第21章 一元二次方程 同步练习（3份打包含解析） 2022-2023学年上学期贵州省各地九年级数学期末试题选编

第第页第21章一元二次方程同步练习（3份打包，含解析）2022-2023学年上学期贵州省各地九年级数学期末试题选编21.1一元二次方程

一、单选题

1．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）下列方程是一元二次方程的是（）

A．2x2＋x－y=0B．ax2＋4x－5=0C．3x2＋2x＋7=3（x2－1）D．x2－1=0

2．（2022秋·贵州铜仁·九年级期末）下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0；②x2+=6；③x2=0；④x=3x2⑤（x+1）（x﹣1）=x2+4x中，一元二次方程的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期末）若（1﹣m）x3mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则该方程的一次项系数是（）

A．﹣1B．±1C．﹣3D．±3

4．（2022秋·贵州安顺·九年级统考期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）

A．B．C．且D．且

5．（2022秋·贵州贵阳·九年级统考期末）一元二次方程：的一次项系数是（）

A．B．2C．5D．6

6．（2022秋·贵州黔南·九年级统考期末）一元二次方程的二次项系数为（）

A．－1B．0C．1D．2

7．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A．B．C．D．

8．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）关于x的一元二次方程(a1)x2+a21=0的一个根是0．则a的值为（）

A．1B．C．1或D．

9．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（）

A．2023B．2023C．2022D．2024

10．（2022秋·贵州安顺·九年级统考期末）已知是一元二次方程的一个根，那么（）

A．B．C．D．

11．（2022秋·贵州铜仁·九年级期末）若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（）

A．1，0B．﹣1，0C．1，﹣1D．无法确定

二、填空题

12．（2022秋·贵州黔东南·九年级统考期末）写出两根分别为3和4的一个一元二次方程：．

13．（2022秋·贵州贵阳·九年级统考期末）若关于x的方程的一个根是，则m的值为．

14．（2022秋·贵州铜仁·九年级期末）已知m是关于x的方程x2+4x﹣4＝0的一个根，则3m2+12m＝．

15．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋4x＋m2＋m＝0的一个根为0，则m的值是．

16．（2022秋·贵州黔东南·九年级统考期末）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为．

17．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）把一元二次方程化成一般形式是．

18．（2022秋·贵州遵义·九年级期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为．

19．（2022秋·贵州铜仁·九年级期末）已知方程．当时，为一元二次方程．

三、解答题

20．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）已知x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式的值．

21．（2022秋·贵州铜仁·九年级期末）已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是1，且a、b满足等式，求方程的根.

参考答案：

1．D

【分析】根据一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐项分析判断即可．

【详解】解：A.2x2＋x－y=0，二个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；

B.ax2＋4x－5=0，当时，是一元一次方程，故该选项不符合题意；

C.3x2＋2x＋7=3（x2－1）整理后得，不含二次项，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；

D.x2－1=0，故该选项符合题意；

故选D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．

2．B

【分析】依据一元二次方程的定义求解即可．

【详解】①当a＝0时，ax2＋bx＋c＝0不是一元二次方程；②x2+=6＝6是分式方程；③x2＝0是一元二次方程；④x＝3x2是一元二次方程⑤（x＋1）（x1）＝x2＋4x，整理后不含x的二次项，不是一元二次方程．

故选B．

【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．

3．C

【分析】根据一元二次方程的定义：一般地，我们把形如（其中a≠0，a、b、c是常数，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项）的方程叫做一元二次方程，进行求解即可．

【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，

∴，

∴，

∴该方程的一次项系数是3m=-3，

故选C．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知定义是解题的关键．

4．C

【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式b2-4ac＞0，结合一元二次方程的定义，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．

