制图基础 第2版 课件 戚美 第2章 投影基础

第二章投影基础2.1投影法

2.3直线的投影2.4平面的投影2.2点的投影2.5直线与平面以及两平面间的相对位置2.1投影法一、投影的概念二、投影的分类三、工程上常用的几种投影图光线光源物体地面影子一、投影的概念PS1A投射中心投影投射线投影面a物体光线光源物体地面影子二、投影的分类中心投影法平行投影法投影的分类投影方法中心投影法平行投影法正投影法（直角投影法）斜投影法1.中心投影法：投射线汇交于一点的投影方法S

投射中心abc形体物体的中心投影投射线

投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。缺点：度量性较差中心投影法投影特性:物体位置改变，投影大小也改变2.平行投影法：投射线相互平行的投影方法

（1）斜投影法：投射（线）方向倾斜于投影面abc90°投射线方向（2）正投影法：投射（线）方向垂直于投影面90°投射线方向abc平行投影法斜投影法投影特性投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好机械工程图样多数采用正投影法绘制，今后将正投影简称“投影”。投射线互相平行且垂直于投影面投射线互相平行且倾斜于投影面正（直角）投影法

三、工程上常用的几种投影图

1.多面正投影图

（2）多面正投影图

（3）多面正投影：三视图作图方便，度量性好，多用于施工图2.轴测投影图ZXOYS机械零件—箱体（轴测）齿轮（轴测）轴测图直观性好，立体感强，但是作图繁琐，度量性差，多用于补充图、构思图。3.标高投影图：用正投影法把物体投影到水平投影面上并画出一系列标有数字的等高线以确定物体高度。1520251520251520254.透视投影图：用中心投影法将物体投射在单一投影面上所得到的具有立体感的图形。

透视图是根据中心投影法绘制的，它和人的眼睛实际上看的形象一样，所以图立体感较强。但由于不能真实地度量出物体的大小且作图繁琐，多用于效果图或广告图，在建筑工程上使用。投影方法中心投影法平行投影法正投影法（直角投影法）斜投影法画透视图画斜轴测图画工程图样及正轴测图2.2点的投影2.2.1两投影面体系中点的投影2.2.2三投影面体系中点的投影2.2.3两点的相对位置2.2.4重影点的投影基本内容AbBB11、一个投影面

过空间点A的投射线与投影面H的交点即为点A在H面上的投影。

点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。

投影面体系a2.2点的投影采用多面投影。解决办法？2.两面投影体系ⅠⅡⅢⅣ水平投影面V正立投影面XO投影轴2.2.1两投影面体系中点的投影A一、两投影面体系的建立已知点的两个投影，能唯一地确定该点的空间位置a

a点的水平投影点的正面投影HaXOa

aaxx二、两投影面体系中点的投影及在平面上的表示投影规律：aa

⊥OX轴a水平投影面--H

正立投影面--V侧立投影面

--

W

ZYWOH、V、W三个投影面将空间分成八个分角，图中所示为第一分角。通常把物体放在第一分角中研究。2.2.2三投影面体系中点的投影一、三投影面体系的建立H∩V

----OXV∩W

----OZH∩W----OY

VWZYXO

a

点A的正面投影a点A的水平投影a

点A的侧面投影a

a

aA

空间点用大写字母表示，点的投影用相应的小写字母表示。二、点在三面投影体系中的投影1、点在三面投影体系中的投影标记点A的水平投影—

a

点A的正面投影—

a

点A的侧面投影—

a

Oa

aa

AXa

aa

OZYWYHzxyy注意：点的三个投影分别写在各自的投影区域内。Ha

aa

VWXOZYWYHazayayaxVWZYXOxzy2、三投影面体系中点的投影规律a

aa

Azyxyaxayaza

a

X轴，a

az=aay=XA

反映点A到W面的距离2.aax=a

az=YA

反映点A到V面的距离3.a

a

Z轴，a

ax=a

ay=

ZA

反映点A到H面的距离a(x，y)

a

(x，z)a

(y，z)例1已知点的两个投影，求第三投影。●a

●●a

aaxaz解法一:通过作45°线使a

az=aax解法二:用圆规画弧R=aaxa

●●●a

aax[例题2]已知点A的两面投影，求其第三面投影；已知点B的坐标为(20,15,10)，完成三面投影。20aa’a”1510b’bb”[例题3]已知点A距H面10；距V面15；距W面20，求其三面投影.点B与H、W等距，完成B点的另外两面投影。20bb”1510a’aa”H、W的等分面b’c

e

abdea

e

b

d

(c)

