北师大版选择性32第1课时从平面向量到空间向量空间向量的线性运算课件（24张）

第1课时从平面向量到空间向量、

空间向量的线性运算第三章内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑自主预习新知导学一、空间向量1.空间向量的有关概念(1)定义:与平面向量类似,在空间中,我们把具有

大小

和

方向

的量叫作空间向量.(2)长度:向量的大小叫作向量的长度或模.(3)表示法(4)自由向量:数学中所研究的向量,与向量的起点无关,称为自由向量.(5)特殊向量:表3-2-1名称定义及表示共线向量当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时,称这两个向量互为共线向量(或平行向量).相等向量和相反向量都是共线向量的特殊情况.向量a、向量b、向量c互为共线向量,记作a∥b,a∥c,b∥c.规定:零向量与任意向量平行共面向量通常,我们把平行于同一平面的向量,叫作共面向量.共线向量是共面向量的一种特例2.在长方体ABCD-A'B'C'D'的棱所在的向量中,与向量

的模相等的向量至少有(

).A.0个 B.3个 C.7个 D.9个答案:C二、空间向量的加减法上述求两个空间向量和的法则,叫作向量求和的三角形法则.图3-2-1(2)向量求和的平行四边形法则:图3-2-2(3)与平面向量的加法满足的运算律类似,空间向量的加法也满足如下的运算律:①交换律

a+b=b+a;②结合律

(a+b)+c=a+(b+c).(4)空间向量的减法:与平面向量类似,空间向量a与b的差也可定义为a+(-b),记作

a-b,其中-b是b的相反向量.答案:0三、空间向量的数乘运算1.空间向量的数乘运算(1)定义:与平面向量类似,实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个

向量

,记作λa.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算.(2)向量λa的长度和方向满足:①|λa|=|λ||a|;②当λ>0时,向量λa与向量a方向

相同

;当λ<0时,向量λa与向量a方向

相反

;当λ=0时,λa=0.对于任意一个非零向量a,当

表示与向量a同方向的单位向量.(3)空间向量的数乘运算满足如下的结合律和分配律:①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb.其中λ∈R,μ∈R.(4)定理:空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ,使得a=λb.通常把这个定理称为共线向量基本定理.(也称“一维向量基本定理”)2.若非零空间向量e1,e2不共线,则使向量2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线的实数k的值为

.

解析:由题意知,2ke1-e2≠0,且e1+2(k+1)e2≠0.若向量2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线,则存在实数λ,使得2ke1-e2=λ[e1+2(k+1)e2]成立.∵非零空间向量e1,e2不共线.合作探究释疑解惑探究一向量的有关概念【例1】

给出下列命题:①若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有;④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;⑤空间中任意两个模为1的向量必相等.其中正确的个数为(

).A.4 B.3 C.2 D.1解析:当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等时,不一定满足起点相同,终点也相同,故①错误;根据相等向量的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量a与b的方向不一定相同,故②错误;根据正方体的性质,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量

的方向相同,模也相等,所以

,故③正确;命题④显然正确;空间中任意两个模为1的向量长度相等,但方向不一定相同,故⑤错误.答案:C空间向量概念问题的注意点(1)空间向量的概念与平面向量的概念相类似,平面向量的其他相关概念,如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.(2)在空间向量中,平行向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致,两个向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等;两个向量互为相反向量的充要条件是这两个向量的模相等、方向相反.探究二向量的线性运算图3-2-3解决空间向量线性运算问题的方法进行向量的线性运算,实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和,即通过作出向量,运用平行四边形法则或三角形法则求和.运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中.探究三向量共线【例3】

如图3-2-4,点E,F,G,H分别是空间四