第三章 信号与系统的频域分析

第三章信号与系统的频域分析

信号分解为正交函数

连续周期信号的傅里叶级数连续周期信号的频谱和功率谱

连续非周期信号的频谱——傅里叶变换

傅里叶变换的性质

LTI连续系统的频域分析

LTI连续系统的频率响应

取样定理3.1信号分解为正交函数一、矢量表示为正交矢量集1、正交完备的概念正交矢量图若：称两矢量彼此正交；称：正交完备如果没有第三个矢量V3存在，使

彼此正交的两矢量构成二维矢量集：若二维矢量集正交完备，则任意矢量可表示为：

2、高维矢量空间则该空间的任一矢量可以用以下线性组合来精确地描述:若n维矢量空间的正交矢量集是完备的，其中，相关系数：二、信号表示为正交函数两个函数g1(t)和g2(t)在时间区间(t1,t2)内正交条件：在时间区间(t1，t2)内没有第三个函数x(t)存在，使：函数g1(t)和g2(t)构成的正交函数集是正交完备的。1、正交函数集任意函数f(t)在区间(t1，t2)内可完全用g1(t)和g2(t)的线性组合来表示：2、高维函数空间若n维函数空间的正交函数集是完备的，即再也没有一个函数x(t)存在，使在时间区间(t1,t2)内则该函数空间的任一函数f(t)可以用以下线性组合来精确地描述:其中：3.2周期信号的傅里叶级数

三角函数型的傅里叶级数指数型傅里叶级数

微分冲激法求解傅氏系数（不讲）一、三角函数型的傅里叶级数

1、正弦余弦形式的傅氏级数

在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内有有限个极值点；在一个周期内函数绝对可积，即：任意周期信号f(t)，如果满足狄利赫利条件，即：注：一般周期信号都满足这些条件f(t)可展开成完备的正交三角函数集线性组合的无穷级数：其中：余弦分量系数，是n的偶函数正弦分量系数，是n的奇函数a0,an,bn称为傅里叶系数基波角频率直流系数直流分量基波分量n=1谐波分量n>1周期信号可以分解为各次谐波分量的代数和利用信号的对称性简化傅立叶系数的求解

偶函数fe(t)的傅立叶级数只含有直流分量和余弦分量；

奇函数fo(t)的傅立叶级数只含有正弦分量；

奇半波对称信号只含有奇次谐波，又称奇谐函数

偶半波对称信号只含有偶次谐波，又称偶谐函数2、余弦形式的傅氏级数其中，为第n次谐波的振幅为第n次谐波的初相角三角函数变换公式A0=a0如图所示矩形脉冲信号，试求其两种形式的傅氏级数。……0A二、指数型傅里叶级数

在时间区间(t0,t0+T)内，基波角频率的正交完备虚指数函数集对于周期为T的周期信号f(t)，在该时间区间内有定义时，可以由上述虚指数函数的线性组合来表示，即：其中：（1）定义傅立叶级数反变换IFST傅立叶级数正变换FST奇函数偶函数说明：是傅氏复系数；总是成对出现负频率的出现只是数学形式，实际并不存在(2)与三角形式的傅氏级数的关系试求上题的指数形式的复氏级数解：法1法23.3连续周期信号的频谱和功率谱一、周期信号的频谱(1)频谱：信号各频率成份的振幅和相位随频率变化的规律，叫做频谱。时域波形频谱波形幅度频谱相位频谱（2）频谱图：频谱的图示；（3）幅度频谱：周期信号各频率成份的振幅|Fn|（或An)随频率n

