模糊切换多模型控制

模糊切换多模型控制

0空天航天器姿态控制空天飞机（asv）结合了飞机、推进器和推进器等许多功能。它不仅可以在顶层上进行高超音速飞行，还可以在轨道上进行轨迹操作，具有航空和空间两个功能。尽管目前空天飞行器还处于探索研究阶段,但是它代表了今后数十年内航天运载技术的发展方向,而且必将成为未来控制空间、争夺制天权的关键武器装备之一,具有很高的军事和民用价值。空天飞行器在再入飞行过程中,环境和气动参数变化剧烈,飞行器的运动方程表现出强烈的多变量耦合和非线性。目前对于飞行器姿态控制的传统方法是基于分段线性化的增益规划方法,但其反馈增益需要根据经验反复调试,且稳定性难以在理论上得到保证。近年来,多模型控制(multi-modelcontrol,MMC)在飞行控制方面的应用也得到了研究,获得了较好的控制效果。MMC具有智能控制的特点,是以多个模型来逼近系统的不确定性、非线性,在多个模型的基础上建立控制器,从而可对复杂系统进行有效控制。多个模型切换的思想是解决复杂系统控制问题的有效方法之一,然而基于模型切换控制的一个典型问题就是在切换边界处的不平滑性,这严重影响了控制系统的动态品质。本文借鉴文献的思想,将输入空间分为多个模糊区间,基于模糊规则建立多个局部T-S模糊模型和设计多个局部控制器,构成模糊切换多模型(fuzzyswitchingmulti-model,FSMM)控制系统,保证在局部模型切换过程中系统状态轨迹的平滑性,避免了动力学特性出现跳变的情况。1空天飞机的大型复杂模型的描述1.1元素法赋值假设空天飞行器为理想刚体,质心位置、转动惯量都为飞行器质量的函数,空天飞行器再入时的动态方程可描述如下。˙ω=J-1SJω+J-1Gu+d(1)˙γ=R(⋅)ω(2)式中,J为对称正定惯性张量,ω=[pqr]T为角速率向量(滚转、俯仰和偏航角速率),G为控制矩阵,u=[δeδaδr]T为左升降副翼舵、右升降副翼舵以及方向舵偏角,d∈R3为任何地外部干扰力矩,γ=[φβα]T为倾斜角、侧滑角和攻角。S、G、R(·)分别表示为S=[0r-q-r0pq-p0]‚R(⋅)=[cosα0sinαsinα0-cosα010]G=[gp,δegp,δagp,δrgq,δegq,δagq,δrgr,δegr,δagr,δr](3)式(3)中的各元素表达式如下。gpδe=ˉqSbClδe(4)gpδa=ˉqSbClδa(5)gpδr=ˉqSbClδr(6)gqδe=ˉqS[cCmδe+Xcg(CDδesin(α)+CLδecos(α))](7)gqδa=ˉqS[cCmδa+Xcg(CDδasin(α)+CLδacos(α))](8)gqδr=ˉqSXcgCDδrsin(α)(9)grδe=ˉqS(bCnδe+XcgCYδe)(10)grδa=ˉqS(bCnδa+XcgCYδa)(11)grδr=q¯S(bCnδr+XcgCYδr)(12)式中,q¯为动压(kg/ms2),S为参考面积(m2),b为翼展(m),c为平均气动弦长(m),Xcg为质心到参考力矩中心的距离(m),Clδe、Clδa、Clδr为左副翼舵、右副翼舵、方向舵引起的滚转力矩增量系数,Cmδe、Cmδa为左、右副翼舵引起的俯仰力矩增量系数,Cnδe、Cnδa、Cnδr为左副翼舵、右副翼舵、方向舵引起的偏航力矩增量系数,CLδe、CLδa为左、右副翼舵引起的升力增量系数,CDδe、CDδa、CDδr为左副翼舵、右副翼舵、方向舵引起的阻力增量系数,CYδe、CYδa、CYδr为左副翼舵、右副翼舵、方向舵引起的侧力增量系数,以上各系数都是攻角α和马赫数M的复杂非线性函数。1.2空天航天器模糊切换多模型fsmm先考虑标称(不考虑外界干扰)情况下,系统式(1)、(2)可描述为ω˙=J-1SJω+J-1Gu(13)γ˙=R(⋅)ω(14)考虑式(13),可以设计虚拟控制量ωc为ωc=[pcqcrc]Τ=-kR-1γ(15)定义误差变量e为e=[p-pcq-qcr-rc]Τ=ω-ωc=ω+kR-1γ(16)将式(15),(16)代入式(13),(14),整理可得e˙=(J-1SJ+k)e+k[-J-1SJR-1+(R-1)′-kR-1]γ+J-1Gu(17)γ˙=Re-kγ(18)式中,(R-1)′为R-1对时间的导数。