4典型结构有限元分析(桁架与梁结构)

4典型结构有限元分析桁架与梁结构山东科技大学机电学院

2012.111/36桁架结构有限元分析2桁架结构桁架的定义一维桁架二维桁架空间桁架2023/10/1931.桁架的定义桁架是一种工程结构，它由直的杆件（member）组成，这些杆件在端点处通过螺栓、铆钉、销或焊接而连接在一起。对于简单杆件受力变形问题，可以采用材料力学或结构力学的方法进行求解；而对于受力情况和结构形式复杂的杆系结构，如以杆件为基本单元组合成的大型空间结构，则必须采用有限元进行分析。在杆系结构的有限元法中，基本方程可基于材料力学和结构力学建立，也可以基于能量原理的推导。2023/10/1942.一维桁架一维桁架的杆件通常认为是二力杆。单元类型是杆单元(elementtype)，端点是节点(nodepoint)，如图1所示。图1桁架单元2023/10/19设杆件的长度为L，拉伸后长度为L1，截面积为A，弹性模量为E，受到轴向的拉力F作用后，假设图1所示的杆件的轴向位移量为u。由材料力学中得知，杆件在轴线方向的伸长量为：52.一维桁架将

L

除以L得到轴线方向的线应变延伸率为：2023/10/19此外，在杆件截面上的应力为：(1)(2)(3)胡克定律指出：当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比，即(4)62.一维桁架式中的弹性模量E的值随材料而不同。几种常用材料的E值见表1：2023/10/19若把（2）、（3）式代入公式（4）中，得(5)材料名称E(GN/m2)碳

钢合金钢灰铸铁铜及其合金铝合金196~216186~20678.5~15772.6~128700.24~0.280.25~0.300.23~0.270.31~0.420.33表1

几种常用材料的E和的值若杆件变形前横向尺寸为b，变形后为b1，则横向应变为72.一维桁架试验结果表明：当应力不超过比例极限时，横向应变

与轴向应变

之比的绝对值是一个常数。即2023/10/19式中，

称为横向变形系数或泊松比，是一个没有量纲的量，数值见表1。(6)(7)简化（5）式得到有限元的整体平衡方程式(8)其中K称为刚度系数，结合两式得到(9)82.一维桁架假设杆件两端分别为i节点与j节点，我们可以得到i节点和j节点的整体静力平衡方程式2023/10/19整理，得(10)(11)写成矩阵形式为(12)式中称为刚度矩阵。93.二维桁架

一般来说，需要两个参考坐标系来描述二维桁架问题：整体坐标系和局部参考坐标系，我们指定整体坐标系为X-Y：（1）代表每个节点，使用角度

记录每个杆（单元）的方向；（2）根据各自的整体部件应用约束并施加负载；（3）在整体方向上的每个节点的位移表示问题的解。同时在单元端部节点建立一局部坐标系为x-y，来描述各个杆（单元）的二力杆行为。2023/10/19103.二维桁架设单元两端点分别为i和j节点，以下描述了整体位移和局部位移之间的关系：2023/10/19(13)将上式以矩阵的形式表示成：(14)113.二维桁架若将（14）式矩阵的简化形式，有2023/10/19(15)

