北京市2022-2023学年上学期高二期末数学试题汇编-9直线与方程（含解析）

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一、单选题

1．（2023春·北京东城·高二统考期末）如图，曲线在点处的切线为直线，直线经过原点，则（）

A．B．C．D．

2．（2023秋·北京密云·高二统考期末）直线，若，则a的值为（）

A．或2B．3或C．D．2

3．（2023秋·北京密云·高二统考期末）已知直线.则下列结论正确的是（）

A．点在直线上B．直线的倾斜角为

C．直线在轴上的截距为8D．直线的一个方向向量为

4．（2023秋·北京平谷·高二统考期末）已知半径为2的圆经过点，其圆心到直线的距离的最小值为（）

A．0B．1C．2D．6

5．（2023秋·北京平谷·高二统考期末）已知圆：，直线：，则直线被圆所截得的弦长为（）

A．B．C．5D．10

6．（2023秋·北京平谷·高二统考期末）直线在轴上的截距为（）

A．B．C．D．

7．（2023秋·北京西城·高二统考期末）直线的倾斜角等于（）

A．B．C．D．

8．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）已知直线，直线，则“”是“”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

9．（2023秋·北京顺义·高二统考期末）若直线与直线的交点为，则实数a的值为（）

A．-1B．C．1D．2

10．（2023秋·北京顺义·高二统考期末）下列直线中，斜率为1的是（）

A．B．C．D．

11．（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知经过，两点的直线的一个方向向量为，那么（）

A．B．C．D．2

12．（2023秋·北京房山·高二统考期末）直线经过定点（）

A．B．C．D．

13．（2023秋·北京海淀·高二统考期末）已知A，B（异于坐标原点）是圆与坐标轴的两个交点，则下列点M中，使得为钝角三角形的是（）

A．B．

C．D．

14．（2023秋·北京怀柔·高二统考期末）若直线与直线垂直，则（）

A．B．C．2D．

二、填空题

15．（2023秋·北京密云·高二统考期末）已知直线和直线互相垂直，则的值是.

16．（2023秋·北京西城·高二统考期末）设为抛物线的焦点，点在抛物线上，点，且，则.

17．（2023秋·北京西城·高二统考期末）设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为.

18．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）过圆的圆心且与直线平行的直线的方程是．

19．（2023秋·北京东城·高二统考期末）两条直线与之间的距离是.

20．（2023秋·北京通州·高二统考期末）点到直线的距离为．

三、解答题

21．（2023秋·北京房山·高二统考期末）已知点，求

(1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程；

(2)过点A，B且圆心在直线上的圆的标准方程.

22．（2023秋·北京密云·高二统考期末）已知圆，圆，直线.

(1)求圆心到直线的距离；

(2)已知直线与圆交于，两点，求弦的长；

(3)判断圆与圆的位置关系.

23．（2023秋·北京顺义·高二统考期末）已知直线l：与x轴的交点为A，圆O：经过点A．

(1)求r的值；

(2)若点B为圆O上一点，且直线垂直于直线l，求弦长．

24．（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知的三个顶点分别是，，．

(1)求的外接圆C的方程；

(2)求直线被圆C截得的弦的长．

参考答案：

1．C

【分析】根据导数的意义及直线的斜率公式求解即可.

【详解】由题意，，且，

所以.

故选：C.

2．C

【分析】根据直线平行得到，得到解得或，再验证得到答案.

【详解】，，则，

解得或，

当时，，两直线重合，排除；

当，验证满足.

综上所述：.

故选：C

3．B

【分析】逐个分析各个选项.

【详解】对于A项，当，时，代入直线方程后得，∴点不在直线l上，故A项错误；

对于B项，设直线l的倾斜角为，∵，∴，又∵，∴，故B项正确；

对于C项，令得：，∴直线l在y轴上的截距为，故选项C错误；

对于D项，∵直线l的一个方向向量为，∴，这与已知相矛盾，故选项D错误.

故选：B.

4．C

【分析】设圆心坐标得到圆的圆心的轨迹方程，再利用点到线的距离公式求解.

【详解】半径为2的圆经过点，设圆心坐标为，则

所以该圆的圆心的轨迹是以为圆心，2为半径的圆

故圆心到直线的距离的最小值为点到直线的距离减半径，即

故选：.

5．A

【分析】先根据圆的一般方程求圆心和半径,再结合半径,弦长和圆心到直线距离的关系式,计算即可.