(c)

(b)

(a)

d

W四、特殊点的投影Cc

cc”bBb

b”a

Aaa”c

cc”b

bb”a

aa”点在投影面上：一个投影与本身重合，另两投影落在投影轴上－一个坐标为零。点在投影轴上：两个投影与本身重合，另一投影落在原点处－两个坐标为零。2.2.3两点的相对位置两点中x值大的点

——

在左两点中y值大的点——

在前两点中z值大的点——

在上a

a

ab

b

bBA△x△y△za

a

a985[例题3]已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求点A的投影。3.2.4重影点的投影cd

(c

)dCDa(b)a

b

AB作业：P5A(20,30,40)B(40,20,10)C(10,20,30)D(30,10,30)E(10,20,10)F(10,20,30)结束2.3.1直线的投影2.3直线的投影2.3.2直线对投影面的相对位置2.3.5直角投影定理2.3.3属于直线上的点2.3.4两直线的相对位置

基本内容直线的投影作图a’aa”XYHYWZObb’b”连接两点的同面投影即得直线的投影

BA●●●●ab直线垂直于投影面

投影重合为一点积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长

ab=AB

直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影不反映线段实长

ab=AB*cos

●●AB●●ab

AB●a(b)●●M●(m)结论：直线的投影由直线的位置决定，投影一般为线，特殊情况下为点1、直线对一个投影面的投影特性2.3.1直线的投影特性一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线

其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。直线对投影面的相对位置有三种情况:一般位置直线，投影面平行线，投影面垂直线。2.直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线

平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）水平线（平行于Ｈ面)侧平线（平行于W面）正垂线（垂直于Ｖ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）统称特殊位置直线垂直于某一投影面与其余两投影面平行2.直线在三个投影面中的投影特性VWHYXZBA（一）一般位置直线ABba

b

b

aa

ZXa

b

aOYYa

bb

投影特性：1.三投影均倾斜于投影轴－图形特性

2.三投影均小于实长，且不反映

、

、

实角－度量特性

一般位置直线的投影与H面的夹角α；与V面的角β；与W面的夹角γVWHYXZ侧平线水平线正平线（二）投影面平行线(1)水平线——平行于水平投影面的直线(Z相等）aa

