上海市延安中学2024届高三上学期9月月考数学试题

上海市延安中学2023学年9月质量调研高三年级数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合，则集合中元素的个数为___________.2.已知随机变量，若，则实数的值为___________.3.若，则___________.4.若，则实数的值为___________.5.已知直线：与直线：垂直，则实数的值为___________.6.已知复数，其中，，则复数是纯虚数的概率为___________.7.已知在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则展开式中的常数项为___________.8.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名志愿者将分别安排到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每个场地至少安排一名志愿者，且每名志愿者只能去一个场地服务，则甲､乙两名志愿者在同一个场地服务的概率为___________.9.已知在中，为的中点，是线段上的动点，若，则的最小值为___________.10.已知双曲线：的左､右焦点分别为，，点在双曲线上，点在轴上，，，则双曲线的离心率为___________.11.设数列满足，若存在常数，使得对于任意的正整数，恒有，则的取值范围为___________.12.若，，则的值为___________.二､选择题（本大题共有4题，满分18分，每题有且只有一个正确答案，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）13.若，为实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A.B.C.D.15.已知函数图象上存在两点，满足，则以下结论成立的是（）A.B.C.D.16.已知数列满足：对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称为“回旋数列”.以下结论中正确的个数是（）（1）若，则为“回旋数列”；（2）设为等比数列，且公比为有理数，则为“回旋数列”；（3）设为等差数列，已知，当公差时，若为“回旋数列”，则；（4）若为“回旋数列”，则对任意的正整数，总存在正整数，使得.A.1B.2C.3D.4三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）规定内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知数列､满足，，，为正整数，且，.（1）求证：是等比数列：（2）若是严格增数列，求实数的取值范围.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，.（1）证明：平行四边形为矩形；（2）若为侧棱的中点，且平面与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.19.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分.近年来，随着智能手机的普及，网络购物､直播带货､网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，改变了我们的生活方式.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为"不喜欢网上买菜".某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：喜欢网上买菜不喜欢网上买菜合计年龄不超过45岁的市民401050年龄超过45岁的市民203050合计6040100（1）是否有99.9%的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？（2）社区的市民李华周一､周二均在网上买菜，且周一从，两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜.如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为；如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，求李华周二选择平台买菜的概率；（3）用频率估计概率，现从社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为，事件“”的概率为，求使取得最大值时的的值.参考公式：，其中.0.10.050.00.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82820.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知，分别是椭圆：的左､右顶点，过作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，两点，面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与交于点，直线与交于点.①求直线的方程；②记，的面积分别为，，求的最大值.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.设是定义在上且满足下列条件的函数构成的集合：①方程有实数解；②函数的导数满足.（1）试判断函数是否为集合的元素，并说明理由；（2）若集合中的元素具有下面的性质：对于任意的区间，都存在，等式成立，证明：方程有唯一实数解.（3）设是方程的实数解，求证：对于函数，任意的，当，时，有.上海市延安中学2023学年高三年级9月质量调研答案一､填空题1.42.13.4.25.0或6.7.1358.9.810.11.12.二､选择题13.B14.C15.A16.B三､解答题（解答下列各题，必须写出必要的步骤.）17.解：（1）由题设，，两式相加可得，又，，所以是首项为1，公比为的等比数列.（2）是严格增数列，对任意正整数恒成立，则对任意正整数恒成立，即对任意正整数恒成立，由（1）知对任意正整数恒成立，因为当时取得最大值，且最大值为1，所以，所以实数的取值范围为.18.证明：（1）取中点，连接为正三角形，则，平面平面，平面平面平面，则平面，平面，故.又平面，所以平面平面，故，则平行四边形为矩形.（2）如图，建立空间直角坐标系，设，则，所以，设平面的法向量为，则令，则，由题设，易知，解得，则面的法向量为，所以点到平面的距离为.19.解：（1）假设社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关.由题意可得，，则假设不成立，所以有的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.（2）记事件：李华周一选择平台买菜；事件：李华周二选择平台买菜，则，由全概率公式可得，因此，李华周二选择平台买菜的概率为.（3）由题意可知，抽取的20名市民，喜欢网上买菜的市民人数服从二项分布，且喜欢上网买菜的频率为，则，且，设，若，即，即，解得，若，即，即，解得（舍）或，所以当时，最大.所以，的值为12.20.（1）由题意可知，且面积的最大值为所以.即椭圆的方程为.（2）如下图所示：①设，由题意知直线的斜率一定存在，即，代入直线的点斜式方程可得直线的方程为.因为直线与直线垂直，而，且；所以可得，即直线的方程为.又因为在椭圆上可得，联立可得，，即，即直线与的交点的横坐标为；同理可得，可得；即直线与的交点的横坐标为.所以直线的方程为.②设直线，与椭圆联立可得.所以.同理可得.由可得.同理可得.所以易知，所以；当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.21.（1）函数是集合中的元素.理由如下：①方程，即.显然是方程的实数解，因此，方程有实数解.②由于，又，即，所以.综上，函数是集合中