双悬臂栅条临界荷载的计算

双悬臂栅条临界荷载的计算

一栅条稳定临界荷载设计重点是防止废水。横向梁的计算简单图是示出平均趋势负荷和集中负荷及其组合的两个悬臂梁的简单图。目前，《水利水电工程钢门设计规范》（1）只规定了当同时发送和集中负荷时，简支梁和悬臂梁的临界负荷不能用于计算双悬臂式网的稳定性，也不能用于组合负荷引起的各种网的稳定性。现行规范建议栅条稳定临界荷载如下:均布荷载单独作用的简支栅条:集中荷载单独作用的简支栅条:均布荷载单独作用的悬臂栅条:集中荷载单独作用的悬臂栅条:式中Pcr,qcr——为集中临界荷载及均布临界荷载,a——为悬臂栅条的长度,l——为简支栅条的跨度,GIt,EIz——为矩形截面栅条的抗扭刚度和抗弯刚度。实际上栅条多布置成双悬臂式,如图1示,其合理计算简图应为均布荷载、集中荷载及其组合的双悬臂式栅条结构。因此,根据结构布置的不同及荷载组合的不同,工程上常遇到如下四种控制工况即均布荷载与集中荷载同时作用的简支栅条均布荷载与集中荷载同时作用的悬臂栅条;(3)只有均布荷载作用的双悬臂式栅条;(4)在跨中集中力及全跨均布荷载作用的双悬臂式栅条。对这四种控制工况,规范及弹性稳定理论,无法直接计算临界荷载。显然简单地套用以上公式进行设计是不合理的,不是造成过多的材料浪费,加大水头损失及清污难度,便是导致不安全的破坏。本文将就其稳定性进行分析,提出临界荷载计算方法,并在此基础上讨论了栅条的合理布置方式,供修订规范及生产设计参考。二、无现行稳定性计算方法双悬臂栅条在栏污栅中应用极为广泛,对于这种梁的侧向稳定计算无现成法,按现行规范(1)方法处理不很合理的,下面简要介绍其稳定性计算方法。2.1按可动铰处理拦污栅栅条的实际计算简图为双悬臂梁,支承方式同规范处理方式,即栅条与水平梁的连接一般为固定铰支,工程上偏安全地按一端固定铰,一端可动铰处理;狭窄栅条的纵向平面在两支座处由于间隔环或胁板的约束,偏安全地按可动铰处理,如图2所示。竖向平面内作用在梁的轴线上的均布荷载为q,悬臂段长为a,中跨段长为l,坐标轴如图3所示,y轴通过左支座并垂直于xoz平面,设栅条横截面高为h,宽为b,作用在最大刚度平面xoz上的均布荷载q达到一定值时,栅条将丧失平面弯曲的稳定平衡状态,发生侧向倾覆失稳,在此过程中将发生侧向弯曲和扭转变形。2.2中跨段临界荷载悬臂段仍可近似地按悬臂梁处理,其误差很小;对中跨段可按简支梁在均布荷载q和端弯矩M=qa2/2作用,其等效计算简图如图3悬臂段临界荷载由式(3)变为:中跨段临界荷载可应用侧向倾覆问题的基本微分方程来求解(2),其微分方程式为:通过以上简化处理后就可以求出,不同悬臂长度时。该双悬臂式栅条的临界荷载,以无量纲悬臂长度a/l为横坐标,以无量纲临界荷载为纵坐标,绘出悬臂段及中跨段临界荷载的变化曲线如图4。因此,该结构的临界荷载应为图4中两条曲线的下轮廓线所示变化规律。显然,该临界荷载总图按a/l之值可分为4个区间,第Ⅰ、第Ⅲ区间稳定性由中跨段控制,第Ⅱ、Ⅳ区间由悬臂段控制。此时其无量纲临界荷载为:2.4两端固支梁检验(1)简支梁检验:显然,当a/l=0即(14)式的n=0时,双悬臂梁则转化为两端简支梁,其临界荷载与相应荷载作用时两端简支梁的临界荷载的相对误差为-1.2%(2)两端固支梁检验:对均布荷载双悬臂梁,当n=(a/l)2=1/6时,支座负弯矩为ql2/12,此时端截面转角为零,跨中段则转化为两端固支梁,将此n值代入(14)式,求得的临界荷载与两端固支时的临界荷载误差仅为1.0%。以上分析说明(14)式推导无误。从图4易看出,均布荷载双悬臂栅条的临界荷载随着a/l有上升段和下降段;上升段表明悬臂段负弯矩增强了该结构的稳定性;下降段表明悬臂段负弯矩过大而引起栅条反向屈曲,削弱了该结构的稳定性。2.6均布荷载作用下的临界荷载由上面分析可知,恰当地选择a/l,能有效地提高双悬臂栅条的倾覆稳定性。由图4可以看出:在均布荷载作用下,当a/l=0.452时,无量纲临界荷载最大值为145,其值为现行规范(1)建议值28.3的5倍;这也就是双悬臂式栅条的合理悬臂长度及最大临界荷载。三、组合负荷功能是简化支格的临界负荷3.1最大刚度平面内最大刚度a设作用在梁轴线上的竖向均布荷载为q,集中力为P,而且P及q都作用在最大刚度平面内,跨度为l,坐标系如图5所示,各符号意义同前,当P,q的数值组合满足一定关系时,栅条将发生侧向弯曲和扭转变形,发生倾覆失稳,栅条将丧失平面弯曲的稳定平衡状态。3.2各变量之间的临界荷载公式对于狭窄截面梁的侧向倾覆稳定基本微分方程同(6)式,为计算方便取瑞利商形式如下:其中:θ(x)为侧向扭转角,Z为柔度参数同(7)式。