简支梁在移动荷载下的振动分析

简支梁在移动荷载下的振动分析

共振条件及振动影响随着列车速度的提高，列车负荷的动力问题越来越受到重视。其中列车过桥时引发的共振现象一直是国内外相关学者关注的重点,人们对这个问题进行了较为深入系统的研究,取得了很多有意义的成果[1~6]。单个移动荷载过桥时可以分为两个阶段:荷载在桥上的强迫振动时期以及出桥后的自由振动时期。当荷载的加载频率等于桥梁的某阶自振频率时,则可能引起强迫振动期间的共振,文献称其为第二种共振条件。对于由多个轴重组成的移动列车荷载列,如果轴重间的时间差等于简支梁某阶振型的自振周期或其整数倍时,桥梁也将出现较大响应,文献称其为第一种共振条件。第一种共振是由于荷载的周期性加载产生的:轴重引起的桥梁自由振动互相叠加,响应随着通过桥梁的轴重数增加而不断累积增大。这种由于自由振动叠加引起的共振现象较强迫振动期间的共振更为不利。Pesterev等发现:单个荷载以不同的速度通过简支梁时,上述自由振动的幅值也将改变,并出现一系列的零值点。这可用来解释Savin和Yang等提出的消振现象,即当单个荷载以消振速度通过简支梁时,其过桥后残留在桥梁的自由振动为零。消振发生时桥梁的振动响应相对较小,并将抑制自由振动的累积,有利于行车安全和桥梁服役,因此研究这一问题同样具有重要的积极意义。本文从单个荷载过桥后桥梁的自由振动出发,对简支梁在单个移动力、等间距移动荷载列及列车荷载作用下的振动进行了理论分析。通过分析桥梁振动响应的解析解,推导出了任一模态下简支梁共振及两类不同消振效应的发生条件。此外,研究了消振对共振的影响,得到了共振消失现象的发生条件,并结合数值计算阐明了共振与消振效应的发生机理和此时桥梁的响应特点。1钢支架梁在移动荷载下的振动响应参数1.1桥上荷载时简支梁振动跨度为L的简支梁在单个匀速集中力P作用下的分析模型如图1所示,忽略阻尼作用,其运动方程为桥梁在集中力P通过时,将经历强迫振动与自由振动两个阶段。采用振型分解法求解式(1),桥梁位移可写成。当荷载位于桥上时(0≤t≤L/V),简支梁的强迫振动响应为式中,为简支梁第n阶圆频率;表示荷载对桥梁第n阶振型的激励圆频率;,这里假设βn≠1,当βn=1时为第二种竖向共振条件,在此不予重点讨论。当荷载出桥后(t>L/V),简支梁处于自由振动状态,此时桥梁的振动响应为式中yn(x,L/V)和可由式(2)在t=L/V处的取值得到。将它们代入上式,得到移动集中力离开简支梁后桥梁的自由振动,为对上式进行三角函数和差化积变换后可得从上式可看出,单个移动荷载离开简支梁后的自由振动解表现为正弦波(奇数阶振型)或余弦波(偶数阶振型)的形式。1.2,哌nt个荷载入桥的时间及振动响应考虑由Nt个相距为d、大小为P的集中力组成的移动荷载列通过简支梁的情况,如图2所示。假设第一个集中力进入桥梁时为初始零时刻,则第k(k=1,2,3,…Nt)个荷载入桥的时间可表示为tk=(k-1)d/V。此时,桥梁的运动微分方程为考虑前N-1个集中力已经离开桥梁,仅第N个集中力(N=1,2,3,…,Nt)在桥上时的情况。此时简支梁的振动响应可分解为两部分:由第N个集中力所引起的桥梁振动(包括稳态反应和瞬态反应)和已经离开桥梁的前N-1个力所残余的自由振动,其表达式可分别由式(2)以及对式(5)进行求和运算得到。这样,桥梁的振动响应可表示成(βn≠1)1.3移动集中力列车对桥梁的作用可简化为一系列移动轴重荷载。荷载间存在如下几种排列间距:车辆全长Lv、转向架中心距Lc、轮对的固定轴距Lw。将每节车的轴重荷载用4个集中力P表示,并按照各轮对的实际位置布置。这样,一辆由Nv节车组成的列车可简化为4Nv个集中力组成的移动荷载列。