第四讲 傅里叶变换

第四讲傅里叶变换10/18/20231傅里叶变换主要内容图像变换基础傅里叶变换定义傅里叶变换的性质快速傅里叶变换10/18/20232图像变换基础什么是图像变换？为了有效地和快速的对图像进行处理和分析，常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空间以得到所需的效果。这些转换方法称为图像变换技术。本讲着重介绍和讨论的傅里叶变换，就是一种广泛应用的图像变换技术。10/18/20233图像变换基础为什么要学习图像变换？从某种意义来说，使用不同的空间来描述图像，就好比使用不同的语言来表达观点。能讲两种语言的人常常会发现，在表达某些观点时，一种语言会比另一种语言优越。类似的，图像处理的分析者在解决某一问题时会在不同的空间来回切换。掌握图像变换技术，就可以在不同的空间下思考问题，并利用不同空间的优越性解决问题，这种能力是非常有用的。傅里叶变换也被喻为描述图像的第二种语言。10/18/20234图像变换基础“傅里叶变换”将图像变成怎样的空间？我们之前所讨论的、大家所熟悉的图像空间为“空域”空间。经过傅里叶变换，则可获得图像的“频域”空间。那么什么是“频域”呢？？？这个就要从信号的分解开始说起。。。（所谓信号，就是带有信息的物理量。对于灰度图像，像素点的灰度值就是其携带的信号。因此，图像本质上是一个二维信号的集合。）10/18/20235图像变换基础信号分解——概述信号分解是利用“化繁为简、化整为零”的思路，将一个复杂信号分解为一系列“简单”信号（或称基元信号）的特定组合（叠加）。问题1：怎样的信号是我们需要的“简单”信号？问题2：它们遵循什么样的组合规律？10/18/20236图像变换基础信号分解——“简单”信号如果一组信号彼此完全不相似，它们互相不包含对方的分量，则这组信号就是我们需要的简单信号。在数学上，有个专门的术语描述这种性质，叫“正交”性。（信号是物理术语，在数学世界，信号等价于函数）10/18/20237图像变换基础“正交”函数的数学描述两个函数正交的充要条件是：它们的内积为0（内积描述相似性）。函数f1(t)和函数f2(t)在区间(t1,t2)上的内积：函数集{gn(t),1≤n≤N}的在区间(t1,t2)上正交的条件：10/18/20238图像变换基础哪些函数集是“正交”的呢？（1）在实函数中，有一组自然、和谐的函数非常适合作为正交函数集——正、余弦函数。对于任何的：在一个周期以内的面积相加起来总是零。10/18/20239图像变换基础正余弦函数集的“正交”性实例10/18/202310图像变换基础哪些函数集是“正交”的呢？（2）在复变函数中，可以证明，复指数函数集也是一个完备的正交函数集。从某种意义上来讲，复指数函数与三角函数在本质上是一致的，欧拉公式揭示了二者之间的关系：10/18/202311图像变换基础信号分解——概述信号分解是利用“化繁为简、化整为零”的思路，将一个复杂信号分解为一系列“简单”信号（或称基元信号）的特定组合（叠加）。问题1：怎样的信号是我们需要的“简单”信号？问题2：它们遵循什么样的组合规律？正交信号正、余弦三角函数复指数函数10/18/202312图像变换基础信号分解为三角函数周期为T的信号f(t)，可以展开成三角函数（信号）的叠加：即：上述展开式称为三角形式的傅里叶级数。其中，ω=2π/T是信号的角频率，an和bn为傅里叶系数。已知f(t)，傅里叶系数a0、an、bn如何确定呢？10/18/202313图像变换基础傅里叶系数的确定如求ai，只需在展开式两边乘上cos(iωt)，然后周期区间内求积分，由于三角函数集的正交性，可以发现，等式的右边除了ai

