二次函数的图像与性质及练习

二次函数的图像与性质一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。【说明】这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．2.的性质：上加下减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．3.的性质：左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．4.的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．5.二次函数的性质1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）四、二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．五、二次函数解析式的表示方法1.一般式：（，，为常数，）；2.顶点式：（，，为常数，）；3.两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.六、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然．⑴当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；⑵当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．2.一次项系数在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．⑴在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．⑵在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”总结：3.常数项⑴当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；⑵当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；⑶当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．/总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．4.利用二次函数与轴的交点的个数来确定判别式的符号，利用特殊点的坐标确定特殊代数式的值的范围。有时还要利用等量代换来判断特殊代数式的值的范围。二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．二次函数的图像与性质应用举例：例1：小强从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.你认为其中正确信息的个数有（C）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个1111Oxy例2：已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；/②；③；④；⑤其中所有正确结论的序号是（C）A．①② B． ①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤例3：小明从图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤，你认为其中正确信息的个数有（C）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个分析：④错误.由得；由前面的分析知，又由题图知当时，，将代入中得.【练】已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）其中正确的结论有（C）．A.2个 B.3个 C.4个 D.5个分析：由图可知，，从而，①错误；又当时，②错误；由抛物线的对称轴为直线知，当与时函数值相等，所以③正确；因为，所以④正确；因为二次函数的对称轴为直线，所以当时，函数取得最大值，即当时的函数值小于当时的函数值，所以，得，所以⑤正确.例4：如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c＞0．其中正确的命题是①③分析：由图知①③正确且，所以，所以②错误；由①正确得，所以，所以④错误.【练】1.已知二次函数的部分图象如图所示，它的顶点的横坐标为－1，由图象可知关于的方程的两根为－3．2.二次函数图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：①＜0；②＜0；③＜0；④当－1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是④（把正确的序号都填上）．分析：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，得，，与轴的另一个交点为，所以，.例5：在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（C）xxyOＡ．xyOＢ．xyOＣ．xyOＤ．例6：（1）已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5）①求该函数的关系式；②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；答：，交点坐标（2）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－4）三点，求二次函数的解析式；答：例7：已知函数是关于的二次函数，求：（1）求满足条件的的值；（2）为何值时，抛物线有最低点？最低点坐标是多少？当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？答：（1）或；例8：（1）利用配方求函数的对称轴、顶点坐标。（2）利用公式求函数的对称轴、顶点坐标。，例9：已知二次函数的图象的对称轴是，且最高点在直线上，求这个二次函数的解析式。答：例10.如图，二次函数的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（－4，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P，满足，请直接写出点P的坐标．答：，P的坐标为或例11.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上的一个动点，求使：5：4的点P的坐标。答：，C，D，，所以，P的坐标为或.二次函数练习试题一、选择题二次函数的顶点坐标是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D.（2，－3）函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的()已知二次函数的图象如图所示,则下列结论:①a,b同号;②当和时,函数值相等;③④当时,的值只能取0.其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个已知二次函数的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是（）Ａ．－１.３B.-2.3C已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为（）A.B.C.或D.或二、填空题二次函数的对称轴是，则_______。已知抛物线，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是.一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当＜0时，函数值随自变量的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可）。抛物线的顶点为C，已知直线过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。三、