粘弹性偏心梁的复模态解耦解耦

粘弹性偏心梁的复模态解耦解耦

当梁截面有两个对称轴时，截面的切割中心与形状中心重叠，梁的弯曲运动和旋转运动相互独立。然而对于许多工程应用中的梁结构,横截面只有一个或没有对称轴,剪切中心和形心不重合,弯曲运动和扭转运动之间存在耦合。在这种情况下,即使对于线弹性结构,也不能单纯使用弯曲运动和扭转运动的叠加来计算梁的动力响应。近些年许多学者研究了弯扭耦合梁的自由振动和阻尼作用下动力响应问题,但大多数研究仅考虑简单阻尼并使用实模态法进行求解,到目前为止还没有关于使用复模态法求解粘弹性偏心梁弯扭耦合问题的报道。粘弹性材料在工业界有着广泛的用途,因此粘弹性系统的振动问题日益受到重视。粘弹性系统的自由振动和简谐受迫振动通常利用待定系数法进行分析,但该方法应用于任意激励的响应有一定的困难。模态分析法是处理振动问题的一种有效方法。实模态法的应用受到阻尼可正交化条件的局限,而复模态法可以求解一般性阻尼问题,因而复模态法可有效用于解决粘弹性系统的振动问题。复模态法在有阻尼离散系统和连续系统振动问题中应用已较广泛,但在连续系统弯扭耦合振动问题中的应用还较少。本文使用Kelvin-Voigt模型表示材料的粘弹性性质,对横截面只有一个对称轴的单向偏心粘弹性梁建立运动方程,利用复模态的正交性进行解耦,求解结构在外部激励下的一般动力响应表达式。通过跟踪边界条件行列式零点的方法求解了结构复频率和复模态。通过算例分析了阻尼和弯扭耦合作用对复频率、复模态和外部激励的动力响应等方面的影响。1状态方程形式图1所示薄壁梁结构截面只有一个对称轴,点s和点c分别为横截面的剪切中心和形心,两者之间的距离为xc。设轴向坐标y与梁的弹性轴(经过梁每个横截面的剪切中心)重合,x轴与对称轴重合。EIx和GJ分别是z方向侧向弯曲刚度和绕y轴的扭转刚度,μ是单位长度梁的质量,Is是单位长度梁绕y轴的极质量惯性矩。剪切中心在z方向的弯曲位移是v(y,t),绕y轴的扭转位移是ψ(y,t)。考虑粘弹性阻尼影响,设应力应变满足Kelvin-Voigt关系σ=Eε+Cε˙ετ=Gγ+Cγ˙γ(1)σ=Eε+Cεε˙τ=Gγ+Cγγ˙(1)式中σ、τ分别为正应力和剪应力;ε、γ分别为正应变和剪应变;Cε、Cγ分别为与正应变和剪应变相关的阻尼系数。上标圆点表示对时间t的微分。采用伯努利-欧拉梁模型,由Hamilton原理推导出粘弹性偏心梁单向弯扭耦合运动方程为EΙzu˝″+CεΙz˙u˝″+μ¨u-μxc¨ψ=f(y,t)-GJψ″-CγJ˙ψ″+ΙS¨ψ-μxc¨u=Τ(y,t)(2)式中上标撇号表示对坐标y的微分。为化简运动方程方程,令C1=CεIz∂4/∂y4,C2=CγJ∂2/∂y2,K1=EIz∂4/∂y4,K2=GJ∂2/∂y2(3)为将弯扭耦合运动方程转化为状态方程形式,补充两个恒等式μ˙u-μ˙u-μxc˙ψ+μxx˙ψ=0-μxc˙u+μxc˙u+ΙS˙ψ-Ιs˙ψ=0(4)由此,状态方程形式的运动方程为A˙z+Bz=F(5)其中F={f0Τ0}Τz={u˙uψ˙ψ}ΤA=[C1μ0-μxcμ0-μxc00-μxc-C2ΙS-μxc0ΙS0]B=[Κ10000-μ0μxc00-Κ200μxc0-ΙS]状态方程的A、B两矩阵中包含了K1、-K2、C1和-C2四个微分因子。