cos(iωt)cos(iωt)这一项不为零，其它项均为零，从而能够求出系数ai。=0=0仅当n=i时不为010/18/202314图像变换基础傅里叶系数的确定（续）根据上述方法，可求得三角傅里叶系数：（2）余弦分量系数：（3）正弦分量系数：（1）直流分量系数（零频系数）：10/18/202315图像变换基础信号分解为复指数函数傅里叶系数Fn确可以按以下公式求得：若选用复指数正交函数集来进行傅里叶级数展开，则周期函数（信号）的展开形式为：10/18/202316图像变换基础“傅里叶变换”将图像变成怎样的空间？我们之前所讨论的、大家所熟悉的图像空间为“空域”空间。经过傅里叶变换，则可获得图像的“频域”空间。√那么什么是“频域”呢？？？这个就要从信号的分解开始说起。。。一个信号可以用许多简单的信号“加起来”来表示如何用所谓的“正交性”来找出这些简单信号如何计算叠加的系数10/18/202317图像变换基础“频域”空间举例假设有这样的一个信号f(t)，它可以用下列正弦波表示：有幅度A、频率ω四组对：我们可以认为这四组数对唯一确定了信号f(t)，也就是说，这四组数对是信号f(t)的另一种表达方式。它们所构成的空间就是“频域”空间，与时（空）域空间完全等价。

10/18/202318图像变换基础“频域”空间（续）tf时域空间ωA频域空间10/18/202319傅里叶变换主要内容图像变换基础傅里叶变换定义傅里叶变换的性质快速傅里叶变换10/18/202320傅里叶变换定义一维连续傅里叶变换及反变换单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(μ)定义为：其中x为时域变量，μ为频域变量，j2=-1给定F(μ)，通过傅里叶反变换可以得到f(x)：10/18/202321傅里叶变换定义说明傅立叶变换中的变量μ通常称为频率变量，这个名称源于欧拉公式中的指数项：如果把傅立叶变换的积分解释为离散项的和，则易推出F(μ)是一组sin和cos函数项的无限和，其中μ的每个值决定了其相应cos、sin函数的频率。10/18/202322傅里叶变换定义幅度、相位、能量（功率）谱由上公式可以看出，傅里叶变换结果是一个复数表达式，设F(μ)的实部为R(μ)，虚部为I(μ)，则：复指数形式：幅度谱：相位谱：能量谱：10/18/202323傅里叶变换定义二维连续傅里叶变换及反变换二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(μ,ν)定义为：其中x,y为时域变量，μ,ν为频域变量，j2=-1给定F(μ,ν)，通过傅里叶反变换可以得到f(x,y)：10/18/202324傅里叶变换定义幅度、相位、能量（功率）谱幅度谱：相位谱：能量谱：二维傅里叶变换结果的复指数形式：10/18/202325傅里叶变换定义一维离散傅里叶变换（DFT）及反变换单变量离散函数f(x)

(x=

0,1,…,M-1)的傅里叶变换F(μ)定义为：给定F(μ)，通过傅里叶反变换可以得到f(x)：μ

=

0,1,…,M-1x

=

0,1,…,M-110/18/202326傅里叶变换定义二维离散傅里叶变换及反变换（数字图像）图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的DFT为：给定F(μ,ν)，通过反DFT变换可以得到f(x,y)：μ