【详解】解：∵关于x的方程(m1)x22x-1=0有两个不相等的实数根，

∴b2-4ac=(2)24×(m1)×（-1）＞0，

∴m＞0；

∵m1≠0，

∴m≠1；

∴实数m的取值范围是m＞0且m≠1，

故选：C．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握根的判别式．

5．A

【分析】一元二次方程的一般形式是：是常数且，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

【详解】解：一元二次方程的一次项系数是．

故选：A．

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数，首先要把方程化成一般形式．

6．D

【分析】根据一元二次方程中，叫二次项，叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，解答即可．

【详解】一元二次方程的二次项系数是2，故D正确．

故选：D．

【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，(a，b，c是常数且a≠0)，熟练掌握二次项系数的定义是解题的关键．

7．C

【分析】根据一元二次方程定义解答．

【详解】解：一元二次方程化为一般形式为，

二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，-5，-1，

故选：C．

【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记方程的一般形式的特点及各字母的名称是解题的关键．

8．B

【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值．

【详解】解：把x=0代入方程得到：a2-1=0，

解得：a=±1．

∵a-10，

∴a1，

∴a=-1，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了方程的根的定义，是一个基础的题目．一元二次方程的解使方程的左右两边相等．

9．C

【分析】根据一元二次方程根的定义，可得，再代入，即可求解．

【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，

∴，即，

∴．

故选：C

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值就是方程的根是解题的关键．

10．A

【分析】根据一元二次方程解的定义把x=m代入方程得出，然后将代入即可．

【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，

∴，

∴

故选：A．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

11．C

【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论．

【详解】解：∵，

把代入得：，

即方程的一个解是，

把代入得：，

即方程的一个解是；

故选：C．

【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．

12．（答案不唯一）

【分析】根据一元二次方程根的定义写出对应的方程即可．

【详解】解：由题意得，满足题意的方程可以为，即，

故答案为：（答案不唯一）．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．

13．-4

【分析】把代入方程得，然后解关于的方程．

【详解】解：把代入方程得，

解得．

故答案为．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

14．12

【分析】根据方程的解得定义得m2+4m-4=0，即m2+4m=4，将其代入到原式=3（m2+4m）可得答案．

【详解】解：∵m是关于x的方程x2+4x﹣4＝0的一个根，

∴m2+4m﹣4＝0，即m2+4m＝4，

∴3m2+12m＝3（m2+4m）＝3×4＝12．

故答案为：12．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．

15．0

【分析】先把x=0代入方程得到m2+m=0，然后解关于m的方程，再利用一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．

【详解】把x=0代入方程（m+1）x2+4x+m2+m=0得m2+m=0，解得m1=0，m2=-1，

而m+1≠0，

所以m=0．

故答案为0．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

16．1

【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．

【详解】∵x=3是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得32-3k-6=0，解此方程得到k=1．

【点睛】本题逆用一元二次方程解的定义易得出k的值．

17．

【分析】根据一元二次方程的定义：一般地，形如（a，b，c为常数，且）的方程叫做一元二次方程，即可得出结论．

【详解】解：一元二次方程化成一般形式为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．

18．2023

【分析】根据已知条件得，然后将其代入所求代数式，即可求解．

【详解】解：是一元二次方程的一个根，

，

=

=

=2023．

故答案为：2023．

【点睛】此题考查了代数式的求值与一元二次方程的根的概念，熟练运用相关概念与整体代入的思想是解此题的关键．

19．-1

【分析】根据一元二次方程的定义得到且，解得即可．

【详解】根据题意得，且，

解得k=-1，

故答案为：-1．

【点睛】本题考查一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，熟知定义是解题的关键．

20．

【详解】解：∵x2－2x＋1＝0，

∴x1＝x2＝1，

原式＝．

∴当x＝1时，原式＝．

21．y1＝2，y2＝－2

【分析】首先根据a、b满足的关系式，求出a、b的值，然后解出c，最后解关于y的方程即可．

【详解】由题意得：a＝2，b＝－3

∵ax2＋bx＋c＝0的一个根是1

∴a＋b＋c＝0∴c＝－(a＋b)＝－2＋3＝1

∴-c=0,变形得-1=0，

解得：y1＝2，y2＝－2

【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念以及二次根式有意义的条件，难度一般，解决本题的关键是根据二次根式有意义的条件求出a，b的值．21.2解一元二次方程