定义xe=[x1,x2,x3]Τ=[e1,e2,e3]Τxr=[x4,x5,x6]Τ=[φ,β,α]Τω=xe-kR-1xγ,x=[xeΤxγΤ]Τ则式(17),(18)可表述为x˙(t)=A[x(t)]x(t)+B[x(t)]u(t)(19)其中A[x(t)]≜[A11A12R-kΙ]A11=J-1SJ+kΙA12=k[-J-1SJR-1+(R-1)′-kR-1]B[x(t)]≜[J-1G0]I为相应维数的单位阵。若考虑外界干扰及建模与实际系统存在的偏差,则必须考虑存在参数摄动的情况。在考虑参数摄动的情况下,空天飞行器再入姿态方程(19)应修改为x˙(t)=(A+ΔA)x(t)+(B+ΔB)u(t)(20)模糊切换多模型(FSMM)是由局部规则和局部模型构成的,局部切换根据逻辑前件进行。根据并行分布式补偿算法(PDC)设计方法,局部反馈控制器与局部模型共享相同的模糊切换规则,具有参数摄动的空天飞行器的FSMM描述如下。局部规则i:Ιfx1isΝ1iand⋯andxnisΝni,thenx˙(t)=(Ai+ΔAi)x+(BiΔBi)u(t)ui(t)=Κix(t)(21)式中,i=1,…,r为模糊规则数,Npi(p=1,…,n)为模糊集合,ΔAi,ΔBi为不确定矩阵函数。假定所考虑的参数不确定性是范数有界的,不确定参数矩阵[ΔAiΔBi]≜DiFi(t)[E1iE2i],Di、E1i和E2i是反映不确定性结构的常数矩阵,Fi(t)为适当维数时变的不确定矩阵,且满足FTi(t)Fi(t)≤I;Ki为反馈增益阵;u(t)为全局控制器输出。全局控制器输出u(t)可表述为u(t)=∑i=1rhi(x(t))Κix(t)(22)式中,hi(x(t))为由第i-1个局部模型/控制器切换到第i个的概率,而且满足hi(x(t))=μi(x(t))/∑j=1rμj(x(t))‚hi(x(t))≥0,∑i=1rhi(x(t))=1μi(x(t))表示x(t)属于Ni的隶属度函数,同时也表示第i条规则的适用度。局部模型的反馈输入需要采用全局控制器输出,因此闭环系统状态方程可以写为x˙(t)=∑i=1r∑j=1rhi(x(t))hj(x(t))A˜ix(t)(23)式中:A˜i=Ai+BiΚj+DiFi(t)(E1i+E2iΚj)。局部控制器是根据局部闭环系统稳定性条件,由并行分布式补偿方法(PDC)得到关于局部闭环系统的线性矩阵不等式(LMI)方程,再由解LMI方程确定反馈增益阵Ki。1.3模糊集的应用在切换控制系统中,系统根据前提变量自动地在不同区域之间切换。当前提变量在切换中达到特定的边界时,控制向量会发生不连续变化,这就是基于模型切换控制存在的一个典型问题——在切换边界处的不平滑性,严重影响了控制系统的动态品质。为此,可通过采用模糊集即模糊分区的方法来使区域边界模糊化,从而使切换在模糊了的边界处进行,以获得平滑切换。对整个论域进行模糊分区,在每个区域里有一个或多个控制器工作,且根据前提变量在它们之间进行切换。下面以两输入系统为例说明模糊分区的方法,假设将每个输入划分为三个区域,模糊分区如图1所示,图中z1(t)、z2(t)为前提变量,具体分区如下。(1)re1=p11=s3，与“IfZ1isN11andZ2isN21”对应;(2)控制器模糊规则与“IfZ1isN11andZ2isN22”对应;依此类推,有Re3=R13=S1‚Re4=R21=S3∪S4‚Re5=R22=S1∪S2∪S3∪S4‚Re6=R23=S1∪S2‚Re7=R31=S4‚Re8=R32=S2∪S4‚Re9=R33=S2。区域Rej满足Re1∪Re2∪⋯∪Re9=∪j=19Rej=X其中,X表示整个论域。用并行分布式补偿方法(PDC)对每个区域设计控制器,在前提变量发生偏离时,当前的控制器模糊规则j适用度也要随之发生变化,一旦其适用度hj(z(t))=0,则第j个控制器将切换到第j+1或j-1个控制器。由于实际工作环境的变量连续变化,所以工作区域不可能从第j个区域跳变到第j±n(n≥2)个区域,从而保证了过渡过程的平滑性。