2023-2024学年江苏省扬州市高邮市高二（上）期初数学试卷（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在直角坐标系中，直线的倾斜角是()

A.B.C.D.

2.直线：，：，若，则实数的值为()

A.B.C.或D.或

3.圆在点处的切线方程为()

A.B.

C.D.

4.两条平行直线和间的距离为，则，分别为()

A.B.

C.D.

5.一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是()

A.B.C.D.

6.已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为()

A.B.C.D.

7.已知，则的最小值为()

A.B.C.D.

8.已知圆：和两点，，若圆上至少存在一点，使得，则实数的取值范围是()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列说法正确的是()

A.过点并且倾斜角为的直线方程为

B.过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为

C.经过点，倾斜角为的直线方程为

D.过，两点的直线的方程为

10.已知直线：与圆：，若点为直线上的一个动点，下列说法正确的是()

A.直线与圆相交

B.若点为圆上的动点，则的取值范围为

C.与直线平行且截圆的弦长为的直线为或

D.圆上存在两个点到直线的距离为

11.已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是()

A.点到曲线上任意点距离最大为

B.的最大值是

C.的最小值是

D.的取值范围是

12.已知圆：直线：，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，则下列说法正确的是()

A.四边形的面积最小值为

B.最短时，弦长为

C.最短时，弦直线方程为

D.直线过定点

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知直线与直线平行，且经过点，则直线的方程为______．

14.已知点，，，四点共圆，则点到坐标原点的距离为______．

15.已知直线：与曲线有两个交点，则的取值范围为______．

16.已知圆：和圆：，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，则所有满足条件的点的坐标为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

的三个顶点为，，求：

所在直线的方程；

边上的中线所在直线的方程．

18.本小题分

已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线：上．

求圆的标准方程；

求过点且与圆相切的直线方程．

19.本小题分

已知直线的方程为：．

求证：不论为何值，直线必过定点；

过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．

20.本小题分

在直角坐标系中，点，圆的圆心为，半径为．

若，直线经过点交圆于、两点，且，求直线的方程；

若圆上存在点满足为坐标原点，求实数的取值范围．

21.本小题分

已知圆：关于直线：对称的图形为圆．

求圆的方程；

直线：与圆交于，两点，若为坐标原点的面积为，求直线的方程．

22.本小题分

已知圆经过三点．

求圆的方程．

已知直线与圆交于，异于点两点，若直线，的斜率之积为，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：直线的斜率为，

