半无限空间体文学界空间体文学界问题的一种求解方法

半无限空间体文学界空间体文学界问题的一种求解方法

在设计中，通常需要分析非无限区域的张力分析，如水平负荷单元和垂直负荷单元的静力分析。目前,弹性理论用于解决半无限弹性体边界上一点在集中水平力或垂直力作用的问题上较成熟,解决半无限弹性体内一点在集中水平力或垂直作用下计算问题也有一些理论成果,但其公式较复杂,不便于应用。鉴此,本文尝试利用对称关系提出半无限弹性体内一点在集中水平力作用下计算问题的新解法,并以此建立半无限弹性体地基上水平荷载群桩的力学模型。1半无限弹簧的水平和垂直集中力的分析1.1集中水平力作用下半空间体内力的变化根据弹性力学理论,半空间体在其边界上受切向集中力P的作用即塞路提(Cerruti)问题的解为:u(x,y,z)=Ρ4πGR{1+x2R2+(1-2μ)[RR+z-x2(R+z)2]}(1)v(x,y,z)=Ρ4πGR[xyR2-(1-2μ)xy(R+z)2](2)w(x,y,z)=Ρ4πGR[xzR2-(1-2μ)xR+z](3)其中R=√x2+y2+z2;G=E0/[2(1+μ)]式中,u、v、w分别为x、y、z方向的位移;μ为泊松系数;P为半空间体在其边界上受的切向集中力;R为计算点至荷载P作用点的距离;G为前切模量;E0为地基弹性模量。坐标系见图1(a)。利用对称关系,式(1)可用于半无限弹性体内一点在集中水平力作用下的计算。根据对称关系,图1(a)与图1(b)等价,这样半无限弹性体内一点在集中水平力作用下的计算,就可转变为1/4无限弹性体边界上一点在集中水平力作用下的计算,将内力转化为边界面力。但此计算问题仍难以解决,为此利用对称关系,将图1(b)等价地转化为图2,即将此计算转化为半无限弹性体边界上两对应点在集中水平力作用下的计算。设图1(a)中P到边界面的距离为a,则由式(1)得半空间体在其边界上受切向集中力P作用的解为:u(x,y,z)=Ρ8πGΜ{1+x2Μ2+(1-2μ)(1-x2Μ2)+(1-2μ)[ΜΜ+z-a-x2(Μ+z-a)2]}+Ρ8πGΝ⋅{1+x2Ν2+(1-2μ)(1-x2Ν2)+(1-2μ)⋅[ΝΝ+z+a-x2(Ν+z+a)2]}(4)w(x,y,z)=Ρ8πGΜ[xyΜ2-(1-2μ)⋅xy(Μ+z-a)2]+Ρ8πGΝ[xyΝ2-(1-2μ)⋅xy(Ν+z+a)2](5)v(x,y,z)=Ρ8πGΜ(xyΜ2-(1-2μ)xΜ+z-a)+Ρ8πGΝ(xyΝ2-(1-2μ)xΝ+z+a)(6)其中Μ=√r2+(z-a)2;Ν=√r2+(z+a)2;r=√x2+y2式(4)～(6)为半无限弹性体内一点在集中水平力作用下的位移计算公式。1.2无限空间弹性体内作用一垂直集中力p0z方向的位移根据弹性力学理论,开尔文问题——无限空间弹性体内一点受集中力作用时,作用力方向即z方向的位移为:ur=Ρ016πG(1-μ)rzR3(7)w=Ρ016πG(1-μ)R[(3-4μ)+z2R2](8)其中R=√r2+z2;G=E0/[2(1+μ)]式中,ur、w分别为r、z方向的位移;P0为无限空间弹性体内作用于坐标原点(采用柱坐标)沿z方向的集中力;w为无限空间弹性体内各点(r,θ,z)沿z方向的位移。半无限空间体内(z≥0)作用一垂直集中力P0(z方向,z=a处),即与边界垂直的集中力作用下的情况见图3。根据对称关系,它等价于无限空间体内一对集中力P0(z方向,分别在z=a和z=-a处)作用的情况,如图4所示。