2模糊保性能状态控制律设计对于系统(20),定义二次型性能指标J¯=∫0∞[xΤ(t)Qx(t)+uΤ(t)Ru(t)]dt(24)式中:Q,R为给定的对称正定加权矩阵。本文的目的是对系统(20)和性能指标(24),设计控制律u(t)和一个正数J^,使得对所有允许的不确定性,闭环系统是渐进稳定的,且闭环性能指标J¯≤J^。定义对于系统(20)和性能指标(24),如果存在一个控制律u^(t)和一个正数J^,使得对所有允许的不确定性,闭环系统是渐进稳定的,且闭环性能指标满足J¯≤J^,则J^称不确定系统(20)的一个性能上界,u^(t)称为不确定系统(20)的一个保性能控制律。引理给定适当维数的矩阵Y,D和E,其中Y是对称的,则对所有满足FT(t)F(t)≤I的矩阵F,Y+DFE+ETFTDT<0成立,当且仅当存在常数ε>0,使得Y+εDDT+ε-1ETE<0。定理对不确定系统(20)和性能指标(24),若存在标量ε>0、矩阵Wj和对称正定矩阵S,使得Ωii<0‚Ωij+Ωji<0Ωij=[Γ11Γ21ΤSWjΤ*-εΙ00**-Q-10***-R-1]i<j≤r(25)有可行解(ε,S,Wj),则u^(t)=∑j=1rhj[x(t)]WjS-1x(t)(26)是系统(20)的一个模糊保性能状态反馈控制律,相应的系统性能上界是J^=x0ΤS-1x0。其中,*表示矩阵的对应位置上元素的转置,I表示相应维数的单位矩阵。Γ11=AiS+BiWj+(AiS+BiWj)Τ+εDiDiΤΓ21=E1iS+E2iWj证明对于系统(20),选取Lyapunov函数,V(x)=xTPx,其中P是正定矩阵,则沿闭环系统(20)的任意轨线,V(x)关于时间的导数为V˙(x)=∑i=1r∑j=1rhihjxΤ(A˜iΤΡ+ΡA˜i)x如果存在正定矩阵P和矩阵Kj,使得对所有允许的不确定性,如下矩阵不等式成立。Q+ΚjΤRΚj+A˜iΤΡ+ΡA˜i<0(27)则有V˙(X)<-XΤ(∑j=1rhj(Q+ΚjΤRΚj))x<0(28)由Lyapunov稳定性理论,闭环系统(23)是鲁棒渐进稳定的。令Y=Q+ΚjΤRΚj+(Ai+BiΚj)ΤΡ+Ρ(Ai+BiΚj)则矩阵不等式(27)可以写为Y+ΡDiFi(E1i+E2iΚj)+(E1i+E2iΚj)ΤFiΤ(ΡDi)Τ<0(29)根据引理,上述不等式对所有满足FTiFi≤I的矩阵F成立当且仅当存在常数ε>0,使得Y+εΡDiDiΤΡ+ε-1(E1i+E2iΚj)Τ(E1i+E2iΚj)<0(30)应用矩阵的Schur补性质,式(30)等价于[Ξ(E1i+E2iΚj)ΤΙΚjΤ*-εΙ00**-Q-10***-R-1]<0(31)式中Ξ=(Ai+BiΚj)ΤΡ+Ρ(Ai+BiΚj)+εΡDiDiΤΡ对矩阵不等式(31)分别左乘和右乘矩阵diag(P-1,I,I,I),可得[ΘΡ-1(E1i+E2iΚj)ΤΡ-1Ρ-1ΚjΤ*-εΙ00**-Q-10***-R-1]<0(32)其中Θ=Ρ-1(Ai+BiΚj)Τ+(Ai+BiΚj)Ρ-1+εDiDiΤ记S=P-1,Wj=KjS,可得上式(32)等价于矩阵不等式(25)。考虑式(28),有xΤ(∑j=1rhj(Q+ΚjΤRΚj))x<-V˙(x)(33)对式(33)两边从时间t=0到t=∞积分,并利用系统的渐进稳定性,可得∫0∞xΤ(∑j=1rhj(Q+ΚjΤRΚj))xdt≤V(x(0))=x0ΤΡx0=x0ΤS-1x0(34)由此可得性能指标J¯的上界为J^=x0ΤS-1x0(35)定理得证。3空天航天器各初始状态的模糊分析选定空天飞行器的某一点(高度H=65km,速度V=6100m/s,马赫数M=20.2)作为初始条件,转动惯量J为J=[5544860-23002011369490-2300201376852]假定状态变量xe,xγ∈[-0.50.5],将A(x)和B(x)在9个工作点线性化,即[xe,xγ]分别为[-0.5,-0.5],[-0.5,0],[-0.5,0.5],[0,-0.5],[0,0],[0,0.5],[0.5,-0.5],[0.5,0],[0.5,0.5]时的9个工作点,得到相应的9条模糊规则和9个线性子系统(Ai(x),Bi(x)),i=1,…,9。模糊隶属函数选取为三角形,曲线如图2所示;选取