一、单选题

1．（2022秋·贵州毕节·九年级期末）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（）

A．B．C．D．

2．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）一元二次方程配方后可化为（）

A．B．

C．D．

3．（2022秋·贵州黔东南·九年级统考期末）方程的解是（）

A．B．C．D．

4．（2022秋·贵州毕节·九年级期末）如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（）

A．B．且C．D．且

5．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）关于x的一元二次方程2x2－3x＋1=0的根的情况是（）．

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根

6．（2022秋·贵州黔东南·九年级统考期末）已知一次函数（k、b是常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的根的情况是（）

A．没有实数根B．有一个实数根

C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根

7．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）下列方程中，没有实数根的是（）

A．B．

C．D．

8．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）如果关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）

A．－≤k＜1且k≠0B．k＜1且k≠0C．－≤k＜1D．k＜1

9．（2022秋·贵州遵义·九年级统考期末）若实数x1，x2满足x1+x2＝3，x1x2＝2，则下列一元二次方程以x1，x2为根的是（）

A．x2﹣3x+2＝0B．x2+3x-2＝0C．x2+3x+2＝0D．x2﹣3x﹣2＝0

10．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期末）已知关于x的方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1，x2满足xxx1x2＝16，则a的值为（）

A．6B．﹣1C．6或﹣1D．1或﹣6

二、填空题

11．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）在实数范围内定义运算“※"，其规则为，则方程的根为．

12．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2＋2x＋a2﹣9＝0的一个根是0，则a＝．

13．（2022秋·贵州毕节·九年级期末）三角形两边的长分别是和，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为．

14．（2022秋·贵州六盘水·九年级统考期末）关于x的方程的解是．

15．（2022秋·贵州黔东南·九年级统考期末）关于x的一元二次方程的一个根为1，则它的另一个根是．

16．（2022秋·贵州六盘水·九年级统考期末）若a，b是关于x的方程的两个实数根，则．

三、解答题

17．（2022秋·贵州毕节·九年级期末）已知的三条边分别是．

(1)判断的值的正负．

(2)若满足，判断的形状．

18．（2022秋·贵州安顺·九年级统考期末）按要求解方程：

(1)（配方法）；

(2)（公式法）．

19．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）解方程

(1)5x2－6x＋1=0（公式法）

(2)x2＋8x－2=0（配方法）

20．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）（1）解方程：；

（2）先化简﹐再求值：，其中．

21．（2022秋·贵州黔东南·九年级统考期末）解方程：

(1)

(2)

22．（2022秋·贵州贵阳·九年级统考期末）解下列方程：

(1)

(2)

23．（2022秋·贵州铜仁·九年级期末）按照下列不同方法解方程．

(1)﹣4＝0（直接开平方法）；

(2)＋3x﹣1＝0（配方法）；

(3)2＋x﹣1＝0（公式法）；

(4)﹣3x＝0（因式分解法）．

24．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）已知：关于x的一元二次方程x22mx+m21=0．

