝（km/min），30+（2.5﹣2）÷＝37.5（min）；由上可得：当林茂离家的距离为2km时，他离开家的时间为12min或37.5min，故答案为：12min或37.5；（2）由图象可得，当15≤x＜30时，y＝2.5；当30≤x≤45时，设y关于x的函数解析式是y＝kx+b，∵点（30，2.5），（45，1.5）在该函数图象上，∴，解得，即当30≤x≤45时，y关于x的函数解析式是y＝﹣x+4.5；由上可得，当15≤x≤45时，y关于x的函数解析式是y＝．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）与y轴交于点A，将点A向左平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）抛物线的对称轴是：直线x＝﹣1；（2）若M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两点，满足x1+x2＜﹣2，x1＜x2，当a＞0时，判定y1与y2的大小关系，请直接写出结果；（3）已知点D的横坐标为1，且点D在直线y＝（4a+3）x﹣a+1上．点C的坐标为，若抛物线与线段CD恰有一个公共点，请结合函数图象，求a的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得点A横坐标为0，点B横坐标为﹣2，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，故答案为：﹣1．（2）当a＞0时，抛物线开口向上，∵x1+x2＜﹣2，∴＜﹣1，∴点N到直线x＝﹣1的距离小于点M到直线x＝﹣1的距离，∴y1＞y2．（3）∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴y＝ax2+2ax﹣3a，将x＝﹣2代入y＝ax2+2ax﹣3a得y＝﹣3a，∴抛物线经过（﹣2，﹣3a），将x＝1代入y＝（4a+3）x﹣a+1得y＝3a+4，∴点D坐标为（1，3a+4），当a＞0时，抛物线开口向上，﹣3a＜﹣a，∴点C在抛物线上方，将x＝1代入y＝ax2+2ax﹣3a得y＝0，∴抛物线经过（1，0），∴点D在抛物线上方，不满足题意．当a＜0时，抛物线开口向下，﹣3a＞﹣a，所以点C在抛物线