[U]和[u]分别代表整体坐标系X-Y和局部坐标系x-y参考坐标下节点i和j的位移。[T]是从局部变形转化到整体变形的变化矩阵。式中，、、同理可以求得局部力和整体力有以下关系：123.二维桁架2023/10/19(16)写成矩阵形式，为(17)133.二维桁架2023/10/19(18)以上步骤推导出了各个属性的局部坐标和整体坐标间的关系，然而，需要记住:在局部坐标下y方向上位移和力为零。原式中是整体坐标下施加在节点i和j上的分量，且是代表局部坐标系下施加在节点节点i和j上的分量。143.二维桁架因很简单，在假设的二力条件下，杆只能沿轴向（局部坐标下x方向）伸长或缩短。开始我们不将这些值设置为零以便保持一般的矩阵描述，这将更加容易推导出单元刚度矩阵。当将位移的y方向以及力设置为零时，这一过程将变得非常清楚。2023/10/19局部内力和位移通过刚度矩阵有以下关系(19)，若写成矩阵形式，我们有：153.二维桁架2023/10/19(20)由（20）式代入(18)式，得：由(15)式得：，代入上式，得：(21)式中，[T]-1是变换矩阵[T]的逆矩阵或转置矩阵桁架的任意单元的刚度矩阵：164.空间桁架2023/10/19三维桁架通常称为空间桁架，是结构力学和有限元法中的重要结构形式，也是工程上常见的结构类型之一。如何快速准确的计算桁架结构各杆件的受力情况下的变形量，是进行结构设计的基础。（1）三维空间桁架174.空间桁架2023/10/19在空间桁架中，第m个单元的第i个节点受力为，每个二力杆单元的首末节点i和j节点位移量用六个未知量来表示，即，因为每个节点（接合点）可以在三个方向上移动,并且角度定义了每个杆相对整体坐标系X-Y-Z的方向，如图所示。（2）三维桁架分析理论基础184.空间桁架2023/10/19空间桁架单元是既有局部坐标，又有总体坐标的三维有限元，单元类型用线性函数描述。空间桁架单元的系数有弹性模量E、横截面积A和长度L.每个空间桁架单元有2个结点,并且总体坐标系X,Y,Z轴的倾斜角方向余弦可以根据杆的节点i和j的坐标和杆的长度的差分得出：式中，m代表第m个二力杆单元；i,j代表第m个二力杆单元的两个端点即节点；Lm代表第m个二力杆单元的长度，由下式给出：(23)194.空间桁架2023/10/19利用变换矩阵将整体位移和力与局部位移和力联系起来，然后应用杆的二力杆属性，建立第m个单元的单元方程：式中[Km]e为6x6的空间桁架单元刚度矩阵。式中：km为二力杆单元m轴向刚度矩阵，其值为：(24)(25)20例题分析基于ANSYS的一维桁架有限元分析实例：活塞杆强度问题，P74前处理（Preprocessor）——求解（Solution）——后处理（GeneralPostProc）基于ANSYS的二维桁架有限元分析实例：二维桁架强度问题，P86原始数据的处理——前处理（Preprocessor）——求解（Solution）——后处理（GeneralPostProc）基于ANSYS的空间桁架有限元分析实例：空间桁架强度问题，P102前处理（Preprocessor）——求解（Solution）——后处理（GeneralPostProc）21梁的有限元分析22/36梁理论梁单元是用有限元法进行梁柱体系分析时常用单元。用在土木建筑行业。杆件是指轴线(长度方向)尺寸远比横向(垂自于轴线方向)尺寸大得多的构件。梁柱杆件是指同时承受弯矩(或横向力)和轴力作用的构件，其中以承受弯矩为主的构件称为梁，而以承受轴向压力为主的构件称为柱。所以，梁柱受力分析的理论基础是相同的，均基于梁理论。梁理论一般分为欧拉·伯努利（Euler-Bernoulli）梁理论和铁木辛柯(Timoshenko)梁理论两种。2023/10/1923/36梁单元及其坐标变换局部坐标系中的纯弯梁单元局部坐标系中的平面梁单元平面梁单元的坐标变换空间梁单元及坐标变换24/36局部坐标系中的纯弯梁单元纯弯梁单元(单元描述)几何形状：长度l，横截面为A。材料属性：弹性模量E，横截面的惯性矩为I。节点：i,j共2个局部坐标系：oxy25/36材料力学基础知识局部坐标系中的纯弯梁单元(续)转角挠度弯矩剪力坐标26/36局部坐标系中的纯弯梁单元如图所示为一局部坐标系中的纯弯梁单元。设有两个端节点，节点位移列阵和节点力列阵为可以利用函数插值、几何方程、物理方程以及势能计算公式，可以将单元的所有力学参量用节点位移列阵来表示。27/36局部坐标系中的纯弯梁单元（1）单元位移场的表达

