对一道习题的反思 论文

对一道习题的反思摘要道习题的反思，探究“两边及其中一边的对角分别对应相等时，两个三角形何时全等”的问题.关键词习题反思一、起因2013年8月第185页有这样一道习题，内容如下：情况下，它们会全等？（1）阅读与证明:对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：如图1，已知:△ABC,△A1B1C1均为锐角三角形,AB=A1B1,BC=B1C1,∠C=∠C1,求证：△ABC≌△A1B1C1（请你将下列证明过程补充完整）证明:分别过点B，B1，作BD⊥CA于点D，B1D1⊥C1A1于点D1，则∠BDC=∠B1D1C1=900。∵BC=B1C1,∠C=∠C1,∴△BCD≌△B1C1D1。

B1∴BD=B1D1.

D A 图1（2）归纳猜想：若这两个三角形均为钝角三角形，且两边及其中一边的对角分别对应相等，能不能说明它们全等？若能，请证明；若不能，请说明理由.本题是对“两边及其中一边的对角分别对应相等时，两个三角形何时全等”即“SSA”问题进行探究，第（1）问着重论证这两个三角形均为锐角三角形时，它们是全等的，事实果真如此吗？二、分析按照第（1）问设定的证明步骤，同学们不难推出结论，当这两个三角形均为锐角三角形时，两个三角形的形状和大小一定如图1所示吗？事实上，按照题目中的条件来作图，如果△A1B1C1只能画出一个，则说明按此题条件，△A1B1C1会不会有第二种可能呢？在第（1）问中没有提及AB和BC的大小，若AB≥BC,这两个锐角三角形的形状和大小如图2所示，是确定的，即这两个三角形是全等的；若AB<BC,这两个锐角三角形的形状和大小还可能如图3B B1

B B1C A C A 图3图2定的，即这两个三角形不一定全等，因此第（1）问中要求证的结论是不总是成立的.三、探究下面来对直角三角形和钝角三角形的情况作深入探究。若△ABC和△A1B1C1均为直角三角形，AB=A1B1,BC=B1C1,∠C=∠C1,（1）当∠C=∠C1=900时，易证Rt△ABC≌Rt△A1B1C1(HL)（如图B1A 图4=∠C1<=900时易证Rt△ABC≌Rt△A1B1C1(HL或AAS)（如图B B1A C 图5=∠C1<=900时易证Rt△ABC≌Rt△A1B1C1(SAS或AAS)（如图6）.

A A1B C 图6若△ABC和△A1B1C1均为钝角三角形，AB=A1B1,BC=B1C1,∠BCA=∠B1C1A1,=∠B1C1A1>900和A1B1都分别是最大的边，当点A1在射线C1A1上左移时，A1B1会变短；当点A1在射线C1A1AB与A1B1都不相等,所以满足已知条件的钝角三角形是惟一的，即这两个钝角三角形一定全等。证明起来也不难，分别过点B，B1作BD⊥CA，B1D1⊥C1A1，易证Rt△BDC≌Rt△B1D1C1(AAS),进而可证Rt△BDA≌Rt△B1D1A1(HL),最终可证△ABC≌Rt△A1B1C1(AAS)（如图7）.B B1 D C A 图7=∠B1C1A1<900>900,∠C1A1B1>900,分别过点作BD⊥CA，B1D1⊥C1A1，当点A1在线段C1D1上左移时，A1B1A1在射线C1A1上右移时，A1B1AB与A1B1都不相等,所以满足已知条件的钝角三角形是惟一的，即这两个钝角三角形一定全等。证明起来也不难，易证Rt△BDC≌Rt△B1D1C1(AAS),进而可证Rt△BDA≌Rt△B1D1A1(HL),最终可证△ABC≌Rt△A1B1C1(AAS)（如图8）.B B1CADC1A1D1图8=∠B1C1A1<900>900,∠C1B1A1>900,分别过点作AD⊥CB，A1D1⊥C1B1，当点B1在线段C1D1上左移时，A1B1会变长；当点B1在线段C1D1上右移时，A1B1会变短，即AB与A1B1都不相等,所以满足已知条件的钝角三角形是惟一的，即这两个钝角三角形一定全等。证明起来也不难，易证Rt△BDC≌Rt△B1D1C1(AAS),进而可证Rt△BDA≌Rt△B1D1A1(HL),最终可证△ABC≌Rt△A1B1C1(AAS)（如图9）.A A1C