0分布的规律的示意图;（3）相位频谱：周期信号各频率成份的相位

n

或n随频率n

0分布的规律的示意图。1、三角频谱（单边频谱）余弦形式的傅氏级数其中：第n次谐波的振幅第n次谐波的初相角三角频谱：余弦形式的傅氏级数的振幅An随n

0变化的规律，称为振幅频谱，习惯上简称频谱；相位n随n

0变化的规律，称为相位频谱。三角傅氏级数总有,谱线只出现在n

0～An或者n

0～n平面的右半平面，故称作单边频谱。解：由前面例可知该信号仅含a0和an项

求下列矩形脉冲序列信号的频谱，并绘频谱图。0单边相位频谱0单边幅度频谱单边频谱的特点离散性：谱线是不连续的。谐波性：谱线只出现在基波频率

0和它的整数倍谐波频率n0

上。收敛性：振幅频谱An的高度随着谐波次数的增大逐渐衰减，即（2）指数频谱（双边频谱）奇函数偶函数指数形式的傅氏级数

指数频谱：傅氏复系数随n

0变化的规律

振幅频谱对称于纵轴；

相位频谱对称于原点；除F0=A0/2外，的谱线长度是的谱线长度的一半。由于n0

的取值范围是全频域，因此无论是振幅频谱还是相位频谱都对称地分布在纵轴的两边故称为双边频谱。总结：求上例周期矩形脉冲信号的指数频谱，并绘频谱图。解：双边幅度频谱00单边幅度频谱0单边相位频谱0双边相位频谱双边频谱的特点离散性、谐波性、收敛性有效频带宽度B

=△

＝2π/τ脉宽、周期T对频谱的影响:

，

内的谱线间隔数:谱线数:

各谱线高度不变内谱线增多T不变T各谱线高度不变内谱线增多

不变T无穷大二、周期信号的平均功率和功率谱1、周期信号的平均功率瞬时功率：平均功率：结论：周期信号总的平均功率为各次谐波分量平均功率的和。2、Parseval定理周期信号的平均功率可以在频域中由傅氏复系数Fn确定。周期信号的帕塞瓦尔定理3、周期信号的功率谱

Pn~n

0

（或~n

0）的关系双边功率频谱单边功率频谱周期信号的功率谱的用途

可以直观的看出频率中各平均功率分量随频率的分布情况：可以确定有效频带宽度（Bω）内谐波分量的平均功率占整个周期信号P的平均功率之比；例题：3－63.4非周期信号的频谱—傅里叶变换一、从傅里叶级数到傅里叶变换fT1(t)tT1-T10n

02

—

Fn.0F0

0fT2(t)tT2-T202

—

n

0Fn.F00f(t)tT

∞-∞-T0Fn.n

0

0F00

0d

当T∞时周期信号演绎为非周期信号，即信号的频谱发生如下变化：

0变为微元分量d,即，无限地趋于零，离散性不再存在，频谱由线谱变成面谱。n

0变为连续的角频率

,即Fn趋于零,即频谱图消失。非周期信号的频谱图无法按Fn绘出。为了用图形描述非周期信号的频谱，引出频谱密度函数的概念。1、频谱密度函数（单位频带上Fn的分布情况）定义：式中：T∞时周期信号演绎为非周期信号n

0

变为连续的角频率反之：故：傅氏正变换傅氏反变换也可用双箭头符号表示：f(t)=F-1F(j)=IFT[F(j)]傅立叶变换（FT）对：F(j)=FT

f(t)=F

f(t)

…矩形脉冲信号如图所示，求其F(j)。解：0A面频谱，为表示方便，取其包络幅度频谱相位频谱2、非周期信号频谱F(jω)特性（1）傅氏变换存在的条件信号f(t)在全时域（－∞，∞）满足狄利赫利条件，即

有限个间断点；有限个极值点；

f(t)绝对可积，即：（M为有限值）

注意：狄氏条件是充分条件而不是必要条件，有些不满足该条件的信号仍可求傅氏变换，但不能从定义积分式求得，只能采用其它方法。（2）F(j)频谱图的特点是面状谱而非离散谱。具收敛性：|F(j)|=|F(–j)|为偶函数，幅度谱关于纵轴对称。

()=–(–)为奇函数，相位谱关于原点对称。（3）傅里叶系数与傅里叶变换的关系非周期信号频谱F(j)与周期信号频谱Fn之间的关系：二、非周期信号频谱的物理意义及其特性1、物理意义的奇函数的偶函数

非周期信号可看作是由不同频率（从零到无限大）的余弦“分量”所组成；为一个等幅振荡信号；信号f(t)是这些等幅震荡信号在全频域的叠加；2、非周期信号的奇偶性对F(j)的影响(3)f(t)为非奇非偶的实函数(2)f(t)为实奇函数(1)f(t)为实偶函数为实偶函数为纯虚奇函数三、能量谱和功率谱1、非周期信号的能量公式（Parseval定理）信号在频域中的总能量信号在时域中的总能量2、能量谱（能量信号，能量谱密度）能量谱密度：单位频带内的能量，记作Ef()，单位：焦耳/赫兹。比较Ef()反映了信号的能量在频域的分布情况，它只与信号振幅频谱的平方有关与相位频谱无关。3、功率谱(针对功率信号)对信号f(t)进行截取，得到时限信号fτ(t)fτ(t)是时限信号，其能量Eτ为有限值能量信号定义功率密度函数，简称功率谱比较