=

0,1,…,M-1，ν

=

0,1,…,N-1x

=

0,1,…,M-1，y

=

0,1,…,N-110/18/202327傅里叶变换定义离散傅里叶变换DFT的计算

DFT的计算例：一维函数的四个采样值为f(0)=2,f(1)=3,f(2)=f(3)=4。x0121234310/18/202328傅里叶变换定义离散傅里叶变换DFT的计算（续）10/18/202329傅里叶变换定义离散傅里叶变换DFT的计算（续）函数f(x,y)的傅立叶变换是f(x,y)积分（对于离散而言，则是累加和）的函数，因此，计算每一个傅立叶变换值，原函数f(x,y)的每一个点都需要参与。f(x,y)全部值对DFT都产生影响；反之，全部变换系数对反变换也产生影响。10/18/202330傅里叶变换定义二维离散傅里叶变换DFT的显示将二维频率空间的每个点的幅值（实部和虚部平方和的平方根）规格化为显示灰度级（0-255），产生的图像为傅里叶频谱幅度图像。（频谱相位图像暂不考虑）10/18/202331傅里叶变换定义二维离散傅里叶变换DFT的显示（续）通常，在显示傅里叶频谱幅度图像需要将原点平移到图像的中心（让图像能量集中到图像中心位置），以便能清楚地分析变换谱的情况。注意：频谱图上的各点与图像上各点不存在对应的关系！越靠近中心的点，对应的频率越低。亮度越大表示该点对应频率的幅值越大。10/18/202332傅里叶变换定义图像“频域”空间的物理意义图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度（梯度）。如大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域,对应的频率值很低;而对于地表变化剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域,对应的频率值较高。傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为频率分布函数。举例：绘画频率的幅值表示该频率成分对原来图像信息（能量）的贡献。10/18/202333傅里叶变换主要内容图像变换基础傅里叶变换定义傅里叶变换的性质快速傅里叶变换10/18/202334傅里叶变换傅里叶变换的性质可分离性均值性能量守恒定理平移性质分配律比例变换旋转性周期性和共轭对称性卷积相关10/18/202335傅里叶变换的性质可分离性图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的DFT可以为如下形式：F(x,ν)是沿着f(x,y)的一列所进行的傅里叶变换。当x=0,1,…,M-1，沿着f(x,y)的所有列计算傅里叶变换。上式说明：二维DFT可分离为两次一维DFT10/18/202336傅里叶变换的性质可分离性——二维傅里叶变换的全过程行变换N-1M-1F(μ,v)(0,0)vμN-1M-1F(x,v)(0,0)vxN-1M-1f(x,y)(0,0)yx列变换先通过沿输入图像的每一列计算一维变换再沿中间结果的每一行计算一维变换可以改变上述顺序，即先行后列10/18/202337傅里叶变换的性质可分离性（续）上述相似的过程也可以计算二维傅里叶反变换：10/18/202338傅里叶变换的性质均值性由二维傅里叶变换的定义：而，上式说明：在原点的傅里叶变换即等于图像的平均灰度值。10/18/202339傅里叶变换的性质能量守恒定理能量守恒定理也称帕斯韦尔（Parseval）定理：上式说明：傅里叶变换前后能量守恒。10/18/202340傅里叶变换的性质平移性质DFT平移特性如下：第一个公式表明将F(μ,ν)与一个指数项相乘就相当于把其变换后的空域中心移动到新的位置。第二个公式表明将f(x,y)与一个指数项相乘就相当于把其变换后的频域中心移动到新的位置。10/18/202341傅里叶变换的性质平移性质（续）由以上公式可知：空间域中图像的平移不影响频谱幅度（幅值不变），仅对应于频域的相移（只改变了相位谱）原图像X轴平移图像Y轴平移图像10/18/202342傅里叶变换的性质平移性质（续）上式表明：如果要将图像的频谱原点移到图像中心，只要将f(x,y)乘上因子

，再进行DFT变换即可。将DFT频谱的原点移动到矩阵M×N的中心，这样只要设：10/18/202343傅里叶变换的性质平移性质（续）方块图像原点平移前的频谱幅度图像原点平移后的频谱幅度图像10/18/202344傅里叶变换的性质分配律根据傅里叶变换的定义，可以得到：上式表明：傅里叶变换对加法满足分配律。但对乘法则不满足：10/18/202345分配律实例++==空域频域10/18/202346傅里叶变换的性质比例变换（尺度变换）给定2个标量α和β，可以证明对傅里叶变换下列2个公式成立：第二个式子表明：对f(x,y)在空间尺度的放缩导致其傅立叶变换F(μ,ν)

在频域尺度方面相反放缩。10/18/202347尺寸缩放实例64×6432×3216×16空域频域10/18/202348傅里叶变换的性质旋转性引入极坐标x=rcosθ,y=rsinθ,μ=kcosф,ν=ksinф，将f(x,y)和F(μ,ν)转换为f(r,θ)和F(k,ф)，将它们带入傅里叶变化对：上式表明：对f(x,y)旋转θ0