由于有4个节点位移条件，可假设纯弯梁单元的位移场(挠度)为具有4个待定系数的函数模式，即由该单元的节点位移条件可求出4个待定系数，即28局部坐标系中的纯弯梁单元（1）单元位移场的表达重写位移函数29局部坐标系中的纯弯梁单元（2）单元应变场的表达由纯弯梁的几何方程，有梁的应变表达式30局部坐标系中的纯弯梁单元（3）单元应变场的表达单元的几何函数矩阵，也叫应变矩阵31局部坐标系中的纯弯梁单元（3）单元应力场的表达由梁的物理方程其中E为弹性模量，S（x,y）叫做单元的应力函数矩阵32局部坐标系中的纯弯梁单元（4）单元势能的表达该单元的势能为外力功应变能33/36局部坐标系中的纯弯梁单元（4）单元势能的表达34局部坐标系中的纯弯梁单元（4）单元势能的表达外力功为单元的势能为35局部坐标系中的纯弯梁单元（4）单元的刚度方程同样，由最小势能原理，将单元势能方程中对节点位移取一阶极小值，可得单元刚度方程：36/36局部坐标系中的平面梁单元为推导局部坐标系中的一般平面梁单元，在纯弯梁的基础上叠加轴向位移(由于为线弹性问题，满足叠加原理)，这时的节点位移自由度（DOF）共有6个，见图平面梁单元节点位移列阵节点力列阵为37/36局部坐标系中的平面梁单元相应的刚度方程为对应于图中的节点位移和及节点位移列阵的排列次序，将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组合，可得到下式单元刚度矩阵：38/36平面梁单元的坐标变换局部坐标系节点位移整体坐标系节点位移39/36平面梁单元的坐标变换按照两个坐标系中的位移向量相等效的原则，可推导出以下变换关系:写成矩阵形式有40/36平面梁单元的坐标变换梁单元在整体坐标系中的刚度方程为41/36空间梁单元及坐标变换

空间梁单元除承受轴力和弯矩外，还可能承受扭矩的作用，而且弯矩可能同时在两个坐标面内存在。如图所示为一局部坐标系中的空间梁单元。42/36空间梁单元及坐标变换其局部坐标系中的节点位移列阵和节点力列阵为：43/36空间梁单元及坐标变换分别基于前面杆单元和平面梁单元的刚度矩阵写出对应于图中各对应节点位移的刚度矩阵，然后进行组合以形成完整的刚度矩阵。（1）对应于图中的节点位移(u1，u2)这是轴向位移，有对应于杆单元的刚度矩阵为（2）对应于图中的节点位移其中，J为横截面的扭转惯性矩，G为剪切模量。44空间梁单元及坐标变换（3）对应于图中OXY平面内的节点位移这是梁在Oxy平面内的纯弯曲情形，有对应的刚度矩阵（4）对应于图中OXZ平面内的节点位移

这是梁在Oxz平面内的纯弯曲情形，可得到与上式类似的刚度矩阵，但所对应的节点位移是不同的。45空间梁单元及坐标变换（5）将各部分刚度矩阵进行组合以形成完整的单元刚度矩阵

对应于节点位移的次序，分别将上面各个部分的刚度矩阵的元素进行组合，可形成局部坐标系中空间梁单元的完整刚度矩阵，即4647/36空间梁单元及坐标变换（6）空间梁单元坐标变换

空间梁单元坐标变换的原理和方法与平面梁单元的坐标变换相同，只要分别写出两个坐标系中的位移向量的等效关系则可得到坐标变换矩阵。48空间梁单元及坐标变换（6）空间梁单元坐标变换

