梁的弹塑性平面弯曲分析

梁的弹塑性平面弯曲分析

自1994年美国mathmatgew以来，工作组已成为世界上最受欢迎的软件之一。除了传统的交互式编程外，它还提供了丰富可靠的矩阵操作、图形绘制、数据处理、图像处理、语言编程等实用工具。根据不同的nb，出现了几种应用工具，它们广泛应用于不同的项目领域，显示出通用语言一般难以比较的优势。在欧美高等院校,Matlab已经成为基本的教学工具和理工科大学生必须掌握的基本技能。在设计研究单位和工业部门,Matlab被广泛地用于研究和解决各种具体工程问题。塑性力学是固体力学的一个重要分支,也是机械、材料、土木工程的必要理论基础,是一门专业技术课程,受到了各工程专业的重视。然而,由于材料的塑性性质是不可逆的和非线性的,在数学处理上要比弹性力学困难得多,在塑性力学教材中需引入大量物理的、数学的新概念和繁琐的公式。使得在教学过程中老师讲解困难,学生难以掌握,故教学方法、手段及实践教学环节在该门课程教学中就尤其重要。在塑性力学教学过程中,梁的弹塑性平面弯曲分析包括了塑性力学解题的全部过程。在求解弹塑性问题的过程中,需要找出弹塑性区的分界线,即将物体分为弹性区和塑性区两部分。在“弹性区”材料的物理关系服从广义虎克定律;在“塑性区”则要求应力分量的组合满足屈服条件;在“弹塑性的分线界上”应满足应力和应变的连续条件。由于机械设备中的许多构件都属于这类问题,所以对这类问题的研究有很大的实际意义。目前教科书关于梁的弹塑性平面弯曲分析都是从理论上进行了公式的推导和简单的分析示意图,而梁在外载荷持续增长时,从弹性到弹塑性直至失效的过程,并没有直观地给出,因此如果能够直观地给出其变化的全过程,学生会更好地理解弹塑性梁的平面弯曲概念。一、梁中最大弯矩的数值对于理想的弹塑性材料的矩形梁的弯曲情况,当外荷载不断增加到某一数值时,梁中最大弯矩的截面上最大应力点开始屈服,然后塑性区逐渐对称地从上下两面开始扩展,最后整个截面进入塑性区。截面上的应力分布也随着进入塑性阶段的不同,可能有三种情况(见图1)。1.双三角弹性状态随着载荷的增加,危险截面上、下边缘处的最大正应力首先达到了屈服极限,此时危险截面上、下边缘处的材料开始屈服(如图1a双三角表示的弹性状态),相应的弯矩Me为弹性极限弯矩,其值为:2.双三角形弹塑性区危险截面首先出现塑性变形后,随着载荷的继续增加,塑性变形向危险截面两侧扩大,同时危险截面靠近上、下边缘部分应力达到,相继屈服,形成塑性区,而中间部分仍处在弹性阶段,为弹性区(如图1b表示的双梯形弹塑性状态)。此时弹性区与塑性区交界处离中性轴的距离Zs为:3.塑性极限状态随着载荷的继续增加,塑性区扩大到整个危险截面,各点正应力均达到,梁处于塑性极限状态(如图1c双矩形表示的塑性极限状态),相应的弯矩Ms为极限弯矩。其值为:由于材料是理想弹塑性的,危险截面上拉应力和压应力均保持为,所以截面上的弯矩保持不变,而截面的转动却已经不受限制,这时梁已经成为用铰链把两根刚杆连接起来的“机构”,显然梁已经失去承载能力。二、梁的弯曲分析讨论了简支梁受集中载荷和均布载荷作用的情况,并以Matlab为工具,编制了梁的弯曲分析通用仿真程序,由于篇幅有限,仿真程序略。1.弹性区域与塑性区域的本构模型设有理想弹塑性材料梁,梁长为2l,两端简支,跨度中央受集中力P作用,如图2a所示。根据梁的弯矩图可知,横截面上的弯矩M(x)为:当载荷P逐渐增大时,将首先出现塑性变形;随着载荷继续增长,塑性区域继续扩大,而弹性区域相应地减小,这时,弹性区域与塑性区域的交界处为二次抛物线(如图2b所示)。我们以杆长为30m,矩形截面的尺寸为h=2m,b=1m,材料的=200MPa为例,调用梁的弯曲分析通用仿真程序,得到了图3和表1。由图3可知两塑性区域最后在梁轴中点连接起来,达到截面全部塑性状态,此时Mmax/Ms=1,此时的荷载P称为极限荷载,其值Ps=26666.6KN。可见,载荷的P变化范围为0<P<26666.6KN。由图3也可以看出,塑性区域占梁跨度的,即-5m~5m范围内。2.梁截面塑性分析设有理想弹塑性材料梁,梁长为2l,两端简支,受均布载荷q作用,如图2b所示。根据梁的弯矩图可知,横截面上的弯矩为:当载荷q逐渐增大时,中央截面将首先出现塑性变形;随着载荷q增长,塑性区域逐渐扩大,弹性区域则相应地减小(如图2b所示)。我们依然以梁长为30m,矩形截面的尺寸为h=2m,b=1m,材料的σs=200MPa为例,调用梁的弯曲分析通用仿真程序,得到了图4和表2。表2均布载荷q和Mmax/Ms之间的对应关系由图4可知两塑性区域最后在梁轴中点连接起来,达到截面全部塑性状态,此时Mmax/Ms=1,此时的荷载q称为极限荷载,其值qs=1777.77KN/m。可见,载荷q的变化范围为0<q<1777.77KN/m。由图4也可以看出,塑性区域占梁跨度的,即-8.66m~8.66m范围内。3.均布梁受力分析从表1我们得到了集中载荷的极限值,PS=26666.6KN;从表2可知均布载荷的极限值为qS=1777.77KN/m,梁长为30m,均布梁承受的载荷极限值等效为QS=q×l=53333.1KN。可见,QS=2PS,即相同的梁可以承受更大的均布力;从图3可以知道,集中力作用的梁塑性区域占梁跨度的3,即-5m~5m范围内;由图4也可以看出,均布力作用的梁塑性区域占梁跨度的,即-8.66m~8.66m范围内。可见,虽然均布力的等效极限力是集中力的2倍,但其塑性区域却是集中力作用梁的塑性区域的倍。三、解决工程实际问题的能力提高以MATLAB为工具对弹塑性梁的平面弯曲进行