，对应于其傅里叶变换F(μ,ν)也旋转θ0。类似地，对F(μ,ν)旋转θ0也对应于其傅里叶反变换旋转θ0。10/18/202349旋转性实例旋转300原始图像旋转450空域频域10/18/202350傅里叶变换的性质周期性图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的DFT具有周期性：

上式表明：只需一个周期里的变换就可将F(μ,ν)

在频域里完全确定。10/18/202351傅里叶变换的性质共轭对称性如果f(x,y)是实函数，则它的傅里叶变换具有共轭对称性：复习：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。为的复共轭。10/18/202352傅里叶变换的性质卷积

卷积的定义（连续的情况）离散一维卷积离散二维卷积傅里叶变换的卷积定理10/18/202353傅里叶变换的性质——卷积关于卷积

卷积运算是信号处理领域中最重要的运算之一，在语音识别、地震勘探、超声诊断、光学成像、系统辨识及其他诸多信号处理领域中，可以说卷积与反卷积的问题无处不在。在数字图像处理中，通过卷积模板操作，可实现图像锐化、图像平滑、高斯模糊等功能。10/18/202354傅里叶变换的性质——卷积卷积的定义对于连续一维函数f1(x)与函数f2(x)，它们的卷积定义为：对于连续二维函数f1(x,y)与函数f2(x,y)，卷积定义为：10/18/202355傅里叶变换的性质——卷积离散一维卷积对于离散序列{f1(0),f1(1),…,f1(A-1)}与离散序列{f2(0),f2(1),…,f2(B-1)}，它们的卷积运算要复杂一些，必须对f1(x)与f2(x)的定义域进行扩展，以防止卷积后产生交叠误差（Wrap-aroundError）。假设f1(x)与f2(x)具有周期M，则卷积结果具有相同的周期。可以证明，只有当M≥A+B-1时卷积周期不会重叠，才不会产生交叠误差。当M=A+B-1时，卷积周期是相邻接的。10/18/202356傅里叶变换的性质——卷积离散一维卷积（续）x

=

0,1,…,M-1，M=A+B-1定义域扩展：离散一维卷积公式：10/18/202357傅里叶变换的性质——卷积离散二维卷积和和和和x

=

0,1,…,M-1，y

=

0,1,…,N-1

图像尺寸为A×B的函数f1(x,y)与尺寸为C×D的函数f2(x,y)做卷积。离散二维卷积公式：10/18/202358傅里叶变换的性质——卷积傅里叶变换的卷积定理卷积是空间域滤波和频域滤波之间的纽带对于连续和离散卷积都有下列定理成立：10/18/202359傅里叶变换的性质——相关连续函数相关对于连续一维函数f1(x)与函数f2(x)，它们的相关定义为：为的复共轭。对于连续二维函数f1(x,y)与函数f2(x,y)，它们的相关定义为：10/18/202360傅里叶变换的性质——相关离散相关参照前面离散卷积的定义，可如下定义一维离散相关：二维离散相关定义为：x

=

0,1,…,M-1，y

=

0,1,…,N-1x

=

0,1,…,M-110/18/202361傅里叶变换的性质——相关傅里叶变换的相关定理对于连续和离散相关都有下列定理成立：（在图像处理中，相关的重要应用在于图像匹配：确定是否有感兴趣的区域。）10/18/202362傅里叶变换主要内容图像变换基础傅里叶变换定义傅里叶变换的性质快速傅里叶变换（只考虑一维的情况，根据傅里叶变换的分离性可知，二维傅里叶变换可由连续2次一维傅里叶变换得到）10/18/202363快速傅里叶变换（FFT）为什么需要快速傅里叶变换？μ

=

0,1,…,M-1对M个值中的每一个都需进行M次复数乘法（将f(x)与相乘）和M-1次加法，即复数乘法和加法的次数都正比于M2。快速傅里叶变换（FFT）则只需要Mlog2M次运算。

FFT算法与原始算法的计算量之比是(log2M)/M，如M=1024≈103，则原始变换算法需要106次计算，而FFT需要