关于梁的弯曲变形计算

关于梁的弯曲变形计算

在各种工程结构和运输机械中，各种轴类零件被广泛应用，其中大部分可以简化为不同形状的等截面梁，从而计算弯曲变形。梁的弯曲变形的计算就是求解其挠曲线近似微分方程,并使其满足梁的边界条件。对于静不定梁和梁的弯矩方程不能用同一个函数来表示的静定梁,用一般的积分法计算弯曲变形是很麻烦的。采用积分变换方法,即利用拉普拉斯变换将挠曲线微分方程化为象函数的代数方程,由象函数代数方程求解象函数,然后由拉氏逆变换就可以得到挠曲线微分方程的解。同时可由文献引入奇异函数,并推导出奇异函数的拉氏变换,能使求解过程进一步简化。1拉普拉斯变换计算等截面梁的弯曲变形时,采用如下形式的挠曲线近似微分方程EIy(4)=q(x)(1)q(x)为作用在梁上的等效载荷集度。由文献引入的奇异函数如下:n≥0时:〈x-a〉n={(x-a)nx≥a0x＜a(2a)⟨x−a⟩n={(x−a)nx≥a0x＜a(2a)n<0时:〈x-a〉n={∞x=a0x≠a(2b)⟨x−a⟩n={∞x=a0x≠a(2b)式中n为整数奇异函数的求导规则:n≥0时ddx〈x-a〉n=n〈x-a〉n-1ddx⟨x−a⟩n=n⟨x−a⟩n−1(3a)n<0时ddx〈x-a〉n=n〈x-a〉n-1ddx⟨x−a⟩n=n⟨x−a⟩n−1(3b)奇异函数的积分规则:n≥0时∫x0〈x-a〉ndx=1n+1〈x-a〉n+1∫x0⟨x−a⟩ndx=1n+1⟨x−a⟩n+1(4a)n<0时∫x0x0〈x-a〉ndx=〈x-a〉n+1(4b)拉普拉斯变换的主要性质为:延迟性质:L[f(x-a)]=e-asL[f(x)](5)L[f(x-a)]为函数f(x)的拉普拉斯变换。微分性质:L[y(n)(x)]=Sny(s)-Sn-1y(0)-Sn-2y′(0)y(n-1)(0)(6)式中,L[y(x)]=y(s),y(s)为函数y(x)的拉普拉斯变换或象函数。积分性质:L[∫x0⋯⋯∫x0f(x)(dx)m]=L[f(x)]Sm(7)[∫x0⋯⋯∫x0f(x)(dx)m]=L[f(x)]Sm(7)幂函数xm(m为正整数)的拉氏变换为:L[xm]=m！Sm+1L[xm]=m！Sm+1(8)由奇异函数的定义及积分规则,可以推导出其拉普拉斯变换公式:n≥0,由式(5)及式(6)得:L[〈x-a〉n]=L[(x-a)n]=easL[xn]=e-asn！Sn+1(9)当n<0时,设n=-m(m>0),则式(4b)可改写为:∫x0〈x-a〉-mdx=〈x-a〉-m+1m>0将上式2边分别积分m次,由奇异函数的积分规则可得:∫x0……∫x0〈x-a〉-m(dx)m+1=〈x-a〉12边取拉普拉斯变换L[∫x0……∫x0〈x-a〉-mdxm+1]=L[〈x-a〉1]由拉普拉斯变换的积分性质式(7),并利用式(9)可得:L[〈x-a〉-m]sm+1=e-ass2上式化简后可得:L[〈x-a〉-m]=e-assn+1(10)计算梁的弯曲变形时,要利用拉普拉斯变换的微分性质式(6)以及拉普拉斯变换公式式(8)～式(10),对挠曲线近似微分方程进行拉普拉斯变换,求得挠曲线y(x)的象函数y(s)后,再用式(8)和式(9)对象函数y(s)进行拉普拉斯逆变换,即可求得梁的挠曲线方程y(x)。作用在梁上的几种常见载荷如图1所示,其集中力、集中力偶、均布载荷的等效载荷集度表达式为:集中力q(x)=-p〈x-a〉-1集中力偶q(x)=-M〈x-a〉-2均布载荷q(x)=-q[〈x-a〉0-〈x-b〉0]载荷方向与图1相反时,相应的q(x)取“+”。