b

a

bb

Xa

b

a

b

baOzYHYW

AB投影特性：1．a

b

⊥OZ轴;a

b

⊥OZ轴,ab与轴倾斜－图形特性

2．ab=AB,a

b

<AB,a

b

<AB－度量特性

3．水平投影反映

、

角的真实大小－度量特性AB实长AB实长

（2）正平线——平行于正立投影面的直线（Y相等）aa

b

a

b

b

Xa

b

a

b

baOZYHYWAB

投影特性：1．ab

⊥OYH轴;a

b⊥OYW轴,a

b

与投影轴倾斜

2．a

b

=AB,a

b<AB,a

b

<AB3．正面投影反映

、

角的真实大小AB实长AB实长

（3）侧平线——平行于侧立投影面的直线（X相等）aa

b

a

b

b

AB投影特性：1．a

b

⊥OX轴

;ab⊥OX轴

2．a

b

=AB与投影轴倾斜

3．侧面投影反映

、

角的真实大小XZa

b

b

baOYHYWa

AB实长

AB实长总结:投影面平行线的投影特性一斜二平，斜为实长，反映倾角。

在所平行的投影面上的投影反映实长；并反映直线与另两投影面倾角。其它两投影平行于相应的投影轴，且小于实长。

正平线水平线一般线侧平线(3)垂直面和一般面的投影具有类似性VWHYXZ铅垂线AB⊥H正垂线AC⊥V侧垂线AD⊥WCDBA（三）投影面垂直线b

a(b)a

a

b

Zb

Xa

b

a(b)OYHYWa

投影特性：1．ab

积聚成一点－图形特性

2．a

b

OX;a

b

OYW

－图形特性

3．a

b

=a

b

=AB－度量特性（1）铅垂线—垂直于水平投影面的直线（X,Y相等）ABAB实长AB实长（2）正垂线—垂直于正立投影面的直线（X,Z相等）ba

b

a

b

a投影特性：1．a

b

积聚成一点

2．ab

OX;a

b

OZ

3．ab=a

b

=ABABzXa

b

b

aOYHYWa

bAB实长AB实长（3）侧垂线—垂直于侧立投影面的直线（Y,Z相等）投影特性：1．a

b

积聚成一点

2．

ab

OYH;a

b

OZ

3．ab=a

b

=ABABba

a

b

ab

ZXa

b

b

aOYHYWa

bAB实长AB实长总结：投影面垂直线的投影特性

在所垂直的投影面上的投影积聚为一点；其它两投影垂直于相应的投影轴，并反映实长。一点两线，线垂直于轴，等于实长。（1）垂直线的投影具有实长性和积聚性正垂线的投影侧垂线的投影铅垂线的投影题目讨论：如何判断直线与投影面关系投影面平行线：有一个倾斜于投影轴，两个平行于投影轴的投影投影面垂直线：有一个投影积聚成一点一般位置直线：有两个不平行于投影轴的投影例题：判断下列直线的位置水平线正平线侧平线侧垂线铅垂线一般位置直线三、一般位置线段的投影与实长、夹角的关系

在特殊位置直线的投影中，能得到该直线段的实长以及与投影面的夹角的实际大小，而在一般位置直线的投影中，则不能。如果在投影、倾角与实长三者之间建立起直角三角形关系，则为直线段倾角与实长的图解提供了理论依据。可利用直角三角形法求其实长和倾角。一般位置线段的实长及其与投影面的夹角αβγ△x△y△z1．求直线的实长及对水平投影面的夹角

角

△z

ABab△z

AB△zab

△zAB2．求直线的实长及对正面投影面的夹角

角△y

a

Xab

bAB

a

b

△ya

b

AB

△yAB

△y

3．求直线的实长及对侧面投影面的夹角

角ABbb

a

b

aa

△x△x

例1：已知线段的实长AB，求它的水平投影。a|zA-zB|

abABab|zA-zB|[例题2]已知如图，且知线段的β=30°，求它的水平投影。a’b’aβ△yAB△y△yb1b2例题1.2△zαabABb1b2aa’b’[例题3]已知如图，且知线段的α=30°，求它的水平投影。例题1.3直线上的点具有两个投影特性：

1．从属性

——若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。

2．定比性

——属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即AC:

CB=ac:

cb=a

c

:

c

b

=a

c

:

c

b

利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，判断已知点是否在直线上。2.3.4属于直线的点例1判断点K是否在线段AB上。因k

不在a

b

上，故点K不在AB上。a

b

●k

abka

b

k

●●另一判断法?VXOk

b

bABaa

kKcc

[例题2]已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段，求分点C的投影c、c

。[例题3]已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。cc

cabcab一、平行两直线二、相交两直线

三、交叉两直线四、交叉两直线的重影点投影及可见性判断

2.3.5两直线的相对位置一、平行两直线的投影特性1．若空间两直线相互平行，则它们的同面投影必然相互平行。反之，如果两直线的各个同面投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。b

aa

d

bbcc

Xb

a

abdc

d

c例：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两组同面投影互相平行，空间两直线就平行。AB与CD平行。AB与CD不平行。

对于特殊位置直线，只有两组同面投影互相平行，空间直线不一定平行,要根据第三投影判断。a

b

c

d

b

d

c

a

dO(1)abcc

a

b

d

XZYHYWZcbadd

b

a

c

(2)XOYHYW二、相交两直线

的投影特性

当两直线相交时，它们在各投影面上的同名投影也必然相交，且交点符合点的投影规律。反之，如果两直线的同面投影都相交,且交点符合点的投影规律,则此两直线在空间一定相交。b

Xa

abk

c

d

dck三、交叉两直线的投影特性

凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。b

Xa

abc

d

dc11

(2

)2d

b

a

abcdc

投影特性：★同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。为什么？两直线相交吗？1

(2

)3(4

)●●3

4

●●12●●[例题6]判断两直线的相对位置d

a

c

b

oYWYHz结论:交叉两直线[例题7]