按列车行进方向编号为Pkj(k=1,2,3,…,Nv;j=1,2,3,4),下标k表示轮对所在的车厢数,j表示轮对在车厢所处的位置。由此列车荷载简化为4组等间距的移动集中力系列,分别为Pk1,Pk2,Pk3和Pk4,同一组内移动集中力之间相距Lv。如图3所示。各组集中力Pk2,Pk3,Pk4与Pk1之间存在时间差,第j组中第k个移动集中力进入桥梁的时间tkj可通过下式确定此处令tk=(k-1)Lv/V,k=1,2,3,…,Nv。此时,简支梁运动微分方程如下考虑前N-1(N=1,2,3,…,Nv)节车厢已经离开桥梁,第N节车厢正在桥上时的情况。参照式(8)和(9),可得式(11)的解为(βn≠1)其中,令上式等号右端等于A-B,利用三角函数和差化积公式对B进行进一步整理,可得从上式不易直接看出其物理意义,为此,引入如下所示的三角级数变换关系:将式(10)代入式(14)再结合式(15),可得:上式表明,移动列车轴重荷载离开桥梁后自由振动的解也可用一个正弦函数(奇数阶振型)或余弦函数(偶数阶振型)来表示。2在移动列车的负荷下，共振和消振效应2.1lhospical法从式(16)可看出,当式中sin(ωnLv/2V)=0时,等号右边的第二项成为“0/0”型的不定式,利用L′Hospital法则对其进行处理后可得:式(17)表明,桥梁的位移响应随着通过的车厢数N的增加而被不断放大,进而可能形成共振现象。此时,由ωnLv/2V=iπ得到共振车速Vres(km/h)为式中fn为桥梁的第n阶自振频率(Hz)。式(18)为文献中的第一种共振条件。2.2抗疲劳效果2.2.1类消振效应当cos(ωnL/2V)=0或sin(ωnL/2V)=0时,式(16)所示的表达式只剩下第一项,即从式(4)中可看出,当式(20)成立时,其等号右边第二项中所包含的2个正弦项的相位恰好相差(2i-1)π或2iπ,此时单个荷载离开桥梁后所引起简支梁自由振动的两部分自身相互抵消为零,这称为简支梁的第一类消振效应。由式(20)可求出发生第一类消振效应时的列车速度Vcan(km/h)为为满足βn≠1的假设条件,上式还应该加上如下限定条件:n≠2i-1(n=1,3,5,…)或n≠2i(n=2,4,6,…)。从式(21)可看出,当荷载通过桥梁的速度满足一定条件时便会发生消振效应。此类消振为单个荷载的行为,与荷载个数及排列间距无关。消振速度表达式与振型阶数n有关,但对于简支梁跨中位移响应来说,往往考虑基阶振型便可得出足够精确的结果,此时可采用式(21a)(n=1)来预测消振车速。2.2.2两组债权结构的消振效应当式(16)中的cos(ωnLw/2V)=0或cos(ωnLc/2V)=0时,同样可得式(19),此时也将发生消振效应。对应的消振车速Vcan(km/h)为式(22)表示了与列车固定轴距Lw和转向架中心距Lc有关的消振效应,但此时的消振机理与第一类消振不同。从对式(13)的整理过程可得,它是由于隶属于不同组别的集中力所引起简支梁自由振动间相互抵消而发生的。式(22a)表示同一转向架中相距为Lw的2个轴重荷载所引起的桥梁自由振动相互抵消,而式(22b)则表示相距为Lc的前后2个轴重荷载所引起的桥梁自由振动相互抵消,这样1节车厢过桥后在桥上的残余自由振动便为零。此类消振效应发生在2个荷载之间,并与荷载排列间距有关。显然,对于2个相距为Lv的轴重荷载,在一定速度之下同样将发生消振效应。由此可对式(22)所表示的消振条件进行推广,设荷载列的特征间距为Lch,则消振车速Vcan(km/h)为这称为简支梁的第二类消振效应。