局部坐标系中空间梁单元的节点位移列阵和整体坐标系中空间梁单元的节点位移列阵分别为：49空间梁单元及坐标变换（6）空间梁单元坐标变换分别推导相应的转换关系50/36空间梁单元及坐标变换（6）空间梁单元坐标变换同样，对于端节点2，有以下转换关系节点坐标变换矩阵51空间梁单元及坐标变换（6）空间梁单元坐标变换将各组位移分量进行组合52实例一-梁结构的静力学分析实例问题描述：梁的长度为3m，高度为0.3m，宽度为0.2m，杨氏模量为2.1*1011Pa，受均布载荷为4000N/m。Exercise分析：本例中的悬臂梁不考虑重力的影响，只考虑受均布载荷的影响。本例的目的在于说明ANSYS中Beam3平面梁单元的使用。空间梁单元是Beam4，使用方法同Beam353/36建立模型1.定义两个关键点1）MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Keypoints>InActiveCS…2）关键点1输入坐标为0，0。击Apply。3）关键点2输入坐标为3，0。击OK。2.建立直线模型MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Lines>Lines>InActiveCoord，选择关键点1、2，在其之间建立直线。

54/36定义单元类型、实常数1.定义单元类型MainMenu>Preprocessor>ElementType>Add/Edit/Delete，在弹出的对话框中单击Add按钮，添加Beam3单元。2.定义实常数MainMenu>Preprocessor>RealConstants>Add/Edit/Delete，单击Add按钮。依次输入截面的面积AREA=0.06m2,惯性矩IZZ=0.003m4，高度HEIGHT=0.3m，单击OK按钮。55/36定义材料模型MainMenu>Preprocessor>MaterialProps>MaterialModels，在弹出的对话框中双击Structural>Linear>Elastic>Isotropic。如图输入杨氏模量为2.1*1011，泊松比为0.3。56/36划分单元网格1.UtilityMenu:MainMenu>Preprocessor>Meshing>Sizecntrls>ManualSize>Lines>AllLines，在SIZE中输入0.3。

2.UtilityMenu:MainMenu>Preprocessor>Meshing>Mesh>Lines,点击PickAll按钮。57/36定义分析类型MainMenu>Solution>AnalysisType>NewAnalysis,在弹出的NewAnalysis菜单中选择Static进行静力分析，点击OK。58/36定义位移约束1.MainMenu>Solution>DefineLoads>Apply>Structural>Displacement>OnKeypoint,在弹出的ApplyU，ROTonKPs对话框中定义1点的约束为ALLDOF。2.MainMenu>Solution>DefineLoads>Apply>Structural>Pressure>OnBeams,选择PickAll，出现ApplyPRESonBeams的对话框。输入4000N/m，表示施加了方向向下均布载荷。

59/36求解问题MainMenu>Solution>Solve>CurrentLs。后处理显示MainMenu>GeneralPostproc>PlotResult>DeformedShape…,在弹出的对话框中选择Def+undefedge。60/36退出ANSYS1.单击工具栏中的Quit按钮，弹出ExitfromANSYS对话框。2.选择SaveEverything保存所有数据，然后点击OK退出ANSYS。恭喜!你已经完成了整个分析过程。61/36实例二-桥式起重机大梁受力分析问题描述：桥式起重机的大梁的自重为均布载荷，集度为q=30KN/m，作用于跨度中点的吊重为集中力为F=20KN，大梁的截面为边长为s=0.05m的正方形，梁的长度l=2m，求大梁跨度中点的挠度和各支座反力。Exercise62/36建立模型1.定义三个关键点1）MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Keypoints>InActiveCS…2）关键点1输入坐标为0，0。击Apply。3）关键点2输入坐标为1，0。击OK。4）关键点3输入坐标为2，0。击OK。2.建立直线模型MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Lines>Lines>InActiveCoord，选择关键点1、2和2、3在其之间建立直线。

63/36定义单元类型、实常数1.定义单元类型MainMenu>Preprocessor>ElementType>Add/Edit/Delete，在弹出的对话框中单击Add按钮，添加Beam3单元。2.定义实常数MainMenu>Preprocessor>RealConstants>Add/Edit/Delete，单击Add按钮。依次输入截面的面积AREA=0.025m2,惯性矩IZZ=2.083*10-5m4，高度HEIGHT=0.05m，单击OK按钮确定。64/36定义材料模型MainMenu>Preprocessor>MaterialProps>MaterialModels，在弹出的对话框中双击Structural>Linear>Elastic>Isotropic。输入杨氏模量为2.1*1011，泊松比为0.3。划分单元网格