在适当边界条件下(固支、简支、自由),利用分部积分可以证明其均为自伴随因子,A、B两个矩阵对称,具有如下性质∫L0zT1Az2dy=∫L0zT2Az1dy∫L0zT1Bz2dy=∫L0zT2Bz1dy(6)设方程(5)的齐次解为z(y,t)=ϕ(y)eλt,得到特征方程λAϕ+Bϕ=0(7)求解特征方程(7)可得特征值λn和特征向量ϕn(y),由于A、B两矩阵元素均为实数,所以小阻尼情况下特征值λn和特征向量ϕn(y)为共轭成对复数,其表达式如下λn=-δn+jωn(8)ϕn(y)=ϕRn(y)+jϕIn(y)(9)其中j=√-1‚δn、ωn为实数,δn是粘弹性梁的衰减系数,ωn为振动频率。利用特征方程(7)和A、B两矩阵的对称性(6),可以证明得到特征向量关于A和B两矩阵的加权正交关系∫L0ϕΤmAϕndy={anm=n0m≠n(10)∫L0ϕΤmBϕndy={bnm=n0m≠n(11)其中由特征方程(7)可以得到an和bn关系为λnan+bn=0(12)利用状态空间特征向量对A和B两矩阵的加权正交关系,可对运动方程进行解耦,转化为常微分方程组。由于特征向量为复数,所以称为复模态法。把状态空间向量z对复模态进行展开z(y,t)=∞∑n=1ϕn(y)qn(t)(13)把式(13)代入式(5),所得方程等号两边同时乘以ϕn(y),然后沿梁轴向方向上进行积分,利用复模态正交关系(10)、(11)可以导出˙qn(t)-λnqn(t)=1anfn(t)(n=1,2,⋯,∞)(14)其中fn(t)=∫L0ϕTn(y)F(y,t)dy。式(14)是一阶线性非齐次微分方程,给定初始条件qn(0),方程的解为qn(t)=qn(0)eλnt+∫t0fn(τ)eλn(t-τ)dτ(15)将式(15)代入复模态展开式(13)即可得到粘弹性梁弯扭耦合动力响应。2悬臂梁边界条件对粘弹性连续系统使用Wittrick-Williams方法,跟踪边界条件行列式零点,求解复频率和关于位移的复模态。设u(y,t)=U(y)eλt,ψ(y,t)=Ψ(y)eλt,代入式(2)得到{EΙzU″″+λCεΙzU″″+λ2μU-λ2μxcΨ=0-GJΨ″-λCγJΨ″+λ2ΙSψ-λ2μxcU=0(16)式(16)中两个方程可消去U或Ψ,转化为一个六阶微分方程{-(η1+1)(η3+1)D6+(η1+1)η4D4-(η3+1)η2D2+cη2η4}W=0(17)其中W=U或Ψ,D=d/dξ,ξ=y/L,η1=Cελ/E,η2=mλ2L4/EIz,η3=Cγλ/G,η4=ISλ2L2/GJ,c=1-mxc/IS设微分方程(17)的通解为W=erξ,代入式(17)得到其特征方程-(η1+1)(η3+1)r6+(η1+1)η4r4-(η3+1)η2r2+cη2η4=0(18)求解方程(18)得到r的六个复数根:r1,r2,…,r6。则弯曲位移U和扭转位移Ψ通解为U(ξ)=6∑i=1αieriξΨ(ξ)=6∑i=1βieriξ(19)其中系数αi、βi(i=1,…,6)之间并不相互独立,把式(19)代入式(16)可得βi=r4i+η1r4i+η2η2xcαi=γiαi(i=1,⋯,6)(20)悬臂梁边界条件为:U(0)=U′(0)=Ψ(0)=U″(1)=U‴(1)=Ψ′(1)=0,把式(19)代入边界条件可以得到频率特征方程[∏]6×6{α}6×1=0(21)当边界条件矩阵[∏]6×6行列式为零时,{α}6×1才有非零解。