(1)判断方程的根的情况；

(2)若△ABC为等腰三角形，AB=3cm，另外两条边是方程的根，求△ABC的周长．

25．（2022秋·贵州安顺·九年级统考期末）在解方程x2﹣9＝2（x﹣3）的过程，嘉洪同学的解答如下：

解：将方程左边分解因式，得（x+3）（x﹣3）＝2（x﹣3），……第一步

方程两边都除以（x﹣3）．得x+3＝2，…第二步

解得x＝﹣1…第三步

（1）已知嘉淇同学的解答是错误的，开始出现错误的步骤是；

（2）请给出正确的解答过程．

26．（2022秋·贵州安顺·九年级统考期末）阅读下列材料：

已知实数p，q满足，且，求的值．

解：∵，

∴每一项都除以，得．

又∵，且p，

∴p，是方程的两个不等的实数根，由根与系数的关系，得，

∴

根据材料中所提供的方法，解答下列问题：

已知实数p，q满足，，且．

(1)p，；

(2)求的值．

参考答案：

1．C

【分析】首先移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．

【详解】解：，

，

，

故选：C．

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

2．B

【分析】根据题意直接对一元二次方程配方，然后把常数项移到等号右边即可．

【详解】解：根据题意，

把一元二次方程配方得：，

即，

∴化成的形式为．

故选：B．

【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，注意掌握配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

3．D

【分析】利用直接开平方的方法解方程即可．

【详解】解：∵，

∴，

故选D．

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．

4．B

【分析】根据题意可得，当时，根据判别式的意义得到，解得且，即可得到的取值范围．

【详解】解：依题意，当时，，解得且，

所以的取值范围为且，．

故选：B．

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

5．B

【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解．

【详解】解：关于x的一元二次方程2x2－3x＋1=0中

，

∴方程2x2－3x＋1=0有两个不相等的实数根，

故选：B．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．

6．D

【分析】根据一次函数的图像，确定的符号，再判断一元二次方程的判别式，即可求解．

【详解】解：由一次函数图像可得：当时，，即，

∴，

方程的判别式

∵

∴

∴方程有两个不相等时的实数根．

故选：D

【点睛】此题考查了一次函数的图像与性质，一元二次方程根的情况与判别式的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．

7．D

【分析】利用一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，依次判断即可求解．

【详解】解：A、，其中，，，

，

∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；

B、，其中，，，

，

∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；

C、，其中，，，

，

∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；

D、，其中，，，

，

∴方程没有的实数根，故本选项符合题意；

故选：D．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练一元二次方程根的判别式是解题的关键．

8．A

【分析】根据一元二次方程的定义、根的判别式及二次根式有意义的条件列不等式组即可得答案．

【详解】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知：k≠0，

根据二次根式被开方数非负数的条件得：3k+1≥0，

根据方程有两个不相等的实数根，得△=3k+1﹣4k＞0，

三者联立得：，

解得：－≤k＜1且k≠0．

故选：A．

【点睛】本题考查一元二次方程定义和根的判别式及二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题关键．

9．A

【分析】根据题意，先逐项判断判别式，再根据x1+x2＝3，x1x2＝2，可得,逐项分析判断即可．

【详解】A.x2﹣3x+2＝0，，x1+x2＝3，x1x2＝2，符合题意，

B.x2+3x-2＝0，，x1+x2＝-3，x1x2＝-2，不符合题意，

C.x2+3x+2＝0，，x1+x2＝-3，x1x2＝2，不符合题意，

D.x2﹣3x﹣2＝0，，x1+x2＝3，x1x2＝-2，不符合题意，

故选A

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．

10．B

【分析】先根据判别式的意义得到，再根据根与系数的关系得，，利用得到，解关于的方程，然后利用的范围确定满足条件的的值．

【详解】解：根据题意得△，

解得，

根据根与系数的关系得，，

，

，

即，

整理得，

解得，，

而，

的值为．

故选：B．

【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两根，则，．

11．，

【分析】根据新定义列出方程，用直接开平方法求出方程的根即可．

【详解】根据新定义可以列方程：

(3※2)※x=16，

，

，

，

解得：，；

故答案为：，．

【点睛】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程，根据新定义列出方程是解题的关键．

12．

【分析】由一元二次方程（a﹣3）x2＋2x＋a2﹣9＝0的一个根是0，可得且，再解不等式与方程即可得到答案.

【详解】解：一元二次方程（a﹣3）x2＋2x＋a2﹣9＝0的一个根是0，

①且②，

解①得：

解②得：

所以

故答案为：

【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，一元二次方程的解的含义，一元二次方程的解法，思维严密，不遗漏信息是解题的关键.