判断两直线的相对位置1

1

d

c

1

结论:交叉两直线1例8：判断两直线的相对位置（平行、相交、交叉）（平行）（交叉）（相交）（交叉）（相交）（相交）2.3.6直角投影定理相交垂直及交叉垂直的两直线的投影定理一相交垂直及交叉垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。一、垂直相交的两直线的投影AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab

accXb

a

c

baAB垂直于MN,且AB平行于H面,则有ab

mn二、交叉垂直的两直线的投影2.3.6直角投影定理定理二：

两直线在某一投影面上的投影为直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线垂直。

例8：判断两直线是否垂直（相交垂直、交叉垂直）（否）（相交垂直）（否）（交叉垂直）（相交垂直）（否）d

abca

b

c

●●d例：过C点作直线与AB垂直相交。AB为正平线,正面投影反映直角。.f[例题10]过点E作线段EF垂直于AB、CD。e

ef

b

[例题11]作三角形ABC，

ABC为直角，使BC在MN上，且BC

AB

=2

3。bcABa

b

|yA-yB|b

c

=BCc

a

ab例14.完成等腰直角三角形ABC的两面投影。已知AC为斜边，顶点B在直线NC上。b'a'ABC结束3.4平面的投影3.4.1平面的表示法3.4.2各种位置平面的投影特性3.4.3属于平面的点和直线

基本内容3.4.1平面的表示法——用几何元素表示平面b

a

ac

bc不共线的三点b

a

ac

bc一直线和线外一点b

a

ac

bc相交两直线a

ab

c

bc任意平面图形a

b

c

abcd

d平行两直线用迹线表示平面平面与投影面的交线称为平面的迹线PPVPHPVPHQVQHQHQVQ二、各种位置平面的投影特性平行垂直倾斜实形性积聚性类似性投影特性★平面平行投影面-----投影就把实形现★

平面垂直投影面-----投影积聚成直线

★平面倾斜投影面-----投影类似原平面实形性类似性积聚性平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜

正垂面(⊥

V)

铅垂面(⊥

H)

侧垂面(⊥

W)

正平面(∥V)

水平面(∥H)

侧平面(∥W)3.4.2各种位置平面的投影特性（一）一般位置平面a"b"c"ca'b'baa"a'b'b"c'c"bacABC投影特性：三投影均具有类似性，且不反映

、

、

的真实角度。

投影图上的一个封闭图形通常表示空间一个面的投影侧垂面VWHYXZ正垂面铅垂面（二）投影面垂直面PPH1．铅垂面投影特性：

（1）水平投影积聚为斜直线，另外两投影具有类似性；图形特性

（2）水平投影反映

、

角的真实大小。度量特性ABCacba'b'a"b"ba

b"cc"c'铅垂面迹线表示法:对特殊位置平面不画无积聚性的迹线，用两段短的粗实线表示有积聚性的迹线的位置，中间用细实线相连，并标上相应的符号。

PHPPHQQV2．正垂面Ac

Ca

b

Bb"

a'b'a"bac"c'c投影特性：

(1)正面投影积聚为斜直线，另外两投影具有类似性；图形特性

(2)正面投影反映α、角的真实大小。度量特性正垂面的迹线表示法QQVαγQVSWS3．侧垂面Ca"b"ABc"b"β

a'b'a"bac"c'c投影特性：

(1)侧面投影积聚为斜直线，另外两投影具有类似性；图形特性

(2)侧面投影反映α、β角的真实大小。度量特性侧垂面的迹线表示法VWSwSZXOYSwYαβ投影面垂直面的投影特性

在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。

另外两个投影面上的投影有类似性。一线两形，不反映实形正垂面铅垂面一般面侧垂面(3)垂直面和一般面的投影具有类似性XYZHVW侧平面正平面水平面（三）投影面平行面1．水平面CABa"b"c'baca'b'c"ca

b'b"baa"c

c"投影特性：

(1)正面投影和侧面投影积聚为直线，且⊥OZ轴；

(2)水平投影反映

ABC实形。水平面上的点Z坐标相等2．正平面－Y坐标相等c"a"b"b'a'c'bcab'a'c'a"b"c"bcaCBA投影特性：

(1)水平投影和侧面投影积聚为直线，且⊥OY轴；

(2)正面投影反映

ABC实形。3．侧平面－X坐标相等a'b'b"ba"c'c"cab"c'baca'b'c"CABa"投影特性：

(1)正面投影和水平投影积聚为直线，且⊥OX轴；

(2)侧面投影反映

ABC实形。投影面平行面的投影特性在它所平行的投影面上的投影反映实形。

另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。两线一形，反映实形，线平行于轴。（2）平行面的投影具有实形性和积聚性正平面的投影侧平面的投影水平面的投影题目a

c

b

c

a

●abcb

例：正垂面ABC与H面的夹角为50°，已知其水平投影及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面投影。50°ZXOYHYW3.4.3平面内的点和直线一、属于一般位置平面的点和直线二、属于特殊位置平面的点和直线三、属于平面的投影面平行线利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：