该方程显然为一超越方程,它含有无限个振动频率和对应的振型。本文用行列式搜索法求解出复频率λn,代入到频率特征方程可以很容易地求得相应的振型。3弹性阻尼和偏心弯扭耦合作用下动力响应问题本文对如图2所示悬臂梁,考虑其自由端受简谐集中力Psin(ωt)作用,计算粘弹性阻尼和偏心弯扭耦合作用下动力响应问题。结构参数如下EIz=2.096×10-1N·m2,GJ=3.028×10-1N·m2m=0.2kg·m-1,L=0.432m,IS=4.838×10-5kg·mxc=1.693×10-3m3.1复频率方面特征首先对无阻尼和粘弹性阻尼两种情况,分别求解弯扭耦合振动频率和复频率,同时与不考虑偏心作用单纯弯曲振动和扭转振动进行对比。粘弹性阻尼参数为:Cε=0.01E、Cγ=0.001G。由表1可知,无阻尼情况下,弯扭耦合振动频率基本上等于单纯弯曲和单纯扭转振动频率的叠加。第1、2、4、5阶弯扭耦合振动频率靠近单纯弯曲振动频率,而第3、6阶弯扭耦合振动频率靠近单纯扭转振动频率。在粘弹性阻尼作用下,随振型阶数的增加,复频率中(不含共轭)衰减系数δ不断增大,振动频率ω不断减小,同时与无阻尼情况之间的差值逐步加大。与有限元方法计算结果对比,验证了本文方法结果准确性。由于复模态为复数,为方便直观对比,取复模态的绝对值同时引入实部正负号。同时由于弯曲与扭转振型之间相差较大,所以弯扭耦合振型中扭转分量乘以偏心距离xc。图中线1、线2分别是弯扭耦合振型中弯曲分量、扭转分量。如图3所示,第1、2、4、5阶弯扭耦合振幅中弯曲起主导性作用,第3、6阶弯扭耦合振型中弯曲部分和扭转部分大小相近,弯扭耦合作用明显。由图4考察粘弹性梁弯扭耦合振动复模态中弯曲和扭转分量的幅角,可以看出同一阶模态中弯曲分量在沿梁长度方向上各点幅角相同或者相差180度,模态中扭转分量也有同样性质。同时,弯曲分量和扭转分量之间,在第1、2、4和5大部分位置上相差180度,在第3和6阶大部分位置相差0度。综合复频率、复模态幅值和幅角三方面特征可以看出:弯扭耦合振动频率分布大体上等于单纯弯曲和扭转频率的叠加;在弯曲振动起主导作用的情况下,结构在扭转自振频率附近的弯扭耦合作用明显,同时弯扭耦合复振型中弯曲和扭转分量的幅角大体上相差0度,保持同步。3.2种驱动频率对弯扭耦合作用的影响本文在悬臂梁自由端施加简谐集中力Psin(ωt),集中力通过梁横截面剪切中心。分析其驱动频率ω接近第1、3阶弯扭耦合振动频率时动力响应特性。第一种情况,驱动频率ω=19(Rad/s),接近第一阶单纯弯曲频率,振型以弯曲分量占主导,弯扭耦合作用不明显。由图5,6可知弯曲位移响应起主导作用,同时弯曲和扭转位移响应反相。第二种情况,驱动频率ω=290(Rad/s),接近第三阶弯扭耦合频率(第一阶单纯扭转频率),弯扭耦合作用明显。由图7,8可知弯曲位移较小,扭转作用明显,同时弯曲和扭转位移响应同相。计算表明,虽然施加的集中力通过剪切中心,当作用力为静力时不会引起扭转位移;但在进行动力响应分析时,由于结构剪切中心和质心的偏移引起的弯扭耦合作用,使得扭转位移也参与动力响应。4弯扭耦合作用本文针对粘弹性梁弯扭耦合振动问题使用复模态