【详解】已知圆：,所以圆心,半径为,

圆心到直线：的距离

所以直线被圆所截得的弦长为

故选:.

6．D

【分析】令直线方程中的得出的值即是直线在轴上的截距.

【详解】令直线中的，

得，

即直线在轴上的截距为，

故选：D

7．D

【分析】由得，据此可得答案.

【详解】由得，得直线斜率为，则倾斜角为.

故选：D

8．C

【分析】根据直线的平行的判定即可求解.

【详解】等价于，

解得，

所以，

解得或，

当时，，，此时重合，

故“”是“”的充分必要条件.

故选：C.

9．A

【分析】由题意可列方程，解方程即可得出答案.

【详解】直线与直线的交点为，

所以.

故选：A.

10．C

【分析】由斜率的定义对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对于A，直线的斜率为；

对于B，直线的倾斜角为，斜率不存在；

对于C，直线的斜率为；

对于D，直线的斜率为.

故选：C.

11．A

【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系求解.

【详解】由题意，解得：.

故选：A.

12．D

【分析】令求解.

【详解】解：令，得，此时，

所以直线经过定点，

故选：D

13．D

【分析】先求出直线AB的方程，确定弦AB为该圆的直径，再判断A，B，C，D各选项中的点M与圆的位置关系，即可确定的形状，从而得解．

【详解】由A，B（异于坐标原点）是圆与坐标轴的两个交点，

不妨得，，则直线AB的方程为，

显然圆心在直线AB上，即弦AB为该圆的直径，

对于A，，即在圆上，则为直角三角形，故A错误；

对于B，，即在圆外，且M在点B上方，在直线的下方，则为锐角三角形，故B错误；

对于C，，即在圆上，则为直角三角形，故C错误；

对于D，，即在圆内，则为钝角三角形，故D正确．

故选：D．

14．C

【分析】利用两直线垂直，斜率相乘为-1，列出方程求解即可.

【详解】∵直线与直线垂直，

故选：C

15．

【分析】根据直线垂直列方程，由此求得的值.

【详解】由于两条直线垂直，

所以.

故答案为：

16．

【分析】由题意可设，且满足，因为，由两点间的距离公式代入可求出，即可求出.

【详解】由题意可得，，，设，

且满足，此时，

则，

解得：，此时，所以，

故.

故答案为：

17．

【分析】求出线段的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程.

【详解】因为，所以线段的中点，且.

所以与垂直的直线的斜率为，

所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即.

故答案为：

18．

【分析】设出与直线平行的直线，将圆心代入即可.

【详解】由的圆心为，

设与直线平行的直线为：

，

因为过圆心，

所以，

故所求直线为：，

故答案为：.

19．

【分析】根据平行直线间距离公式可直接求得结果.

【详解】由平行直线间距离公式可得：之间的距离.

故答案为：.

20．

【分析】代入点到直线的距离公式即可求解.

【详解】设点到直线的距离为，

由点到直线的距离公式可得：，

故答案为：.

21．(1)

(2)

【分析】（1）所求的圆，即以AB为直径的圆，求出圆心和半径，可得结果；

（2）解法一：求出的垂直平分线的方程是，又圆心在直线上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是，，可得圆的标准方程；解法二：利用待定系数法求解．

【详解】（1）当为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小．

即的中点为圆心，半径，

则圆的标准方程为．

（2）解法一：的斜率为，则的垂直平分线的方程是，即，

由圆心在直线上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是．

．

故所求圆的标准方程是．

解法二：待定系数法

设圆的标准方程为，

则

故所求圆的标准方程为．

22．(1)

(2)

(3)外切

【分析】（1）利用点到直线的距离公式求得正确答案.

（2）根据弦长公式求得正确答案.

（3）根据圆心距与两圆半径的关系确定两圆的位置关系.

【详解】（1）圆的圆心为，半径.

圆的方程可化为，

所以圆心为，半径.

所以圆心到直线的距离为.

（2）.

（3），所以两圆外切.

23．(1)2；

(2).

【分析】（1）求出，代入圆的方程即可求解；

（2）根据直线垂直于直线l，可求直线的斜率，根据点斜式可求直线的方程，再利用垂径定理即可求解.

【详解】（1）在中，令，得，故.

因为圆O：经过点A，所以，解得.

（2）直线l的斜率为2，因为直线垂直于直线l，所以直线的斜率为.

所以直线的方程为，即.

圆心到直线的距离为，

所以.

24．