因为倾斜角的范围为，

则该直线的倾斜角为，即．

故选：．

先求出斜率，再结合倾斜角，即可求解．

本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．

2.【答案】

【解析】解：因为：，：，，

所以，即，

解得或．

故选：．

根据直线垂直的充要条件列方程求解即可．

本题考查两条直线垂直的性质的应用，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：因为，所以在圆上，

的圆心为，

故，

设圆在点处的切线方程斜率为，

故，解得，

所以圆在点处的切线方程为，

变形得到，即．

故选：．

先计算出，从而由斜率乘积为得到切线斜率，利用点斜式写出切线方程，得到答案．

本题主要考查了圆的切线方程的求解，属于基础题．

4.【答案】

【解析】解：由题意可得，

再由平行线的距离公式得．

故选：．

由两直线平行可推出，再根据平行线间距离公式可计算．

本题主要考查平行线间距离公式，属于基础题．

5.【答案】

【解析】解：以小岛中心为原点，东西方向为轴，南北方向为轴建立平面直角坐标系，

则设轮船所在位置为点，港口所在位置为点，如图所示，

则，，暗礁分布的圆形区域的边界的方程为，

所以轮船沿直线返港时直线的方程为，即，

又因为轮船沿直线返港不会有触礁危险，

所以直线与相离，

即圆心到直线的距离，解得，

所以的取值范围是．

故选：．

建立平面直角坐标系，写出轮船沿直线返港时直线的方程及暗礁分布的圆形区域的边界的方程，由轮船沿直线返港不会有触礁危险可得直线与相离，进而可求得结果．

本题主要考查了根据实际问题选择函数类型，解题的关键是看圆与直线是否有交点，属于中档题．

6.【答案】

【解析】解：由：，

，即过定点，

由：得，半径，

则当时，到的距离最远，此时被圆截得的弦长最小，

最小值为．

故选：．

先判定直线过定点，再由弦长公式计算即可．

本题考查直线过定点的求法，考查弦长的最小值的求法，属中档题．

7.【答案】

【解析】解：因为，表示点到点，的距离之和，

又因为，

所以上述式子表示直线上的点到点，点的距离之和的最小值．

设关于直线的对称点为，

则有，解得，

所以，

所以直线上的点到点，点的距离之和的最小值为．

故选：．

将原式化简为，表示直线上的点到点，点的距离之和的最小值，求出关于直线的对称点，再由两点间的距离公式求出的长度即得答案．

本题考查了代数式的几何意义、转化思想、数形结合思想，难点是将代数式转化为几何意义，作出图象是关键，属于中档题．

8.【答案】

【解析】解：圆：的圆心，半径为，

因为圆上至少存在一点，使得，

所以圆：与圆：位置关系为相交、内切或内含，如图所示，

或或

所以，

又因为，所以，即．

故选：．

根据已知条件可得圆：与圆：位置关系为相交、内切或内含即可满足题意，进而求得的值．

本题考查圆与圆的位置关系的应用，考查数形结合的应用，是中档题．

9.【答案】

【解析】解：：直线的倾斜角为，所以该直线与横轴垂直，所以直线方程为，故本选项正确；

：当直线在两坐标轴上截距都为零时，方程设为，过点，

所以有，所以本选项不正确；

：当直线的倾斜角为时，没有意义，所以本选项不正确；

：直线过，两点，所以有，因此本选项正确．

故选：．

根据直线倾斜角与斜率的关系，结合截距的定义、直线的两点式方程进行逐一判断即可．

本题主要考查直线方程的求解，属于基础题．

10.【答案】

【解析】解：对于选项A：圆心到直线：的距离为，故直线与圆相离，所以选项A错误，

对于选项B，圆上的点到直线的最小距离为，故的取值范围为，所以选项B正确，

对于选项C，设与：平行的直线为，

由于圆心到直线的距离为，所以，

故直线为或，故选项C错误，

对于选项D，由于圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为，

而，故圆上存在两个点到直线的距离为，所以选项D正确．

故选：．

根据圆心到直线的距离即可求解，由平行的斜率关系，结合弦长公式即可求解．

本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，点到直线的距离公式的应用，是中档题．

11.【答案】

【解析】解：根据题意，曲线的方程可化为，表示以为圆心，半径的圆．

如图所示，设，圆心，半径，连接并延长，交圆于点，

此时长为点到曲线上任意一点距离的最大值，

可知，故A正确；

由，可知为圆上一点到原点距离的平方，

延长交圆于点，则，故B错误；

令，则，可得的值为过圆上一点的直线在纵轴上的的截距，

当直线与圆相切时，取得最值，此时点到直线的距离等于半径，

而，故C正确；

由，可知为圆上一点与点的斜率，

当直线与圆相切时斜率取得最大或最小值，

设该切线方程为，则或，

结合图象可知：，故D正确．

故选：．

根据题意，利用点与圆的位置关系，数形结合判断出A正确；由两点距离公式算出不正确；最后由直线与圆的位置关系判断出、的正误．

本题主要考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、直线的方程及其应用等知识，属于基础题．

12.【答案】

【解析】解：对于选项A，圆：直线：，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，如图：