13．

【分析】首先从方程中，确定第三边的边长为或；其次考查，，或，，能否构成三角形，从而求出三角形的周长．

【详解】解：∵，

∴，

解得：，，

当第三边是时，，不能构成三角形，应舍去；

当第三边是时，三角形的周长为．

故答案为：．

【点睛】本题考查解一元二次方程—因式分解法，三角形三边关系．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应舍去．掌握解一元二次方程和三角形三边的关系是解题的关键．

14．3或-1

【分析】根据因式分解法解一元二次方程．

【详解】解：根据因式分解可直接得

x-3=0，x+1=0

解得x1=3，x2=-1．

故答案为：3或-1

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．

15．/0.2

【分析】设方程的另一个根是，根据根与系数的关系得出，求出即可．

【详解】解：设方程的另一个根是，

则根据根与系数的关系得：，

解得：，

即方程的另一个根是，

故答案为：．

【点睛】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．

16．2023

【分析】由a，b是关于x的方程的两个实数根得，，，再整理代数式即可求得答案．

【详解】解：a，b是的两个实数根，

，a+b=2,

即，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出，是解题的关键．

17．(1)的值为负

(2)等边三角形

【分析】（1）运用因式分解法将转化为，借助三角形的三边关系问题即可解决；

（2）运用配方法，将所给等式的左边变形、配方，利用非负数的性质问题即可解决．

【详解】（1）解：，

的三条边分别是，

，

的值的为负；

（2）解：，

，

即，

又，，

，

为等边三角形．

【点睛】本题主要考查了因式分解、配方法在代数式的化简求值、几何图形形状的判断等方面的应用问题，解题的关键是灵活运用，正确变形，准确判断．

18．(1)，；

(2)

【分析】（1）根据配方法解一元二次方程的步骤依次计算可得；

（2）利用公式法求解可得．

【详解】（1）解：，

，

，即，

∴，

∴，；

（2）解：，

，

，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方法是解方程的公用方法，公式法解方程的常用方法．

19．(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，用公式法解一元二次方程；

（2）根据题意，用配方法解一元二次方程即可求解．

【详解】（1）解：5x2－6x＋1=0中，，

，

，

解得：；

（2）x2＋8x－2=0，

，

，

，

，

解得：．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

20．（1），；（2），当时，原式．

【分析】（1）根据一元二次方程的a，b，c的值，求出的值，再根据求根公式即可求解；

（2）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，然后把a的值代入计算可得结果．

【详解】解：（1），

，

，

（2）原式

当时，原式．

【点睛】（1）本题主要考查解一元二次方程，可以用公式法解一元二次方程，熟记公式并能正确计算出结果是解题关键；

（2）本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则进行正确的化简并代入求值是解题关键．

21．(1)，

(2)，

【分析】（1），利用因式分解求出答案即可；

（2）两边开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．

【详解】（1），

，

，；

（2），

开方，得，

解得：，．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法求解是解此题的关键．

22．(1)，

(2)，

【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；

（2）利用配方法解一元二次方程即可得．

【详解】（1）解：，

，

或，

解得，．

（2）解：，

，

，

，

，

解得，．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等）是解题关键．

23．(1)，

(2)，

(3)x1＝，x2＝﹣1

(4)x1＝0，x2＝3

【分析】（1）用直接开平方法求解；

（2）用配方法求解即可；

（3）用公式法求解即可；

（4）用因式分解法求解即可．

【详解】（1）解：=4，

x=±2，

∴，；

（2）解：+3x=1

+3x+=1+

，

∴，；

（3）解：∵2x2＋x﹣1＝0，

∴a＝2，b＝1，c＝﹣1，

△＝1＋8＝9＞0，

∴x＝，

∴x1＝，x2＝﹣1．

（4）解：∵x2﹣3x＝0，

∴x（x﹣3）＝0，

∴x＝0或x﹣3＝0，

∴x1＝0，x2＝3．

【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程题的关键．

24．(1)该方程总有两个不相等的实数根；

(2)此三角形的周长为13cm或7cm．

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=4＞0，由此可得出：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）根据等腰三角形的性质及Δ＞0，可得出3是方程x2-2mx+m2-1=0的根，将x=3代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．

