概率论与数理统计数学期望

设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下引例射击问题试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?命中环数k命中次数频率一、数学期望的概念解平均射中环数平均射中环数频率随机波动随机波动随机波动稳定值“平均射中环数”的稳定值“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加1.离散型随机变量的数学期望关于定义的几点说明(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.例1（常见离散型随机变量的数学期望）若X~b(1,p)：X~π(λ),2.连续型随机变量数学期望的定义解因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.例2

顾客平均等待多长时间?

设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布,其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间?例3（均匀分布的数学期望）设X~exp(λ)，则EX=1/λ例41.离散型随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望若Y=g(X),且则有例5，P94，62.连续型随机变量函数的数学期望若X是连续型的,它的分布密度为f(x),则例6：P94，10例7

解例10：P94,123.二维随机变量函数的数学期望例9，P94，111.设C是常数,则有证明2.设X是一个随机变量,C是常数,则有证明例如三、数学期望的性质4.设X,Y是相互独立的随机变量,则有3.设X,Y是两个随机变量,则有证明说明连续型随机变量X的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似.解例5四、小结数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值.2.数学期望的性质一、随机变量方差的概念及性质三、例题讲解二、重要概率分布的方差四、小结第二节方差1.概念的引入方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量.实例有两批灯泡,其平均寿命都是E(X)=1000小时.

一、随机变量方差的概念及性质2.方差的定义方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,则表示X的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.3.方差的意义离散型随机变量的方差连续型随机变量的方差4.随机变量方差的计算

(1)利用定义计算

证明(2)利用公式计算证明5.方差的性质(1)设C是常数,则有(2)设X是一个随机变量,C是常数,则有证明(3)设X,Y相互独立,D(X),D(Y)存在,则证明推广1.

两点分布已知随机变量X的分布律为则有二、重要概率分布的方差2.二项分布则有设随机变量X服从参数为n,p二项分布,其分布律为3.泊松分布

则有所以4.

均匀分布则有结论

均匀分布的数学期望位于区间的中点.5.指数分布

则有6.正态分布则有分布参数数学期望方差两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布契比雪夫不等式证明取连续型随机变量的情况来证明.

切比雪夫不等式契比雪夫得四、小结1.方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,则表示X的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.2.方差的计算公式3.方差的性质4.契比雪夫不等式一、协方差与相关系数的概念及性质二、相关系数的意义三、小结第三节协方差及相关系数1.问题的提出一、协方差与相关系数的概念及性质协方差2.定义3.说明(2)相关系数描述的是随机变量X和Y之间的线性相关关系，相关系数的绝对值越大，说明两者之间线性相关程度越大，否则若相关系数等于0，说明两者之间不存在线性相关关系，称之为不相关。即X，Y不相关。不相关独立但在二维正态中独立和不相关是等价的证明：利用柯西-施瓦兹不等式该不等式的证明可通过定义t的函数g(t)作为t的二次函数应有即由此得而相关系数令X1=X-EX，Y1=Y-EY有4.协方差的计算公式证明5.性质

解例2一、协方差与相关系数的概念及性质二、相关系数的意义三、小结第三节协方差及相关系数1.问题的提出一、协方差与相关系数的概念及性质协方差2.定义3.说明(2)相关系数描述的是随机变量X和Y之间的线性相关关系，相关系数的绝对值越大，说明两者之间线性相关程度越大，否则若相关系数等于0，说明两者之间不存在线性相关关系，称之为不相关。即X，Y不相关。不相关独立但在二维正态中独立和不相关是等价的证明：利用柯西-施瓦兹不等式该不等式的证明可通过定义t的函数g(t)作为t的二次函数应有即由此得而相关系数令X1=X-EX，Y1=Y-EY有4.协方差的计算公式证明5.性质

解例2一、基本概念二、n维正态变量的性质三、小结第四节矩、协方差矩阵一、基本概念1.定义2.说明3.协方差矩阵协方差矩阵的应用协方差矩阵可用来表示多维随机变量的概率密度，从而可通过协方差矩阵达到对多维随机变量的研究由于引入矩阵由此可得由于推广二、n维正态变量的性质线性变换不变性三、小结2.正态变量是最重要的随机变量，其性质一定要熟练掌握.一、重点与难点二、主要内容三、典型例题第四章随机变量的数字特征

习题课一、重点与难点1.重点数学期望的性质和计算2.难点数字特征的计算方差的性质和计算相关系数的性质和计算二、主要内容数学期望方差离散型连续型性质协方差与相关系数二维随机变量的数学期望定义计算性质随机变量函数的数学期望定义协方差的性质相关系数定理离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望为则有则有数学期望的性质1.设C是常数,则有2.设X是一个随机变量,C是常数,则有3.设X,Y是两个随机变量,则有4.设X,Y是相互独立的随机变量,则有二维随机变量的数学期望同理可得则则方差的定义方差的计算离散型随机变量的方差连续型随机变量的方差方差的性质1.设C是常数,则有2.设X是一个随机变量,C是常数,则有协方差与相关系数的定义协方差的性质相关系数定理三、典型例题解例1解从数字0,1,2,…,n中任取两个不同的数字,求这两个数字之差的绝对值的数学期望.一般的例2解例3某银行开展定期定