此时M(x)为横截面弯矩,且取侧向扭转角θ(x)同(12)式:将θ(x)及M(x)代入方程式(16)并考虑到M(x),θ(x)均关于跨中对称,作替换,并取a=l/2,则:由式(7)及式(18)即得两端简支栅条在集中力和均布荷载作用下的临界荷载计算公式:为了分析以上临界荷载公式的正确性,取两种特例进行分析,令q=0即只有跨中集中力作用时按(19)计算的临界荷载为:与精确值式(2)相对误差仅为-0.7%。若令P=0即只有均布荷载q作用时按(19)式计算的临界荷载为:在组合荷载作用下,应用规范方法计算时,只有两种处理方法。一种是将集中荷载等值转化为均布荷载;另一种是将均布荷载等值转化集中荷载,然后才能用规范方法求临界荷载,进而判断稳定性。经计算比较,当P=1.2ql时第一种处理使临界荷载偏大30%不安全;第二种处理使临界荷载偏小40%,不经济;不同P、ql取值误差各不相同。四、联合负荷和悬臂式悬臂杆的闭合负荷4.1荷载q作用下的稳定性关于栅条截面尺寸及有关参数同上,在端集中力P及均布荷载q作用下的计算简图如图6,同理当外界荷载P及q增大到一定程度,并满足某种关系时,栅条将发生侧向倾覆失稳,丧失原平面弯曲的稳定平衡状态。4.2悬臂栅条临界荷载同理应用狭窄截面梁侧向倾覆稳定的基本微分方程(6)式及瑞利商(16)式求解其临界荷载,只是这里横截面弯矩为:并假设此时侧向扭转角θ(x)为满足边界条件的如下函数:则将式(20)及(21)代入方程(16)得:因此,悬臂栅条在集中力P及均布荷载q同时作用时,其临界荷载Pcr及qcr满足以下椭圆曲线:4.3集中力p作用时方程的验证同理为分析临界荷载(23)式的精确性,分别取q=0及P=0特例进行验证:当只有集中力P作用时式(23)可化为:与精确值相对误差为:0.8%当只有均布荷载q作用时,式(23)可化为:与精确值相对误差为:-0.2%,由此可见以上公式推导无误。五、在联合负荷的作用下，两条悬臂简支的闭合负荷5.1前、后计算简图。请看,各计算两实际工程中往往有不同的集中力P1或P2及均布荷载q作用在栅条上,若荷载作用方式及栅条截面特性同前,其计算简图如图7所示两种情况,坐标系同前如图所示。当荷载P1或P2、q及悬臂长度a增长到一定程度,满足某种关系曲线时,该双悬臂式栅条结构就会发生侧向扭转及弯曲,该结构的失稳取决于两个相关部分即悬臂段和跨中段,先达到临界状态的那部分就先失稳,该结构的临界荷载就是这两段临界荷载的最小值。5.2横截面上的弯矩栅条的临界荷载只取决于横截面扭转角及各截面上的弯矩分布,因图7(b)悬臂段与图6在支座处横截面的扭转角θ(x)=0;且悬臂段横截面上的弯矩均相同。因此图7(b)悬臂段临界荷载与图6的临界荷载相同。对悬臂段仍可沿有用组合荷载作用悬臂梁的临界荷载公式(23)式计算,即:若令:n=a/l则上式可化为:5.3中距离噪声对中跨段任一截面弯矩为将此式及(25)式代入瑞利商式(16),并考虑结构的对称性得:5.4临界荷载关系曲线若令q=0,n=0,即可求出只有跨中集中力P2作用时简支栅条的临界荷载;若P2=0,n=0,即可求出跨中只有均布荷载的临界荷载;若n=0,即可求出在均布荷载及集中力作用时,简支梁的临界荷载关系曲线;经验算在这各种特殊情况下,(28)式的相对误差绝对值均不超过1%,故以上公式推导正确。5.5以将n为参数的双悬臂式栅条无倾覆失稳的情况显然,在组合荷载作用下,双悬臂式栅条整体稳定性应由悬臂段及中跨段之中的最小值控制。根据以上推得公式(24a)及(28)容易看出:若以P1、P2为纵坐标,以ql为横坐标轴,以n为参数,则式(24a)及(28)均以n为参数的两条椭圆曲线,而实际栅条的临界荷载即为这两条椭圆曲线的下轮郭线。换句话说,当参数已知时,外荷载、落在下轮郭以内时,即该双悬臂式栅条整体结构稳定,不会发生侧向倾覆失稳;否则,该结构失稳。六、栅条临界荷载6.1通过以分析计算给出了拦污栅的四种控制工况时栅条临界荷载的计算方法,克服了现行规范方法不安全或不经济的缺陷。6.2据此方法,可按拦污栅的运用情况及设计荷载确定合理的栅条间距及侧向支承间距,以便清污、减少水头损失及节省钢材。6.3以上四种工况时栅条临界荷载的计算方法,也同样适用于相应荷载及结构形式的工字型截面钢梁。其中θ(x)为横截面侧向扭转角(详见图3)。横截面绕y轴弯矩:借助瑞利商来求第一特征值qcr,则对微分方程(6),可简化为:则瑞利商有如下形式:若取一个满足边界条件(在支承处横截面可绕Z轴及Y轴转动,但不能绕X转动)的比较函数为抛物线,(其精确性将在后文评价)即:则按(11)式得:根据(10