四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，

即，

最短时，面积最小，故当时，最短，

即，

，即四边形的面积最小值为，故选项A正确．

对于选项B，由上述选项A的解答可知，时，最短，故最小，且最小值为，

，即最短时，弦长为，故选项B正确，

对于选项C，当最短时，则，又，，，，

可设的直线方程为，

圆心到直线的距离，

解得，，

由于直线在圆心的右侧，且在直线的左侧，，

，舍去，

即直线的方程为与最短时，弦直线方程为不符，故选项C错误．

对于选项D，设圆上一点为，，，

，，，

易知，由于，

，

同理，

：．

，，

将代入得等号成立，

故直线过定点为，故选项D正确．

故选：．

选项，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，又因切线长定理可知，当最短时，面积最小．

选项，由圆的弦长公式结合锐角三角函数即可求解．

选项，两垂直直线的斜率相乘等于，两平行直线斜率相等．

选项，由向量积公式求定点坐标．

本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，是中档题．

13.【答案】

【解析】解：因为直线与直线平行，

设直线的范围为：，

将点的坐标代入可得：，

解得，所以直线的方程为：．

故答案为：．

运用直线平行的性质可设直线的方程，将点的坐标代入可得参数的值，进而可得所求的直线的方程．

本题考查与已知直线平行的直线的设法，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：设过、、的圆的方程为：，

由已知得，解得，

所以过、、的圆的方程为：，

又因为点在此圆上，

所以，解得，

所以点到坐标原点的距离为．

故答案为：．

运用待定系数法求得过、、的圆的方程，由点在此圆上可求得的值，再根据两点间距离公式即可求得结果．

本题考查圆的方程，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：直线：，即过定点，

，即曲线为原点为圆心，为半径的半圆，

如图所示，设：与曲线切于点，

曲线与横轴负半轴交于点，

则，，故．

故答案为：．

由直线与圆的位置关系数形结合计算即可．

本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．

16.【答案】或

【解析】解：由题意知，直线、的斜率均存在且不为，设点满足条件，

不妨设直线的方程为，则直线的方程为，

因为和的半径都为，且直线被截得的弦长与直线被截得的弦长相等，

所以的圆心到直线的距离等于的圆心到直线的距离，

即，

整理得，

所以或，

即或，

因为的取值有无穷多个，

所以或，

解得或，

所以满足条件的点的坐标为或．

故答案为：或．

根据已知条件设出直线与直线的方程，由两圆半径相等且弦长相等，结合圆的弦长公式可得的圆心到直线的距离等于的圆心到直线的距离，再运用点到直线的距离公式列式，再结合含参直线方程恒过定点即可求得结果．

本题主要考查两圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．

17.【答案】解：因为，，所以直线的斜率，

所以直线的方程为，整理可得：．

由中点坐标公式可得中点坐标为，，所以边上的中线所在直线的斜率为．

故直线方程为．

【解析】根据两点斜率公式以及点斜式即可求解，

根据中点坐标以及斜截式即可求解．

本题考查直线的斜率的求法及三角形中线的求法，属于基础题．

18.【答案】解：的中点为，，所以线段的垂直平分线方程为，

由垂径定理可知，圆心在线段的垂直平分线上，

所以它的坐标是方程组的解，解之得

所以圆心的坐标是，圆的半径，

所以圆的标准方程是．

由题意可得切线的斜率不存在时不满足，所以设切线方程为即，

由已知得，解得，

所以切线方程为和．

【解析】求出线段的垂直平分线方程，圆心在线段的垂直平分线上，故联立两直线方程，求出圆心坐标，进而求出半径，得到圆的方程；

设出切线方程，由点到直线距离公式得到方程，求出，得到切线方程．

本题考查圆的方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

19.【答案】解：证明：由可得：，

令，

所以直线过定点．

由知，直线恒过定点，

所以设直线的方程为，

令，则；令，则，

所以，

当且仅当，即时，三角形面积最小，

此时的方程为．

【解析】将直线方程改写成形式，解方程组即可．

设出直线的方程，分别令、求出相对于的值、值，结合三角形面积公式及基本不等式即可求得结果．

本题主要考查了恒过定点的直线方程的应用，还考查了直线的交点坐标的求解，属于中档题．

20.【答案】解：当，圆心为圆的方程为，

设圆心到直线的距离为，则，

若直线的斜率不存在，则：，圆心到直线的距离为，直线与圆相离，不符合题意；

若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，

，得，得，，

所以直线的方程为或；

圆的方程为，

设点，因为，所以，

化简得，即，

所以点在以圆心，为半径的圆上．

由题意，点在圆上，所以圆与圆有公共点，

则，即，

由，得；由，得．

所以实数的取值范围为