2方程方程的解对于不同形式的等截面梁,用奇异函数及其拉普拉斯变换,可方便地由挠曲线微分方程(1)求解挠曲线的表达式y(x)。2.1ei[s1ys-pa-as-pase-2ms图2所示的简支梁,其挠曲线应满足以下微分方程及初值条件:EIy(4)=-p〈x-a〉-1-pa〈x-2a〉-2y(0)=0,y″(0)=0(11)利用式(6)、式(10)和初值条件,将式(11)2边取拉普拉斯变换:EI[s4y(s)-s2y′(0)-yue087(0)]=-pa-as-pase-2as此式可求得挠曲线y(x)的象函数y(s)y(S)=pe-asEΙs4-pae-2asEΙs3+y′(0)s2+y‴(0)s4然后按式(8)、式(9)将象函数取拉普拉斯逆变换得:y=-p〈x-a〉36EΙ-pa〈x-2a〉22EΙ+xy′(0)+x36y‴(0)(12)将梁右端支座的边界条件:y(3a)=0,y″(3a)=0代入式(12),得:y′(0)=8pa29EΙy‴(0)=pEΙ则梁的绕曲线方程为:y=p18EΙ[3〈x-a〉3-3x3+9a〈x-2a〉2+16a2x](13)式(12)中的yue087(0)也可直接由EIyue087(0)=RA=p求得,RA为支座A处的约束反力。2.2梁的绕取线y计算静不定梁的弯曲变形,更能显示该方法的优越性。图3所示为二次静不定梁,绕曲线应满足以下微分方程及初值条件:EIy(4)=-p〈x-a〉-1y(0)=0,y′(0)=0(14)将式(14)2边取拉普拉斯变换,代入初始值,得:EI[s4y(s)-syn(0)-yue087(0)]=-pe-as于是绕取线y(x)的象函数y(s)为:y(s)=-pe-asEΙs4+y″(0)s3+y‴(0)s4将象函数取拉普拉斯逆变换,得:y=-p〈x-a〉36EΙ+x22y″(0)+x36y‴(0)(15)将支座B处的边界条件:y(e)=0,y′(e)=0代入式(15)得:y″(0)=-pab2EΙl2y‴(0)=pb2(3a+b)EΙl3则梁的绕曲线方程y=p6EΙ[〈x-a〉3+3ab2l2x2-(3a+b)b2l3x3](16)由式(16)可得集中力p作用处的挠度yc=pa3b33EΙl32.3连续梁挠曲方程连续梁为静不定梁,运输机械中很多轴类零件均可简化成连续梁。计算连续梁的弯曲变形,只要将中间各支座处的约束反力计入等效载荷集度q(x),即可按前述过程求解挠曲线方程。图4中的连续梁,其挠曲线微分方程和初值条件为:EΙy(4)=-q[1-〈x-0〉0]+RB〈x-l〉-1-ql〈x-53l〉-1y(0)=0y″(0)=0(17)将式(17)两边取拉普拉斯变换得:EΙ[s4y(s)-s2y′(0)-y‴(0)]=-qs+qe-lss+RBe-ls-qle-53ls象函数:y(s)=qEΙs5+qe-lsEΙs5+RBe-lsEΙs4-qle53lsEΙs4+y′(0)s2+y‴(0)s4将上式取拉普拉斯逆变换得:将连续梁支座边界条件:y(l)=0,y(2l)=0,y″(2l)=0代入式(18)得:RB=239216ql‚y′(0)=-49ql32592EΙy‴(0)=157ql432EΙ则连续梁的挠曲线方程y=-q2592EΙ[108x4-108〈x-l〉4-478l〈x-l〉3+432l〈x-53l〉3+49l3x-157lx3]3梁的转角方程利用奇异函数和拉普拉斯变换计算梁的弯曲