则由式(3)可得,半无限空间体内(z≥0)作用一垂直集中力P0(z方向,z=a处),半无限空间体内各点(r,θ,z)的位移计算公式为:ur=Ρ016πG(1-μ)[r(z-a)Μ3+r(z+a)Ν3](9)w=Ρ016πG(1-μ)Μ[(3-4μ)+(z-a)2Μ2]+Ρ016πG(1-μ)Ν[(3-4μ)+(z+a)2Ν2](10)2在水平负荷场的静力分析中的应用2.1z桩身的挠曲方程假设有n根基础桩,沿xy平面布置,桩位分别为(xi,yi),在水平荷载(x方向)作用下各桩的地基反力为pi,i=1,2,…,n。同时,假设pi为沿桩直径与桩长分布的面力(设分布在0≤y≤d,0≤z≤L,d为桩身直径,L为桩身长度),且pi与x、y无关,仅为z的函数即pi(z),则在pi(z)作用下,桩身沿x方向的位移可按式(4)计算,其中r=rij=√(xi-xj)2+(yi-yj)2为常数。则总位移为:u(xi,yi,z)=n∑j=1uj(xi,yi,z)(11)uj(xi,yi,z)=∫d0∫L0pj(a)8πGA{1+x2iA2+(1-2μ)⋅(1-x2iA2)+(1-2μ)[AA+z-a-x2i(A+z-a)2]}⋅dady+∫d0∫L0pj(a)8πGB{1+x2B2+(1-2μ)(1-x2B2)+(1-2μ)[BB+z+a-x2i(B+z+a)2]}dady(12)其中A=√r2ij+(z-a)2;B=rij2+(z+a)2桩身的挠曲方程按弹性地基梁计算,基本方程为:EΙd4wi(z)dz4=-pi(z)(13)式中,wi为桩身的挠曲变形;EI为桩刚度。变形协调方程为:u(xi,yi,z)=wi(z)(14)pi(z)还应满足平衡方程:∫ol[∑i=1npi(z)]dz=Ρ(15)式(11)～(15)为水平荷载群桩静力分析的基本方程,可采用级数法求解。2.2变形协调方程某基础桩地面以下长度为L=18.0m,桩身直径d=0.8m,1根桩桩位xi=0、yi=0,桩顶固嵌。地基弹性模量E0=3×103MPa,桩身混凝土弹性模量E=1.6×104MPa,μ=0.25,总水平荷载P=200kN。采用级数法求解各桩的地基反力,设桩身的地基反力为:p=az+bz2+cz3(16)代入式(12),因y的取值范围很小,可简化为:u(z)=∫00.8∫-1818(2.5-3μ)p(β)8πGy2+(z-β)2dβdy=∫-1818(2.5-3μ)p(β)8πG{ln[0.8+0.64+(z-β)2]-ln[(z-β)2]}dβ(17)将z=6.0、12.0m代入式(17),可得:u(6)=2.5-3μ8πG(35.98a+445.72b+2552.91c)(18)u(12)=2.5-3μ8πG(67.47a+953.22b+10507c)(19)边界条件为:当z=0时,w′=0;当z=18.0时,w=w″=wue087=0,由式(13)可得:EΙw(z)=-a120z5-b360z6-c840z7+(a12l2+b18l3+c24l4)z3-(a6l3+b8l4+c10l5)z2+(11120al5+13180bl6+584cl7)(20)将z=6.0、12.0m代入式(20),可得:w(6)=1EΙ(143985.6a+114091.2b+94385.8c)(21)w(12)=1EΙ(77824.8a+61905.6b+51525.3c)(22)由变形协调方程,且8πG=93.7428EI,可得:13497577.31a+10684782.83b+8845438.95c=0(23)7295447.19a+5802251.06b+4819614.875c=0(24)由式(16)代入式(15),可得:162a+1944b+26244c=200(25)联立式(23)～(25),解得:a=0.00659148、b=-0.015540