【详解】（1）解：∵Δ=（-2m）2-4（m2-1）=4＞0，

∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：∵Δ＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，且AB=3cm，

∴3是方程x2-2mx+m2-1=0的根．

将x=3代入原方程，得：9-6m+m2-1=0，

解得：m1=2，m2=4．

当m=2时，原方程为x2-4x+3=0，

解得：x1=3，x2=1，

∵1、3、3能够组成三角形，

∴该三角形的周长为1+3+3=7(cm)；

当m=4时，原方程为x2-8x+15=0，

解得：x1=5，x2=3，

∵5、5、3能够组成三角形，

∴该三角形的周长为5+5+3=13(cm)．

综上所述：此三角形的周长为13cm或7cm．

【点睛】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值．

25．（1）第二步；（2）正确的解答过程见解析，，．

【分析】（1）根据等式的基本性质判断即可；

（2）利用因式分解法求解即可．

【详解】解：（1）解方程的过程从第二步开始出现错误，错误的原因是可能为

故答案为：第二步

（2）

解得，

故答案为，

【点睛】此题考查了因式分解法求解一元二次方程，涉及了等式的基本性质，解题的关键是掌握因式分解法求解一元二次方程的过程．

26．(1)2，

(2)6

【分析】（1）仿照例题每一项都除以得，推出p、是方程的两实根，利用根与系数的关系得到答案；

（2）利用完全平方公式变形计算即可．

【详解】（1）∵，，

∴每一项都除以得，

又，且，

∴p、是方程的两实根，

由根与系数关系得，即，

故答案为：2，．

（2）∵，

∴．

【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形计算，正确掌握各知识点是解题的关键．21.3实际问题与一元二次方程

一、单选题

1．（2022秋·贵州毕节·九年级期末）某旅游景点2023年8月份共接待游客25万人次，2023年10月份共接待65万人次，设每月旅游人数的平均增长率为x，则可列方程（）．

A．B．C．D．

2．（2022秋·贵州安顺·九年级统考期末）为响应国家传统文化进校园的号召，某校准备购进一批毕加索笔来奖励经典诵读优秀生．某文具超市为让利给学校，经过两次降价，每支毕加索笔单价由121元降为100元，两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）

A．B．

C．D．

3．（2022秋·贵州铜仁·九年级期末）某超市一月份的营业额为100万元，已知第一季度的总营业额共500万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）

A．100＋100（1＋x）＋100（1＋x）2＝500B．100（1＋x）2＝500

C．100＋100（1＋x）2＝500D．100（1＋x）＝500

4．（2022秋·贵州黔南·九年级统考期末）2023年的“一圈两场三改”工作标志着贵阳市民生建设迈入新阶段，某区11月开放体育场馆30所，预计到2022年1月开放体育场馆达63所，若设每个月开放体育场馆的平均增长率为x，则所列的方程为（）

A．B．C．D．

5．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）城北菜场猪肉的原价为14元/斤，经过连续两次涨价后的售价为20元/斤．设平均每次涨价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（）

A．B．

C．D．

6．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）世界各地来梵净山旅游的人数逐年增加，据有关部门统计，2023年约为10万人次，2023年约为14.4万人次．设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）

A．B．

C．D．

7．（2022秋·贵州贵阳·九年级统考期末）如图，某校为生物兴趣小组规划一块长，宽的矩形试验田．现需在试验田中修建同样宽的两条互相垂直的小路（两条小路各与矩形的一条边平行），根据学校规划，小路分成的四块小试验田的总面积为．求小路的宽为多少米？若设小路的宽为，根据题意所列的方程是（）