功率谱Pf()反映了信号的平均功率在频域的分布情况，与相位频谱无关。周期信号的功率密度函数比较周期信号的功率谱总结：1、周期信号Parseval定理:2、非周期信号Parseval定理:能量谱:功率谱:功率谱：四、典型信号的傅氏变换1、矩形脉冲信号（门函数）0At2、正三角脉冲信号3、单边实指数信号4、双边指数信号5、冲激信号均匀谱6、单位直流信号7、符号函数8、单位阶跃信号9、高斯脉冲信号A时域波形和频谱形状相同3.5傅里叶变换的性质一、线性1、齐次性3、线性性质2、叠加性利用线性性质求符号函数的傅氏变换解：二、对称性求：提示：求：提示：求：三、尺度压扩性质（反比性）若，则f(at)的波形为f(t)的波形沿t轴压缩了a倍；其相应的的波形为F(

)的波形沿

轴扩展了a倍。解：已知：求：f(2t)和f(t/2)的傅氏变换。2

_2

_-f(t)A0t

2_AF(j)0f(2t)

_4A

_4-0t

4_A20F(j/2)21_

_A

0tf(t/2)

2A_

02F(j2)

四、时延性质（时移性）推论：试求试求信号在时域延时，其频谱所有的频率分量均延时同一个时间五、频移性质

从频域角度看，信号f(t)在时域乘以虚指数以后，相当于其F(j)沿轴向左出现了0的位移，反之亦然。求：

0()F(j)

0()-0

0(-j)F(j)

0(j)-0余弦信号的频谱正弦信号的频谱(1)调制原理

在通信技术中，频移性质的典型应用就是调制原理。调制过程如图所示，调制信号f(t)与载波信号（或称被调制信号）cos

0t或sin0t同时输入乘法器得到信号f(t)cos

0t或f(t)sin

0t,这个过程叫做振幅调制。若：例：(2)周期信号的傅氏变换周期信号：指数形式的傅氏级数：傅氏变换为：……解：求周期性三角脉冲序列的傅式变换0用FT分析周期信号的频谱，具有两个显著的特点：（1）是冲激序列；（2）具有离散性和谐波性。(3)单位冲击序列信号

T(t)的傅氏变换……其指数形式的傅氏级数为：……六、卷积定理1、时域卷积定理若：则：2、频域卷积定理若：则：（1）时域卷积定理常用于分析线性时不变系统的零状态响应。3、卷积定理的应用例题：P1803.27（2）频域卷积定理常用于分析调制与解调问题，解调就是将调制过的信号恢复到原信号，解调的原理框图如下：P低通滤波器一次调制：二次调制（解调）:调制解调滤波

F1(j)0

c-cF(0)/2

2

—

F(j)0F(0)1f(t)t02

_2

_--c

F2(j)0

c-2cF(0)/4F(0)/22cH(0)=2

2

—F(j)0F(0)频分复用原理用频谱搬移的方法使不同信号占据不同的频谱范围—频分复用（FDMA）三路信号调制频分复用的特点：独占频段，共享时间。三路信号解调七、时域微分性质同理八、时域积分性质证明：时域卷积定理（卷积的积分性）利用时域积分性质求信号的频谱时域积分性以此类推(1)当f(t)为能量信号（有始有终），f(∞)=f(-∞)=0易得易得(2)当f(t)为功率信号，f(∞）≠0，f(-∞)≠0(3)当f(t)为非功非能信号，不能使用该公式K次求导，得到冲激信号例：利用时域积分性质求三角脉冲的傅氏变换。例：利用时域积分性质求符号函数的傅氏变换。九、频域微分性质若则推论例题：设求：十、频域积分性质若则总结：常用信号的FT和FT的性质总结：常用信号的FT和FT的性质6.时域卷积：7.频域卷积:1.线性：齐次性、叠加性、线性4.时移性：5.频移性：2.对称性：3.反比性：8.时域微分：9.时域积分:10.频域微分：11.频域积分:3.6LTI连续系统的频域分析