●判别已知点、线是否属于已知平面；

●完成已知平面上的点和直线的投影；●完成多边形的投影。一、一般位置平面上取点和直线

点在平面上的几何条件（必要条件）：点在平面内的某一直线上。即点在平面内的某一直线上则必在此平面上。EDd'de'e

先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。

面上取点的方法：d

d通过在面内作辅助线求解首先面上取线k●abca

b

c

X●k

平面上取点：直线在平面上的几何条件（必要条件）：

①通过平面上的两点；或②通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。EDFd'de'eff'在平面上取线[例题1]

试判断点D是否属于

ABC平面。d'dee'否例2

已知ABCD给定一平面，试判断点M是否属于该平面。t'sa'b'c'd'm'abcdmts'答案：否[例题1]

已知点D、E两点在

ABC上，试求其另一投影。[例题2]

试完成四边形ABCD的水平投影。bab

a

eff

e

二、特殊位置平面上取点和直线P属于平面的水平线和正平线PVPH平面上投影面平行线—既在平面上又平行于投影面的直线。平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所属平面保持从属关系。在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投影面平行线。

三、属于平面的投影面平行线例1：在平面ABC内作一条水平线，使其到

H面的距离为10mm。n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！有多少解？[例题2]

已知点E

在

ABC平面上，且点E距离V面10，距离H面15，试求点E的投影。mnm'n'rsr's'1015e'ebckada

d

b

c

k

b[例题3]已知AC为正平线，补全平行四边形

ABCD的水平投影。解法一：解法二：cada

d

b

c

XX基本要求1、掌握平面的几何元素表示法和特殊位置平面的迹线表示法；2、熟练掌握各种位置平面的投影特性及作图方法；3、掌握平面上取点和直线的几何条件和作图方法；4、掌握平面内投影面的平行线的投影特性和作图方法；作业：P7[例题2]

已知

ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。m

n'nm结束2.5直线与平面及两平面的相对位置2.5.1直线与平面及两平面平行2.5.2直线与平面及两平面相交

基本内容2.5.3直线与平面及两平面垂直一、平行问题

直线与平面平行

平面与平面平行１.直线与平面平行ABPmn几何条件:

若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面平行。反之，若直线与平面平行，则在平面内必可以找到一条直线与已知直线平行。

直线与平面及两平面的相对位置包括：平行、相交和垂直。直线与平面平行作图问题判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。ac

b

abcmm

n

n无数解！例2：试过点D作水平线DE平行于ΔABC平面a

de

d

f

c

b

ecfba结论：直线AB不平行于定平面f

gd

g

e

defab

ba

例3：判别直线AB是否平行于平面DEF。直线与特殊位置平面平行

当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直线的同面投影平行，则直线和平面平行。或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面必定平行。（直线与平面的同面投影都具有积聚性，则直线和平面平行。）２.两平面平行PQBCAFED几何条件：若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。两平面平行的作图问题

判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的投影。例4:试判断两平面是否平行m

n

mnr

rss

结论：两平面平行ab

d

f

e

dbefa

cc

例5:已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rk

kab

ba

cdd

c

若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。反之，也成立。abcdefghABDCEFHGabcdefgha

d

f

g

h

e

c

b

两特殊位置平面平行c

f

b

d

e

a

abcdefXf

g

abcdefga

b

c

d

e

X两特殊位置平面平行两一般位置平面平行ABKPMFKNL直线与平面相交——其交点是两者的共有点平面与平面相交——其交线是两者的共有线要讨论的问题：求交点、交线并判别可见性。二、相交问题由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。(1)一般位置直线与特殊位置平面相交

——求交点并判别可见性利用平面具有积聚性的投影，可直接判别可见性b

ba

acc

m

mnn

kk

a'n'm'c'b'nabcm思考1:

一般位置直线与正垂面相交()k21k'2'1'(2)特殊位置直线与一般位置平面相交

——求交点并判别可见性利用重影点判断可见性1

(2

)a

Ab

KkabBⅠk

Ⅱff

e

c

FCEed思考题2:

求正垂线与一般位置平面相交的交点a'm'n'c'b'abnmcnlmm

l

n

bacc

a

b

fkf

k

MmnlPBCacbPHAFK