A．B．

C．D．

8．（2022秋·贵州遵义·九年级统考期末）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？（）

A．宽26步，长34步B．宽24步，长36步

C．宽14步，长46步D．宽16步，长44步

9．（2022秋·贵州六盘水·九年级统考期末）我市某中学九年级举行篮球赛，参赛的每两个班级之间都要进行一场比赛，一共有36场赛事，设有x个班级参加比赛，根据题意列出的方程是（）

A．B．C．D．

二、填空题

10．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）金滩商场4月份的利润是28万元，预计6月份的利润将达到40万元，设每月利润的平均增长率为x，则根据题意所列方程是．

11．（2022秋·贵州铜仁·九年级期末）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为660平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为．

三、解答题

12．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期末）2023年某县投入100万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每年以相同的增长率投入，2022年该县计划投入“扶贫工程”144万元．

(1)求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率；

(2)若2023年保持从2023年到2022年的年平均增长率不变，求2023年该县将投入“扶贫工程”多少万元．

13．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）毕节市大方县某口罩厂今年7月份的生产成本是1000万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，9月份的生产成本是810万元．假设该公司月每个月生产成本的下降率都相同．

(1)求每个月生产成本的下降率；

(2)若月平均下降率不变，请求10月份该公司的生产成本．

14．（2022秋·贵州铜仁·九年级期末）甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．

（1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；

（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时，每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，则该商品应定价为多少元？

15．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．

（1）求平均每次下调的百分率．

（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？

16．（2022秋·贵州毕节·九年级期末）某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台降价1元，商场平均每天可多售出2台．

(1)若该商场某天降价了5元，则当天可售出台，当天共盈利元；

(2)在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？

17．（2022秋·贵州安顺·九年级统考期末）某商店分别花元和元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多千克．

(1)该商品每千克的进价是多少元？

(2)若该商品每天的销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系式为：，商品的售价定为多少元时，商店每天可以获利元？

18．（2022秋·贵州六盘水·九年级统考期末）抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我市特产烙锅辣椒面的影响力，某电商在抖音平台上对某品牌袋装（500克/袋）烙锅辣椒面进行直播销售．成本价为40元/袋，如果按60元/袋销售，每天可卖出80袋．通过市场调查发现，每袋烙锅辣椒面售价每降低1元，日销售量可增加10袋．

(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完库存烧锅辣椒面，每袋售价应定为多少元？

(2)钟珊珊在水城古镇的线下实体店售卖同品牌的烙锅辣椒面，标价为64元/袋．为提高市场竞争力，增加线下销售量，她决定实行打折销售，使其售价不超过（1）中的售价，则该品牌烙锅辣椒面至少打几折售卖？

19．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）宾隆超市经销一种销售成本为每千克6元的苹果，据市场分析．若按每千克10元销售，一个月能售出800kg，调查发现，这种苹果的销售单价每涨价1元，月销售量就减少50kg．针对这种草果的销售情况，请回答以下问题：

(1)当销售单价定为每千克15元时，计算月销售量和销售利润；

(2)商店想要使月销售利润达到4200元且保证月销售量不低于400kg，那么每千克苹果应涨价多少元？

20．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）某商场以每件40元的价格购进一批商品，当商场按每件50元出售时，可售出500件，经调查，该商品每涨价1元，其销售量就会减少10件；问：

（1）这批商品商场为了能获利8000元，当要求售价不高于每件70元时，售价应定为多少？

（2）总利润能否达到9500元，为什么？

参考答案：

1．A

【分析】本题依题意可知四月份的人数为：，则五月份的人数为：，列方程即可得出答案．

【详解】解：设每月的平均增长率为x，依题意得：

．

故选：A．

【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率的问题，一般公式为：原来的量现在的量，x为增长或减少的百分率．增加用，减少用．