上式中荷载列的特征间距Lch具有这样的性质:可将荷载列分为若干组,使得组内相邻荷载间距相同,且均等于Lch。对于常见的4轴铁路车辆,其轴重荷载特征间距Lch可取Lv,Lc和Lw。第二类消振车速表达式与振型的阶数n无关。当只关心基阶振型下的跨中位移响应时,上述两类消振效应的发生条件可写成如下以简支梁跨度L表示的统一形式式中f1为简支梁基阶自振频率,α为无量纲参数,可取值1或Lch/L。当α=1时表示第一类消振效应;当α=Lch/L时表示第二类消振效应。2.3共振消失及消振阶数从式(16)注意到,当车速同时满足共振和消振的要求时,表达式仍将如式(19)所示。此时共振将受到抑制,出现共振消失现象。若令Vcan=Vres,由式(18)与式(24)可得式中m,n分别为基阶振型下的共振与消振阶数。理论上,当调整列车车厢长度Lv与桥跨L的比值满足上式的关系时,桥梁将发生消振效应,从而避免基阶振型下竖向共振现象的发生。3u2004荷载模型为了对理论推导结果进行验证,使用MAT-LAB语言编制有限元计算程序,分析了某一高速铁路简支梁桥设计方案在移动列车荷载作用下的振动响应。分析中运用Newmark-β法逐步积分求解桥梁运动方程,Newmark参数取γ=0.5,β=0.25,积分步长取为0.001s。桥梁跨度为19.1m,质量,截面刚度EI=9.03×107kN·m2。由结构动力学的基本公式,计算得到梁的1阶自振频率f1为9.669Hz。考虑国产CRH3高速列车荷载,采用4节车辆编组,轴重取14t,简化成由4组共16个集中力组成的移动轴重荷载列,以Pkj(k=1,2,3,4;j=1,2,3,4)表示,如图3所示。移动荷载的特征长度Lch可取Lv,Lc和Lw,分别为25.535,17.375和2.5m。此时,无量纲长度系数α分别为1.0,Lw/L=0.131,Lc/L=0.910,Lv/L=1.337。根据式(18)及式(24)计算了对应19.1m简支梁桥1阶振型的共振及消振效应列车速度Vres和Vcan,并将前7阶结果列于表1。3.1桥响应时间的消振分析3.1.1自由振动叠加由前文的理论分析可得,当α=1时对应第一类消振效应,选取第5阶消振速度148km/h进行计算分析。图4是CRH3列车第1节车4个轴重荷载所引起的桥梁跨中位移时程。可以看出,每一个轮对离开后桥梁的自由振动响应均等于零,所以在第1节车离开后,桥梁的自由振动位移响应为零。这是因为,在Vcan=148km/h时发生了第一类消振效应。此时发生的消振效应仅与荷载通过桥梁的速度有关,而与荷载的数量和排列方式无关。其他各节车也是如此,因此整列车所引起的桥梁自由振动也为零。从表1中注意到,148km/h的消振速度与第6阶共振速度相等,此时共振现象将受到抑制。这是由于每个轮对离开后桥梁残余的自由振动均为零,多个荷载过桥后,自由振动之和仍为零。因此,由于自由振动叠加而产生的第一种共振现象将不会发生。类似的共振消失现象还将发生在444km/h,此时共振速度与消振速度443km/h接近,自由振动的累积也将受到抑制,桥梁不会出现共振时的峰值响应。3.1.2载荷作用下的分化当车速为对应α=0.131和α=0.910的消振车速时,将会发生与列车固定轴距Lw及转向架中心距Lc相关的第二类消振效应。以Vcan=174km/h为例进行数值分析,得到了桥梁跨中位移时程曲线如图5所示,图中还给出了第1节车所引起的位移响应时程。可以看出,第1节车离开桥梁后所引起桥梁的自由振动为零。这是因为:174km/h为与Lw相关的第1阶消振速度(α=0.131)。此时,P11,P12以及P13,P14所引起的桥梁自由振动分别相互抵消。