典型信号作用系统的频域分析周期信号作用系统的频域分析非周期信号作用系统的频域分析微分方程的频域解频域分析法（傅立叶变换分析法）：利用傅立叶级数变换和傅立叶变换求解LTI连续系统的零状态响应的方法；一、典型信号作用系统的频域分析1、单位冲激信号激励下的零状态响应频域的系统函数（系统函数）幅频响应函数相频响应函数2、虚指数信号ejωt激励下的零状态响应(也称稳态响应)结论：yf(t)仍为同频率的虚指数信号，只是响应比激励加权了一个复函数H(jω)？3、正弦信号激励下的零状态响应（稳态响应）系统响应为：系统的激励为：物理含义：系统输入是正弦信号，响应也是同频率的正弦信号，但幅度和相位有变化；

系统频率响应：系统幅频响应和系统相频响应；

系统幅频响应：稳态响应信号与输入信号幅度的比值随频率的变化；

系统相频响应：稳态响应信号与输入信号相位之差随频率的变化；幅频响应相频响应二、周期信号激励下连续系统的频域分析当激励为周期信号指数型傅里叶级数系统稳态响应：三角型傅里叶级数每一分量的稳态响应三、非周期信号作用LTI系统的频域分析当激励为非周期信号：叠加性齐次性结论：

求激励信号的傅里叶变换，即：f(t)↔F(jω)

确定系统的频率响应H(jω)

求系统零状态响应的傅里叶变换Yzs(jω)

通过傅氏反变换求零状态响应

yzs(t)=F-1[Y(j)]傅氏变换分析法：通过FT求系统yzs(t)的方法电路如图所示，求电流i(t)。1t0解：输出输入四、微分方程的频域解计算过程：计算激励的傅氏变换F(j)；根据微分方程求系统函数H(j)；根据Yf(j)=H(j)F(j)求出零状态响应得傅氏变换；通过傅氏反变换求出时域零状态响应yf(t)；激励信号：已知系统的微分方程为：求:系统的零状态响应yf(t)频域分析法的特点(1)通过FT分析法，可比较输入激励信号f(t)与输出响应信号yf(t)的波形差异。(2)比较F(j)与Y(j)频域波形，从频谱改变的观点解释激励与响应的波形差异，为网络设计提供依据。(3)傅氏变换存在一些天生的弱点:

条件苛刻：有些信号傅氏变换不存在，如指数增长信号etε(t)

当>0时反变换难以求解；方法不完备，只能求系统的零状态响应。傅氏变换多在对系统进行定性分析。3.7连续系统的频率响应一、LTI连续系统的频率响应的定义n阶常系数线性微分方程频响特性连续系统的频响特性称为系统的幅频特性，是的偶函数注意：系统函数只与系统的内部参数、连接方式（结构）、系统接口有关，与激励无关。称为系统的相频特性，是的奇函数

电路如图(a)所示，试求该系统的频率响应。解：绘出电路的相量模型如图(b)，根据该图得：幅频特性为：相频特性为：

一般绘频谱图时，讨论ω≥0部分的幅频特性和相频特性，至于ω≤0部分的频谱，可根据对称性确定。频谱图:四、信号的无失真传输和理想低通滤波器的响应1、无失真传输系统(1)信号的失真分析前面的例题：输出y(t)和输入f(t)信号的波形可见，输出电流i(t)不再是单位阶跃信号。系统的响应信号与激励信号不完全相同，存在失真。通信工程中，除了一些特别的要求，总希望失真尽量的小。从频谱分析的观点来看，失真的原因有两个：一个是幅度失真，另一个是相位失真。1t0

幅度失真：频率分量的幅度衰减或放大不一致造成的，各频率分量信号的幅度的相对比例发生了变化引起失真；相位失真：不同频率分量产生的相移与频率不成线性关系，使得各频率分量信号在时间轴上的相对位置发生了变化。两种失真往往同时存在，人的听力对幅度大小变化特别敏感而对相位变化反映较弱，通信技术中对声音信号的传输应尽量较少幅度失真；人的视力相反，传输图像信号时应减