2．D

【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．

【详解】解：设每次降价的百分率为x，

根据题意得：．

故选：D．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，找出降价后的价格与原价之间的关系为：降价后＝原价×（1降价率）2是解题的关键．

3．A

【分析】先根据题意求得二月份的营业额、三月份的营业额，再根据等量关系“一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=500万元”即可列出方程．

【详解】解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x，

∴二月份的营业额为100×（1+x），

∴三月份的营业额为100×（1+x）×（1+x）=100×（1+x）2，

∴可列方程为100+100×（1+x）+100×（1+x）2=1000．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．

4．B

【分析】根据题意，找到等量关系，列出方程即可．

【详解】解：设每个月开放体育场馆的平均增长率为x，

根据11月开放体育场馆30所，则12月份开放体育场馆有所，

则2022年1月开放体育场馆有所，

即，

故选B．

【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意正确找到等量关系，列出方程．

5．C

【分析】设平均每次涨价的百分率为x，利用经过两次涨价后的价格=原价×（1+涨价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】解：设平均每次涨价的百分率为x，

依题意得：14（1+x）2=20．

故选：C．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

6．C

【分析】关于增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设观赏人数年均增长率为x，那么根据题意可用x表示到2023年的游客总人数，然后根据已知可以得出方程．

【详解】解：设观赏人数年均增长率为x，

那么根据题意，得10（1+x）2=14.4．

故选：C．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．

7．A

【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．

【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意有：．

故选：A．

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．

8．B

【分析】设长为x步，则宽为（60x）步，根据矩形的面积公式结合矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，解得即可求出结论．

【详解】解：设长为x步，则宽为（60x）步，

依题意，得：x（60x）＝864，

解得：x1＝36，x2＝24（舍），

则长是36步，宽是6036＝24步

答：长是36步，宽是24步，

故选：B．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

9．C

【分析】利用进行比赛的总场次=参赛队伍数×(参赛队伍数-1)×，即可列出关于x的一元二次方程，此题即得解．

【详解】依据题意：，

故选：C．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键．

10．

【分析】设每月利润的平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解．

【详解】设每月利润的平均增长率为x，则根据题意所列方程是：

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．

11．（35-2x）（20-x）=660

【分析】若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35-2x）米，宽为（20-x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解

【详解】解：依题意，得：（35-2x）（20-x）=660．

故答案为：（35-2x）（20-x）=660．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

12．(1)20%

(2)172.8

【分析】（1）设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可解决问题；

（2）根据（1）的结论和题意即可求得2022年该县将投入“扶贫工程”多少万元．

【详解】（1）解：设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为x，

依题意得，

解得，(不合题意，舍去)．

答：该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为20%．

（2）(万元)．

答：2023年该县将投入“扶贫工程”172．8万元．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用-增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．

13．(1)10%

(2)729万元

【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据该公式9月份及11月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）根据12月份的生产成本=11月份的生产成本×（1-下降率），即可求出结论．

【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x

根据题意得：1000（1﹣x）2=810

解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）

答：每个月生产成本的下降率为10%

（2）810×（1﹣10%）=729（万元）．

答：10月份该公司的生产成本是729万元。

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

14．（1）这个降价率为10%；（2）该商品应定价为每件32元．

【分析】（1）设每次降价的百分率为x，（1-x）2为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；

（2）设该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，则每件应降价y元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．

【详解】（1）设这种商品每次降价的百分率是x，依题意得：

40（1﹣x）2＝32.4，

解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）；

答：这个降价率为10%；

（2）设每件降价y元，则多销售y÷0.2×10＝50y（件），

根据题意得（40﹣20﹣y）（500+50y）＝10800，

解得：y1=2，y2=8，

∵尽可能扩大销售量，

∴y=8．

所以40﹣8＝32（元）．

答：该商品应定价为每件32元．

【点睛】本题考查了一元二次方程应用——增长率与销售，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，