因此,每节车离开后,桥梁都没有残留的自由振动,其响应完全由正在桥上的车辆所决定。以此类推,当最后一节车离开桥梁后,桥梁总的响应为零。图6进一步说明了第二类消振效应的机理。图6(a)显示了与固定轴距Lw相关的第二类消振效应的机理:当Vcan=174km/h,第1节车中第1,2两个轴重荷载P11和P12所引起的桥梁自由振动响应大小相等、符号相反,相位恰好相差π,叠加后为零。图6(b)显示了与转向架中心距Lc相关的第二类消振效应的机理:当Vcan=173km/h时,第1节车厢中第1,3两个轴重荷载P11和P13所引起的桥梁自由振动相位相差7π,亦恰好互相抵消。同样的情况发生在P12和P14之间。以此类推,当每节车离开后,桥梁都将没有残留的自由振动反应。消振时2个轴重荷载的延迟时间tlcagan由荷载间距和移动速度(此时即消振速度)决定:式中Tb为桥梁的自振周期。从图6可以看出,在174和173km/h的消振速度下,2个荷载间的延迟时间分别为Tb/2(i=1)和7Tb/2(i=4),因此,它们所引起的桥梁自由振动正好相互抵消了。3.1.3轴重荷载和共振这里从单个轴重荷载引起的桥梁振动响应出发,说明移动列车荷载作用下第一种竖向共振是如何发生的。由式(18)可得,共振时2个荷载的延迟时间tlagres由荷载间距和移动速度(此时即共振速度)决定,即上式表明,相距为Lv的2个轴重荷载所引起的自由振动恰好相差整数倍周期,因此二者将会相互叠加,并随着通过桥梁的轴重数的增加使得自由振动之和越来越大,最终导致共振的发生。选取第3阶共振速度296km/h作为研究对象,图7(a)给出了相距为Lv的第1组轴重荷载列P11,P21,P31和P41所引起自由振动的叠加结果。从图中可看出,由于前后2个轴重荷载间的自由振动时程均相差3Tb,因此各自由振动同相,叠加后的总和T1随着通过的轴重数而增大。另外3组等间距的轴重荷载Pk2,Pk3和Pk4(k=1,2,3,4)有着相同的叠加过程,4组荷载的作用之和便是整列车所引起的位移响应。如图7(b)所示,列车过桥期间,桥梁振动幅值随着通过的车厢数的增多而被不断放大;当列车离开桥梁后,其处于自由振动状态,由于没有考虑阻尼效应,振动幅值维持稳定。值得注意的是,如果此时的共振速度与式(23)所表示的第二类消振速度相等或接近时,则不会出现上图所示的自由振动相互叠加累积,而是消振时的叠加后相互抵消,因而也将不会发生共振效应。例如,表1中第5阶共振速度178km/h与消振速度174km/h接近,可预测此时将出现共振消失现象。可以看出:当车速为296,222,127km/h时,对应表1中的共振车速,相应的动力放大系数DAF均较大,恰位于曲线波峰附近,说明此时确实发生了共振现象。当车速为对应表1中的消振车速时,动力放大系数均较小,且包含了该曲线的几个波谷位置。这说明当列车以消振车速通过简支梁时,桥梁的动力响应相对较小。当共振车速为444,178,148km/h时,出现了与之相等或相近的消振车速443,174,148km/h。从图8可看出,DAF在这些车速下并没有出现共振时应有的峰值,这与3.1中的分析预测一致。这说明:当车速同时满足消振和共振条件时,由于消振效应,将阻止共振的出现,即发生了共振消失现象。因此,当车辆长度Lv与桥跨L的比值满足式(25)的关系时,有Vres=Vcan,理论上可以避免共振的发生。对于所分析的19.1m简支梁桥和CRH3高速列车来说,由于消振对共振的抑制作用,桥梁的动力响应在500km/h以内均保持在较小的值(动力放大系数小于2),这有利于高速铁路桥梁的使用和保证列车运行安全。4ei和m式中V为荷载移动速度,δ为Dirac函数;y(x,t)为简支梁